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1、学 海 无 涯 学习好帮手 1 高中各种函数图像及其性质 一次函数 （一）函数 1、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 （二）一次函数 1、一次函数的定义 一般地，形如 ykxb=+ （k，b是常数，且 0k ）的函数，叫做一次函数，其中 x 是 自变量。当 0b= 时，一次函数 ykx= ，又叫做正比例函数。 一次函数的解析式的形式是 ykxb=+
2、 ，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断 是否能化成以上形式 当 0b= ， 0k 时， ykx= 仍是一次函数 当 0b= ， 0k = 时，它不是一次函数 正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数 2、正比例函数及性质 一般地，形如 y=kx(k 是常数，k0)的函数叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) k 不为零 x 指数为 1 b 取零 当 k0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随 x 的增大 y 也增大；当 k0 时，图像经过一、三象限；k0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，向上平移；当 b0，
3、图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位； 当 b0 b0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大 k0 时，向上平移；当 b0 时，直线经过一、三象限； k0，y 随 x 的增大而增大； （从左向右上升） k0时， 将直线y=kx的图象向上平移b个单位； b0 或 ax+b0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0 时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y 随 x 的增大而 减小；
4、当 k0 时，函数在 x0 上同为减函数；k0 时，函数 在 x0 上同为增函数。 定义域为 x0；值域为 y0。 3.因为在 y=k/x(k0)中，x 不能为 0，y 也不能为 0，所以反比例函数的图 学 海 无 涯 学习好帮手 13 象不可能与 x 轴相交，也不可能与 y 轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点 P，Q，过点 P，Q 分别作 x 轴，y 轴的 平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 S1，S2 则 S1S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称 轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线） ，对称中心是坐标原点。 6.若设正比
5、例函数 y=mx 与反比例函数 y=n/x 交于 A、B 两点（m、n 同号） ， 那么 A B 两点关于原点对称。 7.设在平面内有反比例函数 y=k/x 和一次函数 y=mx+n，要使它们有公共交 点，则 n2+4km（不小于）0。 8.反比例函数 y=k/x 的渐近线：x 轴与 y 轴。 9.反比例函数关于正比例函数 y=x,y=-x 轴对称,并且关于原点中心对称. 10.反比例上一点 m 向 x、y 分别做垂线，交于 q、w，则矩形 mwqo（o 为原 点）的面积为|k| 11.k 值相等的反比例函数重合，k 值不相等的反比例函数永不相交。 12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的
6、距离越远。 13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点 指数函数 概念：一般地，函数 y=ax（a0，且 a1）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数 的定义域是 R。 注意：指数函数对外形要求严格，前系数要为 1，否则不能为指数函数。 指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质： 学 海 无 涯 学习好帮手 14 规律：1. 当两个指数函数中的 a 互为倒数时，两个函数关于 y 轴对称，但这 两个函数都不具有奇偶性。 2.当 a1 时，底数越大，图像上升的越快，在 y 轴的右侧，图像越靠近 y 轴； 当 0a1 时，底数越小，图像下降的越快，在 y 轴的左侧，图像越靠近 y
7、轴。 在 y 轴右边“底大图高”；在 y 轴左边“底大图低”。 学 海 无 涯 学习好帮手 15 3.四字口诀： “大增小减” 。即：当 a1 时，图像在 R 上是增函数；当 0a1 时， 图像在 R 上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 比较幂式大小的方法： 1. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论； 3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较； 4. 对多个数进行比较，可用 0 或 1 作为中间量进行比较 底数的平移： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在 f(X)后加上一个
