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1、3 泰勒(Taylor)级数,第四章 级数,两类问题:,在收敛圆域内,解析函数,一、泰勒定理,其中,泰勒级数,泰勒展开式,泰勒介绍,如图:,由柯西积分公式 , 有,其中 K 取正方向.,则,证明:,由高阶导数公式, 上式又可写成,其中,可知在K内,令,则在K上连续,即存在一个正常数M,从而在K内,泰勒级数,由上讨论得重要定理泰勒展开定理,说明:,1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多; (想一想, 为什么?),4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.,(为什么?),因为解析，可以保证无限次各 阶导数的连续性;,所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就 要比实变函数广阔的多.,注意,问
2、题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展开式是否唯一？,那末,即,因此, 任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, 因而是唯一的.,二、将函数展开成泰勒级数,常用方法: 直接法和间接法.,1.直接法:,由泰勒展开定理计算系数,例如，,故有,仿照上例 ,2. 间接展开法 :,借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式.,间接法的优点:,不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .,例如，,附: 常见函数的泰勒展开式,例1,解,上式两边逐项求导,例2,解,例3,解,例4,解,即微分方程,对微分方程逐次求导得:,奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?,思考题,奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项, 偶函数 的泰勒级数只含 z 的偶次幂项.,思考题答案,放映结束，按Esc退出.,泰勒资料,Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, EnglandDied: 29 Dec 1731 in Somerset House, London, England,Brook Taylor,
