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1、第三节、三重积分的计算,定义 设,存在,叫体积元素.,将 作任意分割:,若任意取点,则称此极限为函数,在上的三重积分.,在直角坐标系下dv常写作,极限,一、三重积分的概念,三重积分的性质与二重积分相似.,性质:,注: 若物体占有空间闭区域，物体上点(x, y, z)处的密度为f (x, y, z)，且f (x, y, z)在上连续，则物体的质量,f (x, y, z)在上连续时, f (x, y, z)在上的三重积分必存在.,以后总假定f (x, y, z)在上连续.,二、三重积分的计算,1. 利用直角坐标计算三重积分,方法1 . 穿针法 (“先一后二”)也称为投影法,方法2 . 切片法 (“
2、先二后一”),机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次积分来计算.,如图，,则,上式把三重积分化为先对z，次对y，最后对x的三次积分。,注意:,若平行于x轴或者y轴的直线穿过区域 时与它的边界曲面S相交不多于两点,也可把 投影到yoz平面或者xoz面上. 若平行于坐标轴的直线穿过区域 时与它的边界曲面S相交多于两点,可把 分成若干部分,再求和.,其中 为三个坐标,例1. 计算三重积分,所围成的闭区域 .,解,面及平面,(2)截面法(切片法),(3)计算二重积分,其结果为z的函数F (z);,截面法的一般步骤：,(1)把积分区域向某轴(例如z轴)投影,得投影
3、区间c, d;,用过z且平行x o y面的平面去截,得截面 ;,(2)对,(4)最后计算定积分,即得三重积分值.,用截面法,解,原式,三、三重积分的变量替换,定理:,作变换:,满足,则,注：,规定：,1、利用柱面坐标计算三重积分,如图，三坐标面分别为,圆柱面；,半平面；,平 面,柱面坐标与直角坐标的关系为,因此，柱面坐标系中,适用范围:,积分区域表面用柱面坐标 表示时方程简单 ;,被积函数用柱面坐标 表示时变量互相分离.,例3 利用柱面坐标计算,，其中,是抛物面,与平面z=4所围的闭区域.,（2） 利用球面坐标计算三重积分(注意此处的两个角与书上的表示符号刚好相反.),就称为点M 的球坐标.,
4、直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,直角坐标与球面坐标的关系,因此,如图所示,因此有,其中,适用范围:,1) 积分区域表面用球面坐标表示时方程简单;,2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.,在球面坐标系中,例3. 6计算半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积。,解法三: 用切片法,小结,积分区域多由坐标面围成,被积函数形式简洁, 或,直角坐标系,柱面坐标系,球面坐标系,说明:,三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:,对应雅可比行列式为,变量可分离.,积分区域表面的方程简单;,1. 设,计算,提示: 利用对称性,原式 =,奇函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 计算,所围成.,其中 由,分析：若用“切片法”, 则有,计算较繁!,采用“穿针法”较好.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所围,故可,表为,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
