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1、5简单的幂函数(二),第二章函数,学习目标 1.理解函数奇偶性的定义. 2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法. 3.会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,答案关于y轴对称，关于原点对称.,思考,知识点一函数奇偶性的几何特征,下列函数图像中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？,答案,一般地，图像关于y轴对称的函数叫作 函数，图像关于原点对称的函数叫作 函数.,梳理,偶,奇,思考1,知识点二函数奇偶性的定义,为什么不直接用图像关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？,答案,答案因为很多函数图像我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以
2、精确判断.,思考2,利用点对称来刻画图像对称有什么好处？,答案,答案好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图像关于y轴(原点)对称，反之亦然. (2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图像也能操作.,梳理,函数奇偶性的概念 (1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫作偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x)关于y轴的对称点(x，f(x)也在f(x)图像上. (2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫作奇函数.其实质是函数f(x)上任一点(
3、x，f(x)关于原点的对称点(x，f(x)也在f(x)图像上.,f(x)f(x),f(x)f(x),(3)由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数x必须也在定义域内，所以判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称.,思考,知识点三奇偶性与单调性,观察偶函数yx2与奇函数y 在(，0)和(0，)上的单调性，你有何猜想？,答案,答案偶函数yx2在(，0)和(0，)上的单调性相反；奇函数y 在(，0)和(0，)上的单调性相同.,(1)若奇函数f(x)在a，b上是增函数，且有最大值M，则f(x)在b，a上是 函数，且有最小值 . (2)若偶函数f(x)在(，0)上是
4、减函数，则f(x)在(0，)上是 . (3)知道了函数的奇偶性，我们可以先研究函数的一半，再利用对称性了解其另一半，从而减少工作量.,梳理,增,M,增函数,题型探究,例1判断并证明下列函数的奇偶性：,证明,类型一判断函数的奇偶性,证明因为函数的定义域为x|xR且x1，对于定义域内的1，其相反数1不在定义域内，故f(x) 既非奇函数又非偶函数.,(2)f(x)(x1)(x1)；,证明,证明函数的定义域为R，因为函数f(x)(x1)(x1)x21， 又f(x)(x)21x21f(x)，所以函数为偶函数.,证明,证明函数的定义域为1,1，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)0，所以f(x)f(x)
5、，,即该函数既是奇函数又是偶函数.,利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则x也一定属于定义域.,反思与感悟,跟踪训练1判断并证明下列函数的奇偶性： (1)f(x)(x2) ；,证明,解由 0，得定义域为2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.,(2)f(x)x|x|；,证明,解函数的定义域为R，因为f(x)(x)|x|x|x|f(x)，所以函数为奇函数.,(3)f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，试判断yf(x)g(x)，yf(x)g(x)， yfg(x)的奇偶性.,证明,解f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，
6、 f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，yf(x)g(x)是奇函数. f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，yf(x)g(x)是偶函数. f g(x)f g(x)f g(x)，yfg(x)是奇函数.,命题角度1奇(偶)函数图像的对称性的应用 例2定义在R上的奇函数f(x)在0，)上的图像如图所示.,类型二奇偶性的应用,解答,(1)画出f(x)的图像；,解先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(1，1)，(2,0)，连线可得f(x)的图像如图.,(2)解不等式xf(x)0.,解答,解xf(x)0即图像上横坐标、纵坐标同号.结合图像可知，xf(x)0的解集是(2,0)
