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1、学 海 无 涯 学习好帮手 1 高中各种函数图像及其性质 一次函数 (一)函数 1、确定函数定义域的方法: (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数; (2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零; (3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零; (4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零; (5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。 (二)一次函数 1、一次函数的定义 一般地,形如 ykxb=+ (k,b是常数,且 0k )的函数,叫做一次函数,其中 x 是 自变量。当 0b= 时,一次函数 ykx= ,又叫做正比例函数。 一次函数的解析式的形式是 ykxb=+
2、 ,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断 是否能化成以上形式 当 0b= , 0k 时, ykx= 仍是一次函数 当 0b= , 0k = 时,它不是一次函数 正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数 2、正比例函数及性质 一般地,形如 y=kx(k 是常数,k0)的函数叫做正比例函数,其中 k 叫做比例系数. 注:正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) k 不为零 x 指数为 1 b 取零 当 k0 时,直线 y=kx 经过三、一象限,从左向右上升,即随 x 的增大 y 也增大;当 k0 时,图像经过一、三象限;k0,y 随 x 的增大而增大;k0 时,向上平移;当 b0,
3、图象经过第一、三象限;k0,图象经过第一、二象限;b0,y 随 x 的增大而增大;k0 时,将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位; 当 b0 b0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 图象从左到右上升,y 随 x 的增大而增大 k0 时,向上平移;当 b0 时,直线经过一、三象限; k0,y 随 x 的增大而增大; (从左向右上升) k0时, 将直线y=kx的图象向上平移b个单位; b0 或 ax+b0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0 时,图象分别位于第一、三象限,同一个象限内,y 随 x 的增大而 减小;
4、当 k0 时,函数在 x0 上同为减函数;k0 时,函数 在 x0 上同为增函数。 定义域为 x0;值域为 y0。 3.因为在 y=k/x(k0)中,x 不能为 0,y 也不能为 0,所以反比例函数的图 学 海 无 涯 学习好帮手 13 象不可能与 x 轴相交,也不可能与 y 轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点 P,Q,过点 P,Q 分别作 x 轴,y 轴的 平行线,与坐标轴围成的矩形面积为 S1,S2 则 S1S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称 轴 y=x y=-x(即第一三,二四象限角平分线) ,对称中心是坐标原点。 6.若设正比
5、例函数 y=mx 与反比例函数 y=n/x 交于 A、B 两点(m、n 同号) , 那么 A B 两点关于原点对称。 7.设在平面内有反比例函数 y=k/x 和一次函数 y=mx+n,要使它们有公共交 点,则 n2+4km(不小于)0。 8.反比例函数 y=k/x 的渐近线:x 轴与 y 轴。 9.反比例函数关于正比例函数 y=x,y=-x 轴对称,并且关于原点中心对称. 10.反比例上一点 m 向 x、y 分别做垂线,交于 q、w,则矩形 mwqo(o 为原 点)的面积为|k| 11.k 值相等的反比例函数重合,k 值不相等的反比例函数永不相交。 12.|k|越大,反比例函数的图象离坐标轴的
6、距离越远。 13.反比例函数图象是中心对称图形,对称中心是原点 指数函数 概念:一般地,函数 y=ax(a0,且 a1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数 的定义域是 R。 注意:指数函数对外形要求严格,前系数要为 1,否则不能为指数函数。 指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质: 学 海 无 涯 学习好帮手 14 规律:1. 当两个指数函数中的 a 互为倒数时,两个函数关于 y 轴对称,但这 两个函数都不具有奇偶性。 2.当 a1 时,底数越大,图像上升的越快,在 y 轴的右侧,图像越靠近 y 轴; 当 0a1 时,底数越小,图像下降的越快,在 y 轴的左侧,图像越靠近 y
7、轴。 在 y 轴右边“底大图高”;在 y 轴左边“底大图低”。 学 海 无 涯 学习好帮手 15 3.四字口诀: “大增小减” 。即:当 a1 时,图像在 R 上是增函数;当 0a1 时, 图像在 R 上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 比较幂式大小的方法: 1. 当底数相同时,则利用指数函数的单调性进行比较; 2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论; 3. 当底数不同,指数也不同时,则需要引入中间量进行比较; 4. 对多个数进行比较,可用 0 或 1 作为中间量进行比较 底数的平移: 在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。 在 f(X)后加上一个
