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1、幂级数习题课,一、主要内容,函数项级数,幂级数,收敛半径R,收敛域,Taylor级数,Taylor展开式,幂级数,(1) 定义,(2) 收敛性,对,总存在正数使得,原级数的发散点,再研究,用公式,求收敛半径,应是,的系数，,否则,可作代换或直接利用检比法或检根法来确定,求出收敛半径后,必须用常数项级数,审敛法判定端点,处的敛散性,的点的敛散性,(3)幂级数的运算,a.代数运算性质:,b.和函数的分析运算性质:,和函数连续，逐项微分，逐项积分,收敛半径不变,幂级数求和函数,利用几个已知的展开式，如,通过某些简单运算而求得,化成两个幂级数的和，差，积，商,作变量代换,求导或积分,通项形如,先微后积
2、,通项形如,先积后微,步骤：,求收敛域,对,进行运算,保留所有的运算记号,的运算结果要具体算出,化成易求和的形式,再进行上述运算的逆运算得,幂级数展开式,(1) 定义,(2) 充要条件,(3) 唯一性,() 展开方法,a.直接法(泰勒级数法),步骤:,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.,b.间接法,() 常见函数展开式,二、典型例题,例求收敛域,解,收敛半径,收敛半径,若,则,原级数成为,由于,收敛,原级数成为,发散,故,收敛域为,若,则,收敛,收敛,发散,收敛,原级数成为,绝对收敛,收敛,绝对收敛,原级数收敛,原级数成为,收敛,原级数收敛,故,收敛域为,解,收敛域,例求和函数,令,积分,求导,令,求导,积分,故,注意,先微后积，收敛域可能扩张,先积后微，收敛域可能收缩,例求级数和,解,考虑幂级数,由,乘以 x,求导,例,解,两边逐项积分,例,解,或,积分,