7、(0,2).,引申探究 把例2中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题.,解答,解(1)f(x)的图像如图所示：,(2)xf(x)0的解集是(，2)(0,2).,鉴于奇(偶)函数图像关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性.,反思与感悟,跟踪训练2已知奇函数f(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图像如图所示.,解答,(1)画出在区间5,0上的图像；,解(1)如图，在0,5上的图像上选取5个关键点O，A，B，C，D. 分别描出它们关于原点的对称点O，A，B，C，D， 再用光滑曲线连接即得.,(2)写出使f(x)0的x的取值集合.,解答,解由(1)图可知，当且仅当
8、x(2,0)(2,5)时，f(x)0. 使f(x)0的x的取值集合为(2,0)(2,5).,命题角度2应用函数奇偶性求解析式 例3函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)x1，求当x0时，f(x)的解析式.,解设x0， f(x)(x)1x1， 又函数f(x)是定义域为R的奇函数， f(x)f(x)x1， 当x0时，f(x)x1.,解答,利用函数的奇偶性求函数解析式 已知函数f(x)在区间a，b上的解析式，求函数f(x)在区间b，a上的解析式的一般方法： (1)设：设bxa，则axb. (2)求f(x)：根据已知条件f(x)在区间a，b上的解析式可求得f(x)的解析式. (3)求f(
9、x)：根据函数f(x)的奇偶性来实现函数的解析式在f(x)与f(x)之间的相互转化.,反思与感悟,跟踪训练3已知yf(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)2xx2.求yf(x)的解析式.,解答,解设x0，因为f(x)是奇函数， 所以f(x)f(x)2(x)(x)22xx2. 因为yf(x)是R上的奇函数，所以f(0)0.,命题角度3奇偶性对单调性的影响 例4设f(x)是偶函数，在区间a，b上是减函数，试证f(x)在区间b，a上是增函数.,证明,证明设x1，x2是区间b，a上任意两个值， 且有x1x2. bx1x2a， ax2x1b. f(x)在a，b上是减函数， f(x2)f(x1)
10、. f(x)为偶函数，即f(x)f(x)， f(x2)f(x2)，f(x1)f(x1). f(x2)f(x1)，即f(x1)f(x2). 函数f(x)在区间b，a上是增函数.,与求解析式一样，证哪个区间上的单调性，设x1，x2属于哪个区间.同样，求哪个区间上的最值，也设x属于哪个区间.,反思与感悟,跟踪训练4已知偶函数f(x)在0，)上单调递减，f(2)0.若f(x1)0，则x的取值范围是_.,(1,3),答案,解析,解析f(x)为偶函数， f(x1)f(|x1|)， 又f(2)0，f(x1)0，即f(|x1|)f(2)， |x1|,20，)， 且f(x)在0，)上单调递减. |x1|2，即2
11、x12， x的取值范围为(1,3).,当堂训练,1.下列函数为偶函数的是 A.f(x)x1 B.f(x)x2x C.f(x)2x2x D.f(x)2x2x,答案,2,3,4,5,1,解析,解析D中，f(x)2x2xf(x)， f(x)为偶函数.,2.函数f(x)x(1x1)的奇偶性是 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数,答案,2,3,4,5,1,3.已知函数yf(x)x是偶函数，且f(2)1，则f(2)等于 A.1 B.1 C.5 D.5,答案,2,3,4,5,1,解析,解析函数yf(x)x是偶函数， x2时函数值相等. f(2)2f(2)2， f(2)5，故选
12、D.,4.已知f(x)是奇函数，且x0时，f(x)x1，则x0时f(x)等于 A.x1 B.x1 C.x1 D.x1,答案,2,3,4,5,1,5.定义在R上的偶函数f(x)在0，)上是增函数，若f(a)b C.|a|b0,2,3,4,5,1,答案,规律与方法,1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(x)f(x) f(x)f(x)0f(x)为奇函数；如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)0 f(x)为偶函数. 2.两个性质：函数为奇函数它的图像关于原点对称；函数为偶函数 它的图像关于y轴对称. 3.证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x).而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.,4.(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数. (2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)f(x)，它能使自变量化归到0，)上，避免分类讨论. 5.具有奇偶性的函数的单调性的特点： (1)奇函数在a，b和b，a上具有相同的单调性. (2)偶函数在a，b和b，a上具有相反的单调性.,本课结束,
