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1、类比法在电路分析中的应用F0903003 5090309181 郑家骁摘要：本论文讨论了类比其他物理模型，从而简化高阶电路分析的可行性与具体实现方法。然后讨论通过类比特定电路模型解决其他问题的方法关键词：类比法 电路分析 机械振动 光速前言：众所周知，电路分析的基本方法是根据电路元件的拓扑关系和KVL，KCL定律，列出方程，再结合支路元件的电气特性进行求解。而动态元件的出现将会导致列出的方程可能包含高阶微分项，给求解带来麻烦。而恰当使用类比法，就可以将复杂的高阶电路转化成相对简单的物理模型进行求解正文：1） 类比机械振动求解高阶电路响应首先我们可以从一个简单但是典型的例子入手探讨求解的方法。如
2、图是一个没有激励源的RLC串联回路，试求其零输入响应。这个电路对应电路方程是二阶齐次微分方程：（取电容带电量Q为因变量） 图1 RLC串联电路 QC+Ld2Qdt2+RdQdt=0 (1)求解这个方程是有一定难度的。-bv下面我们再看我们较为熟悉的物理模型：弹簧振子机械振动。如图是一个弹簧振子系统，取向右为正方向，假定振子系统在振动时还受到与速度方向相反，大小正比于速度大小的阻力bv，则根据牛顿第三定律，其力学方程可写为：图2 弹簧振子系统 -kx-bdxdt=md2xdt2化简可得：md2xdt2+bdxdt+kx=0 (2)比照（1）（2）两式，不难发现，若令k=1C，m=L，R=b，x=
3、Q，则两个方程完全相等，所以这种形式的振子系统和RLC串联电路完全可以一一对应起来。根据我们非常熟悉的力学推导结果，阻尼振子运动方程的解为：令0=km =b2ma) 欠阻尼情况：当202时x=A0e-tcost+ (3)式中=02-202时x=c1e-(-2-02)t+c2e-(+2-02)t (4)c) 临界阻尼情况：当2=02时x=c1+c2te-t (5)不失代表性，本文仅讨论欠阻尼情况下的解，其他情况类似，读者可自行讨论。令k=1C，m=L，R=b，x=Q，代入（3）式，可得Q=Q0e-R2Ltcos1LC-b24m2+ (6)两侧同除以C可得：Uc=Uc0e-R2Ltcos1LC-b
4、24m2+ (7)这个式子与我们使用经典法解出的表达式结论是一样的。以上只是最简单的电路，那么如果电路的拓扑结构更加复杂一些又该怎么样呢？我们可以在RLC电路中再串联进一个电感，记为L，显然，(1)式改写为QC+(L+L)d2Qdt2+RdQdt=0 (8)而若在弹簧振子模型中振子的另一端再连接一个一端固定的弹簧k，(2)式改写为(m+m)d2xdt2+bdxdt+kx=0 (9)若想重新建立起对应关系应满足k+k= m+m，则m=k.可见若是在回路中添加串联电感对应着振子质量的增加。同理，添加并联电感对应振子质量倒数的增加；并联电容对应振子劲度系数增加，串联电容对应振子劲度系数倒数增加。当然
5、，也可以选取回路中其他参量（例如电流）作为因变量，此时对应构建的振子模型参数与电路参数的对应关系将发生变化，在此不再赘述。类比法求解电路方程在电路比较简单的时候具有计算简便速度快的优点，但是在电路较为复杂的时候由于对应的振子模型难以构建，或者即使构建出来，振子模型也需要另外求解，因而并不适用。2） 类比电路求解其他物理模型：本文以求解光速为例，讨论类比电路在求解其他物理模型时的应用。我们先来看一个电路模型：如图是一个无限长LC网络，角频率为的交流电电流波沿着它传播，相邻两电容上的交流电相移为因网络无限，由对称性各电容电感电参量幅值均相等，可记作UCn=U0sint-nUCn+1=U0sint-
6、(n+1)假设电流向右传播，最左端n=0，由于网络中没有阻性元件，可得到：UC0=U0sintIC0=I0costUL0=U0costIL0=I0sint则图中ICn=I0cost-n=CU0cost-n由KVL:UCn+ULn-UCn+1=0ULn=U0sint-n+1-sint-n =2U0sin2cos(t-n+12) ILn=-2U0Lsin2sin(t-n+12)由KCL：ICn=ILn-ILn-1将前述结论代入CU0cost-n=2U0Lsin2(sint-n-12-sint-n+12)Ccost-n=4Lsin22cost-n其对所有t恒成立，故：2LC=4sin22=2(1-c
7、os)=arccos(1-122LC)要求2LC2定义电流波的速度为某一相位在单位时间内传播的距离，则v=lt 又=t 得到v=l=larccos(1-122LC)众所周知，电磁波传播的速度与频率无关，下面开始考虑什么情况下电流波传播速度也与频率无关。注意到1时，cos1-122，且cos=1-122LC得到LC1而此时，v=l=larccos(1-122LC)=lLC现在我们将这个模型应用与真空当中，如图是两块平行载流平面，现在截取其高为h，长为l，间距为d的一个区域。lhd显然整个空间是由许许多多这样的单元构成。考虑一列平行于l方向的电磁波，首先令单元的尺度足够小，使的满足LC1，则前面讨论的模型可以适用。求出正对面积间的电容，和假定两平面载流线密度为a时的电感（磁通量按通过两平面中的部分计算）。易得C=0lhd L=0ldh代入v表达式，可得v=100这个结果与麦克斯韦方程组推导的完全吻合。此外，类比法在各类模型的分析中还发挥着巨大的作用，有兴趣的读者可自行研究。