8、数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 对数函数 1.对数函数的概念 由于指数函数 y=a x在定义域(-，+)上是单调函数，所以它存在反函数， 我们把指数函数 y=a x(a0，a1)的反函数称为对数函数，并记为 y=log ax(a0，a1). 因为指数函数 y=a x的定义域为(-，+)，值域为(0，+)，所以对数函数 y=log ax 的 定义域为(0，+)，值域为(-，+). 2.对数函数的图像与性质 对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线 y=x. 据此即可以画 出对数函数的图像，并推知它的性质. 学 海 无 涯 学习好帮手 16 为了研究对数函数 y=l
9、ogax(a0，a1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数 y=log2x，y=log10 x，y=log10 x,y=log 2 1 x,y=log 10 1 x 的草图 由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数 y=logax(a0，a 1)的图像的特征和性质.见下表. 图 象 a1 a1 性 质 (1)x0 (2)当 x=1 时，y=0 (3)当 x1 时，y0 0 x1 时，y0 (3)当 x1 时，y0 0 x1 时，y0 (4)在(0，+)上是增函数 (4)在(0，+)上是减函数 补 充 性 质 设 y1=logax y2=logbx 其中 a1，b1(或 0
10、a1 0b1) 当 x1 时“底大图低”即若 ab 则 y1y2 当 0 x1 时“底大图高”即若 ab，则 y1y2 比较对数大小的常用方法有： (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断. (2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论. (3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较. 学 海 无 涯 学习好帮手 17 (4)若底数、真数都不相同，则常借助 1、0、-1 等中间量进行比较. 3.指数函数与对数函数对比 名称 指数函数 对数函数 一般形式 y=a x(a0，a1) y=logax(a0，a1) 定义域 (-，+) (0，+) 值
11、域 (0，+) (-，+) 函 数 值 变 化 情 况 当 a1 时， = )0( 1 )0( 1 )0( 1 x x x a x 当 0a1 时， = )0( 1 )0( 1 )0( 1 x x x a x 当 a1 时 = ) 1(0 ) 1(0 ) 1(0 log x x x x a 当 0a1 时， = ) 1(0 ) 1(0 ) 1(0 log x x x x a 单调性 当 a1 时，a x是增函数； 当 0a1 时，a x是减函数. 当 a1 时，logax 是增函数； 当 0a1 时，logax 是减函数. 图像 y=a x的图像与 y=log ax 的图像关于直线 y=x 对
12、称. 幂函数 幂函数的图像与性质 幂函数 n yx=随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分 类记忆的方法熟练掌握 n yx=，当 1 1 2,1,3 2 3 n = 的图像和性质，列表如下 从中可以归纳出以下结论： 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函 数图像都不过第四象限 1 1 ,1, 2,3 3 2 a =时，幂函数图像过原点且在)0,+上是增函数 1 ,1,2 2 a = 时，幂函数图像不过原点且在()0,+上是减函数 任何两个幂函数最多有三个公共点 n yx= 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 学 海 无 涯 学习好帮手 18
13、1n 01n 0n yx= 2 yx= 3 yx= 1 2 yx= 1 yx= 定义域 R R R |0 x x |0 x x 奇偶性 奇 奇 奇 非奇非偶 奇 在第象限的增减 性 在第象限 单调递增 在第象限 单调递增 在第象限 单调递增 在第象限 单调递增 在第象限 单调递减 幂函数 yx= （xR，是常数）的图像在第 一象限的分布规律是： 所有幂函数 yx= （xR，是常数）的图 像都过点 ) 1 , 1 ( ； 当 2 1 , 3 , 2 , 1= 时函数 yx= 的图像都过原 O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y
14、学 海 无 涯 学习好帮手 19 点 )0 , 0( ； 当 1= 时， yx= 的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如 2 c ） ； 当 3 , 2= 时， yx= 的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如 1 c ） 当 2 1 = 时， yx= 的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如 3 c ） 当 1= 时， yx= 的的图像不过原点 )0 , 0( ，且在第一象限是“下滑”曲线（如 4 c ） 当 0 时，幂函数 yx= 有下列性质： （1）图象都通过点 ) 1 , 1 (),0 , 0( ； （2）在第一象限内都是增函数； （3）在第一象限内， 1 时，图象是向下凸的； 10 时，图
15、象是向上凸的； （4）在第一象限内，过点 ) 1 , 1 ( 后，图象向右上方无限伸展。 当 0 时，幂函数 yx= 有下列性质： （1）图象都通过点 ) 1 , 1 ( ； （2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的； （3）在第一象限内，图象向上与 y 轴无限地接近；向右无限地与x轴无限地接近； （4）在第一象限内，过点 ) 1 , 1 ( 后， 越大，图象下落的速度越快。 无论取任何实数，幂函数 yx= 的图象必然经过第一象限，并且一定不经 过第四象限。 对号函数 函数 x b axy+= （a0,b0）叫做对号函数，因其在（0，+）的图象似符号“” 而得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当 x0 时， a b x b ax2+（
