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1、必修2 第4讲 两条直线的位置关系（专题测试）参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1（2019秋南充期末）已知点A（1，0，2）与点B （1，3，1），则|AB|（）A2B6C3D10【解析】解：根据题意，点A（1，0，2）与点B （1，3，1），则|AB|=(1-1)2+(0+3)2+(2-1)2=10；故选：D【点睛】本题考查空间两点间距离的计算，注意两点间距离公式的应用，属于基础题2（2019秋内江期末）已知点M（1，3）到直线l：mx+y10的距离等于1，则实数m等于（）A34B43C-43D-34【解析】解：根据题意，点M（1，3）到直线l：mx+y10的距离等于1，则有d=|m
2、+3-1|m2+1=1，解可得m=-34；故选：D【点睛】本题考查点到直线的距离公式，关键是掌握公式的形式，属于基础题3（2020宝安区校级模拟）若直线l1：x+ay+60与l2：（a2）x+3y+2a0平行，则l1与l2间的距离为（）A2B823C3D833【解析】解：由l1l2得：1a-2=a362a，解得：a1，l1与l2间的距离d=6-2312+(-1)2=823，故选：B【点睛】本题主要考查了两直线平行A1x+B1y+C10，A2x+B2y+C20的条件A1B2A2B10的应用，及两平行线间的距离公式d=|C2-C1|A2+B2的应用4（2019秋雅安期末）过直线l1：x2y+40与
3、直线l2：x+y+10的交点，且过原点的直线方程为（）A2xy0B2x+y0Cx2y0Dx+2y0【解析】解：联立x-2y+4=0x+y+1=0，解得两条直线l1：x2y+40与直线l2：x+y+10的交点（2，1）过点P（2，1）且过原点（0，0）的直线方程为：yx=1-2，即x+2y0故选：D【点睛】本题考查了两直线的交点坐标，考查了方程组的解法，是基础题5（2020中山区校级一模）在直角坐标系中，已知A（1，0），B（4，0），若直线x+my10上存在点P，使得|PA|2|PB|，则正实数m的最小值是（）A13B3C33D3【解析】解：设P（1my，y），由|PA|2|PB|得（1my1
4、）2+y24（1my4）2+y2化简得（m2+1）y2+8my+120，64m248（m2+1）0，解得m3或m-3（舍），易知m=3时，y=-3故m的最小值为3故选：D【点睛】本题考查了两点间距离公式以及判别式法求最小值的问题，同时考查了学生的逻辑推理能力、数学运算等数学核心素养6（2019秋芜湖期末）若点A（0，t）与曲线ylnx上点B距离最小值为23，则实数t为（）Aln2+3Bln3+2C12ln3+3D12ln2+2【解析】解：设点B坐标为（x0，lnx0），其中x00，y=1x，过点B的切线斜率为1x0，当直线AB与过点B的切线垂直时，点A与点B间的距离最小，此时lnx0-tx0=
5、-x0，lnx0-t=-x02，点A与点B间的距离最小值x02+(lnx0-t)2=x02+x04=23，即x04+x02-12=0，解得：x02=3，又x00，x0=3，t=lnx0+x02=ln3+3=12ln3+3，故选：C【点睛】本题主要考查了直线与直线的位置关系，以及两点间距离公式，是中档题7（2019秋黄浦区期末）已知aR，若不论a为何值时，直线l：（12a）x+（3a+2）ya0总经过一个定点，则这个定点的坐标是（）A（2，1）B（1，0）C(-27，17)D(17，-27)【解析】解：由直线l：（12a）x+（3a+2）ya0，知a（3y2x1）+（x+2y）0不论a为何值时，
6、直线l：（12a）x+（3a+2）ya0总经过一个定点，即a有无数个解，3y2x10且x+2y0，x=-27，y=17，这个定点的坐标是(-27，17)故选：C【点睛】本题考查的知识点是恒过定点的直线，处理的方法是将直线方程化成两部分：一部分含参数，一部分不含参数，让两部分的系数均为0，构造方程组8（2019秋濮阳期末）点A（3，2），B（3，2），直线axy10与线段AB相交，则实数a的取值范围是（）A-43a12Ba1或a1C1a1Da43或a12【解析】解：由直线axy10的方程，判断恒过P（0，1），如下图示：KPA1，KPB1，结合图象可得：实数a的取值范围是：a1或a1故选：B【点
7、睛】求恒过P点且与线段AB相交的直线的斜率的取值范围，有两种情况：当AB，在P竖直方向上的同侧时，（如本题）计算KPA与KPB，若KPAKPB，则直线的斜率kKPA，KPB当AB，在P竖直方向上的异侧时，（如下图）计算KPA与KPB，若KPAKPB，则直线的斜率k（，KPAKPB，+）就是过p点的垂直x轴的直线与线段有交点时，斜率范围写两段区间，无交点时写一段区间9（2019秋城关区校级期末）已知两定点A（3，5），B（2，8），动点P在直线xy+10上，则|PA|+|PB|的最小值为（）A513B34C55D226【解析】解：两定点A（3，5），B（2，8），动点P在直线xy+10上，点A（
