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1、学 海 无 涯 - 1 - 数数 学学 亲爱的 XXXX 届平冈学子： 恭喜你进入平冈中学！你们是高中生了，做好了充分的准备吗？其实学好高中数学并不难，你只要有坚韧不拔的毅力，认真 做题，善于总结归纳，持之以恒，相信你一定能成功。 从 XXXX 年开始，广东省高考数学试题使用全国 I 卷，纵观今年高考数学试题，我们发现它最大的特点就是区分度特别大，选 拔性很明显，难度相比以前广东自主命题难度大大提升。打铁还需自身硬，因此，让自己变强大才是硬道理。假期发给你们的这 本小册子，是为了使你们在初高中数学学习上形成较好的连续性，能有效地克服知识和方法上的跳跃，利于激发你们学习数学的 兴趣。你们一定要利
2、用好暑假，做好充分的准备工作。 这里给大家几个学数学的建议： 1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。 记录本章你觉得最有价值的思想方法或 例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。 2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从 反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。 3、熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。 4、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装
3、”，如表格化，使知识结构一目了然；经常对习题进行类化，由一例 到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。 5、阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。 6、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。 7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：从数学思想分类从解题方法归类从知识应用上分类等，使所学的知识系统 化、条理化、专题化、网络化。 8、经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法 和解法，本题的分析方
4、法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。 9、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问 题。 初高中数学衔接呼应版块初高中数学衔接呼应版块 1立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不 作要 求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次
5、函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二 次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难 度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容， 6图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、 直线的对称问题必须掌握。 7含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不
6、等式、函数的综合考 查常成为高考综合题。 8几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习， 而高中都要涉及。 9. 角度问题，三角函数问题。在初中只涉及 360范围内的角，而高中是任意角。三角函数在初中也只是锐角三角函数，高中是任 意角三角函数，定义的范围大大不同。同时，度量角也引进了弧度制这个新的度量办法。 10. 高中阶段特别注重数学思维，数学思想方法的培养。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 目目 录录 1.1 数与式的运算数与式的运算 学 海 无 涯 - 2 - 1.1.1 绝绝对
7、对值值 1.1.2. 乘法公式乘法公式 1.1.3二次根式二次根式 1.1.分式分式 12 分解因式分解因式 2.1 一元二次方程一元二次方程 2.1.1 根的判别式根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）根与系数的关系（韦达定理） 2.2 二次函数二次函数 2.2.1 二次函数二次函数 yax2bxc 的图像和性质的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法一元二次不等式解法 1.1 数与式的
8、运算数与式的运算 1.1.1绝对值绝对值 一、概念：一、概念：绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即 ,0, |0,0, ,0. aa aa a a = 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 两个数的差的绝对值的几何意义：两个数的差的绝对值的几何意义：ba 表示在数轴上，数表示在数轴上，数a和数和数b之之间的距离间的距离 二、典型例题：二、典型例题： 例例 1 解不等式：
9、解不等式：4| 1|x 解法一：由解法一：由01=x，得，得1=x； 若若1x，不等式可变为，不等式可变为4) 1( x，即，即41 x，得，得3x，又又 x1， x-3； 若若x1，不等式可变为，不等式可变为4) 1(x， 即即5x 又又1x 5x 综上所综上所述，原述，原不等式的解为不等式的解为3x或或5x。 解法二：如图解法二：如图 111，1x表示表示 x 轴上坐标为轴上坐标为 x 的点的点 P 到坐标为到坐标为 1 的点的点 A 之间的距离之间的距离|PA|，即，即|PA|x1|； 所以所以4| 1|x的的几何意义即为几何意义即为 |PA|4 可知点可知点 P 在点在点 C(坐标为坐
10、标为-3)的左侧、 或点的左侧、 或点 P 在在点点 D(坐标坐标 5)的右侧的右侧 3x或或5x。 练练 习习 A 1填空：填空： （1） 若） 若5=x， 则， 则 x=_； 若； 若4=x，则则 x=_. （2）如果）如果5=+ ba，且，且1=a，则，则 b_；若；若21=c，则，则 c_. 2选择题：选择题： 下列叙述正确的是下列叙述正确的是 （ ） （A）若）若ab=，则，则ab= （B）若）若ab，则，则ab （C）若）若ab，则，则ab （D）若）若ab=，则，则ab= 练习练习 B 3解不等式：解不等式：3|2|+x 4、化简：化简：|x5|2x13|（x5） ） 1.1.2
11、. 乘法公式乘法公式 一、复习：一、复习：我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： 1 A x -3 C x P |x1| 图 111 D 5 学 海 无 涯 - 3 - （1）平方差公式）平方差公式 22 ()()ab abab+=； （2）完全平方公式）完全平方公式 222 ()2abaabb=+ 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式）立方和公式 2233 ()()ab aabbab+=+； （2）立方差立方差公式公式 2233 ()()ab aabbab+=； （3）三数和平方公式）三数
12、和平方公式 2222 ()2()abcabcabbcac+=+； （4）两数和立方公式）两数和立方公式 33223 ()33abaa babb+=+； （5）两数差立方公式）两数差立方公式 33223 ()33abaa babb=+ 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明 二、典型例题二、典型例题 例例 1 计算：计算： 22 (1)(1)(1)(1)xxxxxx+ 解法一：原式解法一：原式= 2222 (1) (1)xxx+ = 242 (1)(1)xxx+= 6 1x 解法二：原式解法二：原式= 22 (1)(1)(1)(1)xxx
13、xxx+ = 33 (1)(1)xx+ = 6 1x 例例 2 已知已知4abc+ +=，4abbcac+=，求，求 222 abc+的值的值 解：解： 2222 ()2()8abcabcabbcac+=+= 练练 习习 A 1填空：填空： （1） 22 1111 () 9423 abba=+（ ） ；） ； （2）(4m+ 22 )164(mm=+ )； (3 ) 2222 (2)4(abcabc+=+ ) 2选择题：选择题： （1）若）若 2 1 2 xmxk+是一个完全平方式，则是一个完全平方式，则k等于等于 （ ） （A） 2 m （B） 2 1 4 m （C） 2 1 3 m （D）
14、 2 1 16 m （2）不论）不论a，b为何实数，为何实数， 22 248abab+的值的值 （ ） （A）总是正数）总是正数 （B）总是负数）总是负数 （C）可以是零）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数）可以是正数也可以是负数 1.1.3二次根式二次根式 一、概念：一、概念：一般地，形如一般地，形如(0)a a 的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式开得尽方的式子称为无理式. 例如例如 2 32aabb+， 22 ab+等是无理式，而等是无理式，而 2 2 21 2 xx+， 22 2xxyy+， 2 a等是有理
15、式等是有理式 1分母（子）有理化分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次 根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与与2，3 a与与a，36+ 与与36，2 33 2与与2 33 2+，等等，等等 一般地，一般地，a x与与x，a xb y+与与a xb y，a xb+与与a xb互为有理互为有理 化因式化因式 分母有理