8、数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移。 对数函数 1.对数函数的概念 由于指数函数 y=a x在定义域(-,+)上是单调函数,所以它存在反函数, 我们把指数函数 y=a x(a0,a1)的反函数称为对数函数,并记为 y=log ax(a0,a1). 因为指数函数 y=a x的定义域为(-,+),值域为(0,+),所以对数函数 y=log ax 的 定义域为(0,+),值域为(-,+). 2.对数函数的图像与性质 对数函数与指数函数互为反函数,因此它们的图像对称于直线 y=x. 据此即可以画 出对数函数的图像,并推知它的性质. 学 海 无 涯 学习好帮手 16 为了研究对数函数 y=l
9、ogax(a0,a1)的性质,我们在同一直角坐标系中作出函数 y=log2x,y=log10 x,y=log10 x,y=log 2 1 x,y=log 10 1 x 的草图 由草图,再结合指数函数的图像和性质,可以归纳、分析出对数函数 y=logax(a0,a 1)的图像的特征和性质.见下表. 图 象 a1 a1 性 质 (1)x0 (2)当 x=1 时,y=0 (3)当 x1 时,y0 0 x1 时,y0 (3)当 x1 时,y0 0 x1 时,y0 (4)在(0,+)上是增函数 (4)在(0,+)上是减函数 补 充 性 质 设 y1=logax y2=logbx 其中 a1,b1(或 0
10、a1 0b1) 当 x1 时“底大图低”即若 ab 则 y1y2 当 0 x1 时“底大图高”即若 ab,则 y1y2 比较对数大小的常用方法有: (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断. (2)若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论. (3)若底数不同、真数相同,则可用换底公式化为同底再进行比较. 学 海 无 涯 学习好帮手 17 (4)若底数、真数都不相同,则常借助 1、0、-1 等中间量进行比较. 3.指数函数与对数函数对比 名称 指数函数 对数函数 一般形式 y=a x(a0,a1) y=logax(a0,a1) 定义域 (-,+) (0,+) 值
11、域 (0,+) (-,+) 函 数 值 变 化 情 况 当 a1 时, = )0( 1 )0( 1 )0( 1 x x x a x 当 0a1 时, = )0( 1 )0( 1 )0( 1 x x x a x 当 a1 时 = ) 1(0 ) 1(0 ) 1(0 log x x x x a 当 0a1 时, = ) 1(0 ) 1(0 ) 1(0 log x x x x a 单调性 当 a1 时,a x是增函数; 当 0a1 时,a x是减函数. 当 a1 时,logax 是增函数; 当 0a1 时,logax 是减函数. 图像 y=a x的图像与 y=log ax 的图像关于直线 y=x 对
12、称. 幂函数 幂函数的图像与性质 幂函数 n yx=随着n的不同,定义域、值域都会发生变化,可以采取按性质和图像分 类记忆的方法熟练掌握 n yx=,当 1 1 2,1,3 2 3 n = 的图像和性质,列表如下 从中可以归纳出以下结论: 它们都过点()1,1,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函 数图像都不过第四象限 1 1 ,1, 2,3 3 2 a =时,幂函数图像过原点且在)0,+上是增函数 1 ,1,2 2 a = 时,幂函数图像不过原点且在()0,+上是减函数 任何两个幂函数最多有三个公共点 n yx= 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 学 海 无 涯 学习好帮手 18
13、1n 01n 0n yx= 2 yx= 3 yx= 1 2 yx= 1 yx= 定义域 R R R |0 x x |0 x x 奇偶性 奇 奇 奇 非奇非偶 奇 在第象限的增减 性 在第象限 单调递增 在第象限 单调递增 在第象限 单调递增 在第象限 单调递增 在第象限 单调递减 幂函数 yx= (xR,是常数)的图像在第 一象限的分布规律是: 所有幂函数 yx= (xR,是常数)的图 像都过点 ) 1 , 1 ( ; 当 2 1 , 3 , 2 , 1= 时函数 yx= 的图像都过原 O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y
14、学 海 无 涯 学习好帮手 19 点 )0 , 0( ; 当 1= 时, yx= 的的图像在第一象限是第一象限的平分线(如 2 c ) ; 当 3 , 2= 时, yx= 的的图像在第一象限是“凹型”曲线(如 1 c ) 当 2 1 = 时, yx= 的的图像在第一象限是“凸型”曲线(如 3 c ) 当 1= 时, yx= 的的图像不过原点 )0 , 0( ,且在第一象限是“下滑”曲线(如 4 c ) 当 0 时,幂函数 yx= 有下列性质: (1)图象都通过点 ) 1 , 1 (),0 , 0( ; (2)在第一象限内都是增函数; (3)在第一象限内, 1 时,图象是向下凸的; 10 时,图
15、象是向上凸的; (4)在第一象限内,过点 ) 1 , 1 ( 后,图象向右上方无限伸展。 当 0 时,幂函数 yx= 有下列性质: (1)图象都通过点 ) 1 , 1 ( ; (2)在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的; (3)在第一象限内,图象向上与 y 轴无限地接近;向右无限地与x轴无限地接近; (4)在第一象限内,过点 ) 1 , 1 ( 后, 越大,图象下落的速度越快。 无论取任何实数,幂函数 yx= 的图象必然经过第一象限,并且一定不经 过第四象限。 对号函数 函数 x b axy+= (a0,b0)叫做对号函数,因其在(0,+)的图象似符号“” 而得名,利用对号函数的图象及均值不等式,当 x0 时, a b x b ax2+(