8、3，5），B（2，8）P在直线xy+10同侧，设点A关于直线xy+10的对称点为C（a，b），则a-32-5+b2+1=0b-5a+3=-1，解得a4，b2，C（4，2），|PA|+|PB|的最小值为：|BC|=(4-2)2+(-2-8)2=226故选：D【点睛】本题考查两线段和的最小值的求法，考查直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10（2019秋西湖区校级期末）已知两点A(1，63)，B(0，53)到直线l的距离均等于a，且这样的直线可作4条，则a的取值范围是（）Aa1B0a1C0a1D0a2【解析】解：由题意如图所示：因为若A，B在直线的同一侧，可做两条直线，所
9、以若有这样的直线有4条，则当A，B两点分别在直线的两侧时，还应该有两条，所以2a小于A，B的距离，因为|AB|=(1-0)2+(63-53)2=2，所以02a2，所以：0a1，故选：B【点睛】考查点到直线的距离公式，属于中档题二填空题（共4小题）11（2020通州区一模）圆（x1）2+y21的圆心到直线x+3y+1=0的距离为1【解析】解：圆（x1）2+y21的圆心坐标为（1，0），所以圆（x1）2+y21的圆心到直线x+3y+1=0的距离d=|1+1|12+(3)2=1，故答案为：1【点睛】本题主要考查了点到直线距离公式，是基础题12（2019秋浏阳市期末）两条平行直线l：3x+4y4与m：
10、3x+4y90之间的距离d1【解析】解：两条平行直线l：3x+4y404与m：3x+4y90之间的距离d=|-4+9|32+42=1故答案为：1【点睛】本题考查的知识要点：两平行线间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型13（2020春鼓楼区校级期中）已知直线l1：4x+2y70和l2：2x+y10，直线m分别与l1，l2交于A，B两点，则线段AB长度的最小值为52【解析】解：由题知，l2：4x+2y20，两直线间的距离d=542+(-2)2=52，故答案为：52【点睛】本题考查了平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14（2020佛山一
11、模）在平面直角坐标系xOy中，对曲线C上任意一点P，P到直线x+10的距离与该点到点O的距离之和等于2，则曲线C与y轴的交点坐标是（0，1）；设点A（-54，0），则|PO|+|PA|的最小值为74【解析】解：设P（x，y），P到直线x+10的距离与该点到点O的距离之和等于2，则|x+1|+x2+y2=2，令x0，1+|y|2，y1，故曲线C与y轴的交点为（0，1），（0，1），当x1时，由x2+y2=1-x，其表示P到原点的距离与到直线x1的距离相等，故轨迹方程是以原点O为焦点，x1为准线的在x1的抛物线，根据题意，当O，P，A三点共线时，则|PO|+|PA|的最小为|AB|1+54=94，
12、当x1时，x2+y2=x+3，表示P到原点的距离与到直线x3的距离相等，故轨迹方程是以原点O为焦点，x3为准线的在x1的抛物线，根据题意，当O，P，A三点共线时，则|PO|+|PA|的最小为|AC|=-54+3=74，综上，|PO|+|PA|的最小值为74，故答案为：（0，1）；74【点睛】考查直线与抛物线的综合，求曲线的轨迹方程，中档题三解答题（共3小题）15（2019秋渭滨区期末）已知直线l：x2y+60在x轴上的截距为m，在y轴上的截距为n（1）求实数m，n的值；（2）求点（m，n）到直线l的距离【解析】解：（1）令x0，得y3；令y0，得x6，所以m6，n3（2）由（1）知点（m，n）
13、为（6，3），所以点（m，n）到直线l的距离为d=|-6-23+6|1+4=65=655【点睛】本题主要考查了直线的截距及点到直线的距离公式的简单应用，属于基础试题16（2019秋包河区校级期末）已知直线l方程为x（m+1）y+3m20，mR（1）求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；（2）若直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程【解析】解：（1）证明：x（m+1）y+3m20，化为：（xy2）m（y3）0联立：（xy2）y30解得x5，y3交点（5，3），故定点P的坐标为（5，3）（2）对于直线l方程为x（m+1）y+3m20，mR当直线l不经过原点时，令y0，可得x3m+20
14、，再令x0，可得y=3m-2m+1，所以3m+2=3m-2m+1，解得m2，故直线l的方程为：x+y80当直线l经过原点时，3m20，解得m=23，故直线l的方程3x5y0故要求的直线l的方程为：x+y80或3x5y0【点睛】本题考查了直线系、截距式方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题17（2020春江宁区校级月考）设直线1的方程为（a+1）x+y52a0（aR）（1）求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；（2）若直线1分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A（xA，0），B（0，yB），当AOB面积最小时，求AOB的周长；（3）当直线1在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l的方程【解析】解：（1）直线1的方程为（a+1）x+y52a0（aR）整理可得：a（x2）+x+y
