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1、1,第二章 分离变量法,2.1、分离变量法的基本思想和解题步骤 有界弦的自由振动、圆柱体稳态温度分布,2.2、一般格式、固有值问题,2.3、齐次边界条件非齐次方程的解法、 非齐次边界条件的处理,2,基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。,适用范围： 波动问题、热传导问题、稳定场问题等,特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。,2.1 分离变量法的基本思想和解题步骤,3,问题：此方程如何求解？,由达郎贝尔公式知此方程的通解：,5,令
2、:,代入方程：,令：,代入边界条件,2.2.1 求两端固定弦的自由振动,2.1 、两个典型例子,6,分情况讨论：,1）,2）,3）,7,8,9,对于此方程三种情况：,只有当第三种情况且 方程有非零解。类似于矩阵 的固有值问题当且仅 当 为某些特殊值时，该线性方程组有非零解。,10,类似地我们把X(x)的边值问题（1）式称为固有值问题，使固有值问题（1）有非零解的 的取值为固有值，相应的的非零解为固有函数。（1）式的的固有值：,相应的固有函数：,11,1、分离变量,2、求固有值和固有函数,3、求另一个函数,4、求通解,5、确定系数,分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程,12,解的性
3、质：,x=x0时：,其中：,这表示在任意一点,处都作简谐振动。,t=t0时：,这说明，任一时刻弦的形状都是正弦波，,其振幅,随不同的时间,而不同。,13,振幅:,频率:,初位相:,波节:,波腹:,驻波法,14,于是我们可以说u(x,t)是由一系列频率不同(成倍增长)、位相不同、振幅不同的(固有振动)驻波叠加而成的。所以分离变量法又称驻波法各驻波振幅的大小和位相的差异，由初始条件决定，而频率(na)/l与初始条件无关，所以也称为弦的固有频率。,中最小的一个,称为基频，,相应的,称为基波,称为谐频，,相应的,称为谐波。,基波的作用往往最显著,15,第一步: 分离变量。令,适合方程和边界条件，,从而
4、 定出所适合的固有值问题，以及,适合的常微分方程.,第二步: 解固有值问题的分离变量形式的解。 求出全部固有值和固有函数.并求出相应的,的表达式.,第三步: 叠加定系数。将所有变量分离形式的特解叠加起 来，并利用初始条件定出所有待定常数.,综上所述，分离变量法的解题步骤可以分成三步：,16,例(1) : 求下列定解问题,解：第一步分离变量：偏微分方程变为常微分方程,17,第二步：求固有值和固有函数,分三种情况：,18,第三步：求另一个函数,第四步：写出通解,19,第五步：确定待定系数,20,解：,例(2) 求下列定解问题,21,22,23,初始条件：,24,25,例3 圆柱体稳态温度分布,解：
5、(1)设,26,(2)解固有值问题,1）,2）,3）,仅当 ，该通解周期为,27,欧拉方程：,令,欧拉方程变为：,28,圆内考虑（自然边界条件）：,29,故上式是f在 上的傅里叶展开，则有：,设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 其傅里叶级数展开：,30,31,此式即为poisson积分公式,32,33,例4 求下列定解问题,解：,34,本题：,利用三角函数正交性：,35,可得：,则：,36,2.2、一般格式、固有值问题,37,2.2.1 一般格式和问题(将分离变量法用于更一般的定解问题)：,38,采用分离变量法步骤 第一步：分离变量：,39,第三步：叠加定系数。,第二步：解固有值问题
