《高数第1章：极限讲解材料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数第1章：极限讲解材料（59页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一节 极限的概念,一、数列的极限 二、函数的极限 三、极限的性质 四、无穷小量与无穷大量,一般地, 按照确定的次序排列起来的无穷多个,一、数列的极限,三、极限的性质,四、无穷小量与无穷大量,第二节 极限的运算,一、极限的运算法则 二、两个重要极限 三、无穷小的比较,一、极限的运算法则,（3）,（1）,（2）,例1 求,解 原式,例2 求,解 原式,例3 求,解 原式,例4 求,解 原式,其中,的极限，有下面结论：,一般地,对于有理函数（即两个多项式函数的商）,例5 下列做法是否正确?,(1),解 错.正确的为,(2),解 错.正确的为,1.,此极限也可记为：,（式中代表同一个变量）,例 求,
2、解,（令,当,时,）,例8 求,解,例7 求,解,2,这里的,是一个无理数2.71828182845904，,此极限也可记为,（式中代表同一变量）,例9 求,解,1、问题的提出,考察下列极限，例如，,当,时,都是无穷小,而,，,，,没极限,这一事实反映了同一过程中如,时各个,的快慢程度.,小趋于,无穷,为比,为等价无穷小,记作,高阶的无穷小,记作,与,与,定义 设,（1）若,则称,（2）若,，,为常数,则称,（3）若,则称,与,是自变量的同一变化过程中的两个,无穷小,则在所论过程中：,;,为同阶无穷小;,2、无穷小的比较,是比,例如:,当,时,高阶的无穷小,当,时,与,是同阶无穷小,),),(
3、,(,阶无穷小,是关于,当,时,的,(,),当,时,与,是等价无穷小,(令,则,当,时,于是,),常见的等价无穷小:,当,时,存在,则,3、无穷小的等价代换,定理 设在自变量的同一变化过程中,，,且,无穷小的等价代换只能代换乘积因子,注意:,在乘积的极限运算中,等价的无穷小因子可以相,互代换.,，,例10 求,解,例11 求,解,第三节 函数的连续性,一、函数的连续性概念 二、初等函数的连续性 三、闭区间上连续函数的性质,处有增量,称为函数,处连续，,1函数的连续性概念,定义1 设函数,时,相应地函数有增量,.如果当自变量增量,也趋于零,即,在点,在,的某邻域内有定义,当自,变量,在点,趋于零
4、时,函数增量,则称函数,的连续点,处的函数值,即,的某邻域内有定义,如果,若记,则,且当,故定义1又可叙述为,时,处连续,定义2 设函数,在,极限,存在,且等于函数在,则称函数,在点,例1 讨论函数,在,的连续性.,证,又,由定义可知,函数,在,处连续.,在开区间（,）内连续,有定义.,在点,注意,是否存在或值为多少与,无关,而,处连续,首先必须,在点,2.,如果函数,在（,）内每一点都连,续,则称,1.,3.,在,处左(右)连续:,函数,处连续,必须同时满足以下三个条件：,的某邻域内有定义；,2函数的间断点及其类型,在点,在,上述三个条件中只要有一条不满足,则称函数,在点,处间断,称为函数,
5、的间断点,(1),(2),存在；,(3),如果,是函数,的间断点,可将其分成两类:,在点,在点,第一类间断点,处的左右极限至少有,处的左右极限存在;,第二类间断点,一个不存在.,可去间断点,无穷间断点,振荡间断点,其它,其它,例2 考察函数,在,处的连续性.,解,为函数的第一类间断点,且为可去间断点.,、,处连续,处连续,那么,定理1（连续函数的四则运算） 如果,在点,均,也在,连续函数的和、差、积、商 （分母不为零）仍是连续函数,基本初等函数在其定义域内连续,定理2（反函数的连续性） 连续函数的反函数在其,对应区间上也是连续函数,例如,在,内连续,故,在其定义域内连续.,由以上三个定理可知：
6、一切初等函数在其有定义的,区间内是连续的,计算初等函数,在其定义区间内某点,只要计算,在点,处的函数值,即可,处的极限,也没最小值;函数,如函数,三、闭区间上连续函数的性质,定理4（最值定理） 闭区间上的连续函数一定有,最大值和最小值,在,在闭区间,上有间断点,最大值和最小值,内既没有最大值，,它在此区间上没有,定理5（介值定理） 设函数,在闭区间,续,且,为介于,数,则至少存在一点,使得,上连,与,之间的任一实,若,推论 如果,上连续,且,则至少存在一点,使得,推论表明，对于方程,条件,则方程在,内至少存在一个根,，,又称为函,的零点,此时推论又称为零点定理或根的存在,满足推论中的,数,定理,例5 证明方程,证 设,上连续,且,由根的存在定理知,在,内至少有点,使,即方程,内至少有一个实根,内至少有一个实根,
