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1、图3 G F B C AD L E 动态问题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开 放性题目 .解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键 :动中求静 . 数学思想：分类思想数形结合思想转化思想 一、单动点问题 小菜一碟：如图2，正方形ABCD 的边长为4，点 M 在边 DC 上，且 DM=1 ， N 为对角线 AC 上任意一点，则DN+MN的最小值为 例（ 10 年房山二模压轴）25. （1）如图 1，已知矩形ABCD 中，点 E 是 BC 上的一动点，过点E 作 EFBD 于点 F， EGAC 于点 G，CH BD
2、 于点 H，试证明 CH=EF+EG; (2) 若点 E 在的延长线上，如图 2，过点 E 作 EFBD 于点 F，EGAC 的延长线于点G，CHBD 于点 H， 则 EF、 EG、 H 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； (3) 如图 3， BD 是正方形 ABCD 的对角线 ,L 在 BD 上， 且 BL=BC, 连结 CL， 点 E是 CL 上任一点 , EFBD 于点 F，EG BC 于点 G，猜想 EF、EG、 BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； (4) 观察图 1、图 2、图 3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、 H 这 样的线
3、段，并满足（1）或（ 2）的结论，写出相关题设的条件和结论. 图2图1 G F H D H GF D A B B A C EC E 1.(2009 临沂 25)数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边 BC 的中 点90AEF o ，且 EF 交正方形外角DCG的平行线CF 于点 F，求证： AE=EF 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM=EC ，易证 AMEECF，所以AEEF 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边 BC 的中点”改为“点E 是边 BC 上（除 B，C 外）
4、的任 意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出 证明过程；如果不正确，请说明理由； （2） 小华提出： 如图 3， 点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点， 其他条件不变， 结论 “AE=EF ” 仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由 解： （1）正确 证明：在AB上取一点M，使AMEC，连接ME BMBE45BME ，135AME CFQ是外角平分线，45DCF ， 135ECF AMEECF 90AEBBAEQ ， 90AEBCEF ， BAECEFAMEBCF（ASA ） A
5、EEF （2）正确 证明：在BA的延长线上取一点N使ANCE，连接NE BNBE45NPCE Q四边形 ABCD是正方形，ADBE DAEBEANAECEF ANEECF（ASA） AEEF 2.（2009 年江西中考题25）如图 1，在等腰梯形ABCD 中，AD/BC，E 是 AB 的中点，过点E 作 EF/BC 交 CD 于点 F，AB4，BC6， B 60 （ 1）求点 E 到 BC 的距离； （ 2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过点P 作 PMEF 交 BC 于 M，过 M 作 MN/AB 交折线 ADC 于 N，连结 PN，设 EPx 当点 N 在线段 AD 上时（如图2）
6、， PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出PMN 的周长； 若改变，请说明理由； 当点N 在线段 DC 上时（如图3） ，是否存在点P，使 PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所 有满足条件的x 的值；若不存在，请说明理由 图 1 图 2 图 3 A D F C G E B 图 1 A D F C G E B 图 3 A D F C G E B 图 2 A D F C G E B M A D F C G E B N 思路点拨 1先解读这个题目的背景图，等腰梯形ABCD 的中位线EF4，这是x 的变化范围平行线间的 距离处处相等，AD 与 EF、EF 与 BC 间的距离相等 2当点 N 在线段
7、 AD 上时， PMN 中 PM 和 MN 的长保持不变是显然的，求证 PN 的长是关键 图 形中包含了许多的对边平行且相等，理顺线条的关系很重要 3分三种情况讨论等腰三角形PMN，三种情况各具特殊性，灵活运用几何性质解题 满分解答 （ 1）如图 4，过点 E 作 EGBC 于 G 在 RtBEG 中，2 2 1 ABBE， B60， 所以160cosBEBG，360sinBEEG 所以点 E 到 BC 的距离为3 （ 2）因为 AD/EF/BC，E 是 AB 的中点，所以F 是 DC 的中点 因此 EF 是梯形 ABCD 的中位线， EF4 如图 4，当点 N 在线段 AD 上时， PMN
8、的形状不是否发生改变 过点 N 作 NHEF 于 H，设 PH 与 NM 交于点 Q 在矩形 EGMP 中， EP GMx，PMEG3 在平行四边形BMQE 中， BMEQ1 x 所以 BGPQ1 因为 PM 与 NH 平行且相等，所以PH 与 NM 互相平分， PH2PQ2 在 RtPNH 中， NH3，PH 2，所以 PN7 在平行四边形ABMN 中， MNAB4 因此 PMN 的周长为37 4 图 4 图 5 当点 N 在线段 DC 上时， CMN 恒为等边三角形 如图 5，当 PMPN 时， PMC 与 PNC 关于直线PC 对称，点P 在 DCB 的平分线上 在 RtPCM 中， P