6、，得分离变量形状特解。,40,2.2.2 固有值问题的施图姆刘维尔(Sturm-Liouville)定理,一般的二阶齐次线性常微分方程,41,则（1）变为：,-Sturm-Liouvile施图姆-刘威尔型方程,42,下面就施图姆刘维尔(Sturm-Liouville)方程讨论固有值问题,43,S-L型方程的固有值问题（2）式的固有值、固有函数有如下性质：,1) 非负性,2)可数性,44,3) 正交性,4) 完备性,固有函数系 是完备的。对于在 上有连续一阶导数，分段连续二阶导数，且满足定解问题（2）中的齐次边界条件形式的函数f(x),有在 上绝对一致收敛的广义傅里叶展开：,不同固有值对应的固有
7、函数相互加权正交。即,45,例1： 有界杆上的温度分布：长为l的导热细杆，杆身侧面绝热，内部无热源。杆的一端绝热，杆的另一端与外界温度保持零度的介质自由热交换，杆的初始温度已知，求此杆上的温度分布,46,解：令,令：,已知条件：,47,固有值问题：,固有值问题中的方程是S-L型的,48,49,-固有函数,求另一个函数：,写出通解：,-固有值,-此超越方程有无穷多个正实根,50,固有函数模的平方为：,三角函数正交：,51,已知条件：,即上式是 安固有函数系的展开，则根据（4）式：,52,例1 解固有值问题,解：,53,例2 解固有值问题,解：,54,例3 解固有值问题,解：,55,另解：设想能不
8、能通过变量代换将方程化成最简单的S-L 型方程，即消除一阶导项。,令：,代入方程：,0,56,57,代入方程：,解：设,例2.2.2 矩形区域,58,59,60,代入方程：,解：设,例2.2.3 扇形区域,欧拉方程,令,61,62,例2.2.4 求满足双调和方程定解问题的所有分离变量形状的解,解：,63,代入Y的方程，其特征方程为：,64,特征方程为,附录： 阶常系数齐次线性方程解法,65,有两个二重根,故解得相应的,问题的全部分离变量形状解为,66,例2.2.5 求长方体内稳恒温度分布,解：这是我们遇到的第一个高维问题，仍试着用分 离变量法求解。,67,以及常微分方程,解两个固有值问题,68
9、,69,2.3、非齐次问题,2.3.1 齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题,（一）傅立叶级数法,（二）冲量定理法,（三）特解法,限于齐次的边界条件,70,（一）Fourier级数法,分离变量法得出的结果提示:把所求的解本身展开为傅里叶级数,基本函数族 Xn(x) 为相应齐次问题固有函数。,Fourier系数不是常数，是时间 t 的函数。,第一步，用分离变量法求出相应齐次问题(f(t,x)=0)的固有值问题,解出固有值和固有函数。,第二步，将未知函数及已知函数按固有函数系做广义Fourier展开。代入方程和初始条件得到T(t)的初值问题。,第三步，解T(t)的初值问题，确定T(t) ，给出u
10、(t,x)的级数表达式。,71,例2.3.1两端固定弦的强迫振动,解：相应的齐次问题的固有函数,设,72, 代入方程和初始条件,73,例1 求下列定解问题,解：先解对应的齐次问题,74,75,76,（二）冲量定理法,前提：除了方程为非齐次的外，其它定解条件都是齐次的(初始条件均取零值)。,利用叠加原理,令,例,77,物理思想：,在时间 0 t 内的持续作用力看成许多前后相继（无穷小时间 ）的“瞬时”力 引起的物理过程的线性叠加。,令：,78,其中,79,（三）特解法,根据叠加原理，非齐次方程的通解可分解为齐次方程的解与非齐次方程的特解之和。,齐次化要求,齐次解的形式,齐次问题,齐次化特解,80,特解的确定,81,2.3.2 一般的非齐次混合问题,82,例2.3.2 一端固定，一端周期振动弦的自由振动,解：令,83,例2.3.3 环内poisson方程边值问题,解：设u=v+w,2.3.3 非齐次稳定方程的边值问题（特解法/Fourier展开法）,84,85,定解问题,选择合适的坐标系,边界条件非齐次，转换为齐次边界条件,非齐次方程，齐次边界条件,齐次方程，齐次边界条件 分离变量法,非齐次方程，齐次定解条件 三法,应用分离变量法求解定解问题的步骤,
