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1、1,1.4 群的各种子集,一、子群 1. 定义： 设H是群G的一个子集， 若对于与群G同样的乘积规则， H也构成一个群， 则称H为G的子群，常记为,证明群G的非空子集H是G的子群 充要条件： 1）封闭性 2）逆元 3）恒元,2,2. 常用几类子群 平庸（凡）子群（显然子群） 对任意群G，恒元E和整个群G本身都是G的子群 固有子群（真子群） 群的非平庸子群 （若无特殊说明，所说子群为真子群） 循环子群 任一元素的周期构成的子群,例： 1. 定义群的乘积规则为“数的加法”，则 整数群 实数群 （真子群） 2. 正方形对称群中 E,C4,C42,C43是一个循环子群,3,二、陪集和不变子群 1. 陪
2、集（旁集） 定义：设群G的阶为g，有子群H的阶为h H=S1,S2,.,Sh, S1=E 任取群G中不属于子群H的元素Rj， 把它左乘或右乘到子群H上，得到群G的两个子集 RjH=Rj,RjS2,.,RjSh HRj=Rj,S2Rj,.,ShRj, 则RjH称为子群H的左陪集 HRj 右陪集,Rj,4,2. 陪集的性质 （1）H的两个左（右）陪集，要么有完全相同的元素 要么没有任何公共元素 陪集定理,证明：设 则由R1,R2生成H两个左陪集,假设两个左陪集有一个公共元素，即,由重排定理，TG=G，对子群同样适用,若两个左陪集有一个公共元素，则两个左陪集完全相同,5,（2）陪集与子群没有公共元素
3、,证明：假设左陪集与子群有公共元素,与前提 矛盾,注意：陪集中不包含恒元，即陪集一定不是群G的子群,（3）陪集中没有重复元素,证明：若有重复元素,与H中无重复元素矛盾,6,（4）群G的阶g一定是子群H的阶h的整数倍 拉格朗日定理,证明：任取 作左陪集 R1H （不是群）,陪集与子群无公共元素，则H与 R1H 是不同的集合,若H与 R1H 不能充满整个群，则另取 作R2H,H,R1H,R2H无公共元素，若仍不能充满整个群，则继续,G是有限群，则存在一个Rd-1使得H,R1H,R2H,.,Rd-1H 充满整个群，即群G的任一元素都包含在子群和它的左陪集串中 ，每个集合都有h个元素,群G的阶g=子群
4、H的阶h d,d为整数，称为子群的指数 等于子群H左陪集数+1,（d=1，则H=G）,7,（5）群G中两元素R和T属于同一个左陪集的充要条件是 群G中两元素R和T属于同一个右陪集的充要条件是,8,3. 不变子群（正规子群） 定义：若群G的子群H的所有左陪集都与对应的右陪集相等 则称子群H为不变子群。,1） 不一定是同一元素,2）阿贝尔群的所有子群都是不变子群（所有群元素对易）,3）指数为2的子群必为不变子群（d=2，则只有一个陪集）,证 明 ！,4）阶为素数的群没有非平庸不变子群,9,4. 商群 定义：不变子群H及其所有陪集作为复元素的集合， 若按复元素的乘积满足群的四个条件，则构成群， 称为
5、群G关于不变子群H的商群，记作G/H。 恒元：不变子群 阶：子群的指数 d=g/h,5. 从乘法表上找子群的陪集 与子群元素有关的各列中，每一行的元素分别构成子群或左陪集 行 列 右,10,例：C4v群 子群 H1=E,C4,C42,C43 d=g/h=8/4=2 不变子群,左（右）陪集：mx,my,u,v,11,1）找出C4v群其它子群及相应左右陪集 2） D3 并指出哪些子群是不变子群,三、共轭元素和类 1. 共轭： 设R、T是群G的两个元素（ ），若存在 使 则称元素T与R共轭 即T与R称为互相共轭的元素，记为TR 性质：1）对称性 2）传递性,12,性质： 1）恒元自成一类 2）阿贝尔
6、群的每个元素自成一类 3）若R的阶为m，即Rm=E，则R类所有元素的阶都是m。,13,4）对任意给定的 当Rj取遍所有元素时 不会有重复 故 类中每个元素只出现一次，仍为自身。 5）对给定的Rj，让S取遍群G所有元素， 会有重复 且可证明 重复次数m()都相同 6）类 中包含的元素数目是群G阶的因子n()=g/m() 7）由于共轭关系具有传递性，两个不同的类没有公共元素 可将群G按照共轭类进行分割 按陪集分割 （子群与陪集元素数目相同） 类 （每个类中元素数目不一定相同） 是分割群的两种重要方式,14,3. 相逆类： 类 中元素Rj的逆元Rj-1也必定互相共轭 逆元Rj-1的集合也够成类，记作
7、 与 称为相逆类，它们包含的元素数目相同n() 自逆类： 若元素与其逆元互相共轭，则类 与其逆 重合， 这样的类称为自逆类,15,4. 用乘法表判断共轭元素： 1）TS与ST是共轭的 即 若TS=R1，ST=R2 则 R1R2 ST=ST SS-1=S(TS)S-1 反之， 互相共轭的元素一定可表达成某两元素的不同次序的乘积 2）若乘法表中左乘元素与右乘元素排列次序相同 则在乘法表中关于对角线对称的两元素互相共轭 即 互相共轭的元素一定出现在乘法表中关于对角线对称位置,16,5. 共轭子群： 设H和K是群G的两个子群，若有 使得 则称H是K的共轭子群 对称性：K是H的共轭子群，同时H也是K的共轭子群 传递性：若H1,H2是K的共轭子群，则H1,H2也互为共轭子群,群G的全部子群可分割为共轭子群类,