9、M3， PCM30，所以MC3 此时 M、P 分别为 BC、EF 的中点， x2 如图 6，当 MPMN 时， MPMNMC3，x GM GCMC53 如图 7，当 NPNM 时， NMP NPM 30，所以 PNM 120 又因为 FNM 120，所以P 与 F 重合 此时 x4 综上所述，当x2 或 4 或 53时， PMN 为等腰三角形 图 6 图 7 图 8 考点伸展 第（ 2）题求等腰三角形PMN 可以这样解： 如图 8，以 B 为原点，直线BC 为 x 轴建立坐标系，设点M 的坐标为（ m，0） ，那么点P 的坐标为 （m，3） ，MNMC6m，点 N 的坐标为（ 2 6m ， 2
10、 )6(3m ） 由两点间的距离公式，得219 22 mmPN 当 PMPN 时，9219 2 mm，解得3m或6m此时2x 当 MPMN 时，36m，解得36m，此时35x 当 NP NM 时， 22 )6(219mmm，解得5m，此时4x 二、双动点问题 例：如图 1，梯形 ABCD 中， AD BC， B=90， AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点 P 从 A 开始沿 AD 边以 1cm/秒的速度移动，点Q 从 C 开始沿 CB 向点 B 以 2 cm/秒的速度移 动，如果P，Q 分别从 A，C 同时出发，设移动时间为t 秒。 当 t= 时，四边形是平行四边形；6 当 t
11、= 时，四边形是等腰梯形. 8 1、 （ 2012 贵州遵义12 分）如图， ABC 是边长为6 的等边三角形，P是 AC边上一动点，由A向 C运动 （与 A 、C不重合）， Q是 CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向 CB延长线方向运动（Q不 与 B重合） ，过 P作 PE AB于 E，连接 PQ交 AB于 D （1）当 BQD=30 时，求AP的长； （2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由 2、如图，已知 ABC 中， 10ABAC 厘米， 8BC 厘米，点D为AB的中点 (1）如果点 P 在线段 BC 上以 3cm/s 的速度
12、由B 点向 C 点运动， 同时， 点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点 运动 若点 Q 的运动速度与点P的运动速度相等，经过1 秒后， BPD 与 CQP 是否全等，请说明理由； 若点 Q 的运动速度与点P的运动速度不相等， 当点 Q 的运动速度为多少时， 能够使 BPD 与 CQP 全等？ （2） 若点 Q 以中的运动速度从点C 出发，点 P以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿 ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点 Q 第一次在 ABC 的哪条边上相遇？ 解： （1） 1t 秒， 3 13BPCQ 厘米， 10AB 厘米，点 D为AB的中点， 5BD 厘米 又 8PCBC
13、BPBC， 厘米， 835PC 厘米，PC BD 又 ABAC ， BC， BPDCQP PQ vv ， BPCQ ， 又 BPDCQP ， BC，则 45BPPCCQBD， ， 点P，点 Q 运动的时间 4 33 BP t 秒， 515 4 4 3 Q CQ v t 厘米 /秒。 A Q C D B P （2）设经过x秒后点P与点 Q 第一次相遇，由题意，得 15 32 10 4 xx ，解得 80 3 x 秒 点P共运动了 80 380 3 厘米80 22824，点P、点Q在AB边上相遇， 经过 80 3 秒点P与点 Q 第一次在边AB上相遇 三、线动问题 例：如图，在 RtABC 中，
14、9060ACBB ，2BC 点O是AC的中点，过点 O的直 线l从与 AC重合的位置开始， 绕点 O作逆时针旋转， 交AB边于点D过点C 作CE AB 交直线 l 于 点E，设直线 l的旋转角为 （1）当 度时，四边形 EDBC 是等腰梯形，此时AD的长为； 当 度时，四边形 EDBC 是直角梯形，此时AD的长为； （2）当 90 时，判断四边形 EDBC是否为菱形，并说明理由 解： （1） 30，1； 60，1.5； （2）当 =900时，四边形EDBC 是菱形 . =ACB=90 0， BC/ED. CE/AB, 四边形 EDBC 是平行四边形 在 RtABC 中， ACB=90 0， B
15、=600,BC=2, A=30 0. AB=4,AC=2 3 . AO= 1 2 AC = 3 .在 RtAOD 中， A=30 0， AD=2. BD=2. BD=BC. 又四边形EDBC 是平行四边形， 四边形EDBC 是菱形 4、在 ABC 中， ACB=90，AC=BC ，直线 MN 经过点 C，且 AD MN 于 D，BEMN 于 E. (1)当直线 MN 绕点 C 旋转到图1 的位置时，求证：ADC CEB； DE=AD BE； (2)当直线 MN 绕点 C 旋转到图2 的位置时，求证：DE=AD-BE ； O E C B D A l O C B A （备用图） C B A E D
16、 图 1 N M A B C D E M N 图 2 A C B E D N M 图 3 (3)当直线 MN 绕点 C 旋转到图3 的位置时，试问DE、AD 、 BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量 关系，并加以证明. 解： （1） ACD= ACB=90 CAD+ ACD=90 BCE+ACD=90 CAD= BCE AC=BC ADC CEB ADC CEB CE=AD ，CD=BE DE=CE+CD=AD+BE (2) ADC= CEB= ACB=90 ACD= CBE 又 AC=BC ACD CBE CE=AD ，CD=BE DE=CE-CD=AD-BE (3) 当 MN 旋转到图3 的位置时， DE=BE-AD( 或 AD=BE-DE ，BE=AD+DE等) ADC= CEB= ACB=90 ACD=
