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1、必修2 第4讲 两条直线的位置关系(专题测试)参考答案与试题解析一选择题(共10小题)1(2019秋南充期末)已知点A(1,0,2)与点B (1,3,1),则|AB|()A2B6C3D10【解析】解:根据题意,点A(1,0,2)与点B (1,3,1),则|AB|=(1-1)2+(0+3)2+(2-1)2=10;故选:D【点睛】本题考查空间两点间距离的计算,注意两点间距离公式的应用,属于基础题2(2019秋内江期末)已知点M(1,3)到直线l:mx+y10的距离等于1,则实数m等于()A34B43C-43D-34【解析】解:根据题意,点M(1,3)到直线l:mx+y10的距离等于1,则有d=|m
2、+3-1|m2+1=1,解可得m=-34;故选:D【点睛】本题考查点到直线的距离公式,关键是掌握公式的形式,属于基础题3(2020宝安区校级模拟)若直线l1:x+ay+60与l2:(a2)x+3y+2a0平行,则l1与l2间的距离为()A2B823C3D833【解析】解:由l1l2得:1a-2=a362a,解得:a1,l1与l2间的距离d=6-2312+(-1)2=823,故选:B【点睛】本题主要考查了两直线平行A1x+B1y+C10,A2x+B2y+C20的条件A1B2A2B10的应用,及两平行线间的距离公式d=|C2-C1|A2+B2的应用4(2019秋雅安期末)过直线l1:x2y+40与
3、直线l2:x+y+10的交点,且过原点的直线方程为()A2xy0B2x+y0Cx2y0Dx+2y0【解析】解:联立x-2y+4=0x+y+1=0,解得两条直线l1:x2y+40与直线l2:x+y+10的交点(2,1)过点P(2,1)且过原点(0,0)的直线方程为:yx=1-2,即x+2y0故选:D【点睛】本题考查了两直线的交点坐标,考查了方程组的解法,是基础题5(2020中山区校级一模)在直角坐标系中,已知A(1,0),B(4,0),若直线x+my10上存在点P,使得|PA|2|PB|,则正实数m的最小值是()A13B3C33D3【解析】解:设P(1my,y),由|PA|2|PB|得(1my1
4、)2+y24(1my4)2+y2化简得(m2+1)y2+8my+120,64m248(m2+1)0,解得m3或m-3(舍),易知m=3时,y=-3故m的最小值为3故选:D【点睛】本题考查了两点间距离公式以及判别式法求最小值的问题,同时考查了学生的逻辑推理能力、数学运算等数学核心素养6(2019秋芜湖期末)若点A(0,t)与曲线ylnx上点B距离最小值为23,则实数t为()Aln2+3Bln3+2C12ln3+3D12ln2+2【解析】解:设点B坐标为(x0,lnx0),其中x00,y=1x,过点B的切线斜率为1x0,当直线AB与过点B的切线垂直时,点A与点B间的距离最小,此时lnx0-tx0=
5、-x0,lnx0-t=-x02,点A与点B间的距离最小值x02+(lnx0-t)2=x02+x04=23,即x04+x02-12=0,解得:x02=3,又x00,x0=3,t=lnx0+x02=ln3+3=12ln3+3,故选:C【点睛】本题主要考查了直线与直线的位置关系,以及两点间距离公式,是中档题7(2019秋黄浦区期末)已知aR,若不论a为何值时,直线l:(12a)x+(3a+2)ya0总经过一个定点,则这个定点的坐标是()A(2,1)B(1,0)C(-27,17)D(17,-27)【解析】解:由直线l:(12a)x+(3a+2)ya0,知a(3y2x1)+(x+2y)0不论a为何值时,
6、直线l:(12a)x+(3a+2)ya0总经过一个定点,即a有无数个解,3y2x10且x+2y0,x=-27,y=17,这个定点的坐标是(-27,17)故选:C【点睛】本题考查的知识点是恒过定点的直线,处理的方法是将直线方程化成两部分:一部分含参数,一部分不含参数,让两部分的系数均为0,构造方程组8(2019秋濮阳期末)点A(3,2),B(3,2),直线axy10与线段AB相交,则实数a的取值范围是()A-43a12Ba1或a1C1a1Da43或a12【解析】解:由直线axy10的方程,判断恒过P(0,1),如下图示:KPA1,KPB1,结合图象可得:实数a的取值范围是:a1或a1故选:B【点
7、睛】求恒过P点且与线段AB相交的直线的斜率的取值范围,有两种情况:当AB,在P竖直方向上的同侧时,(如本题)计算KPA与KPB,若KPAKPB,则直线的斜率kKPA,KPB当AB,在P竖直方向上的异侧时,(如下图)计算KPA与KPB,若KPAKPB,则直线的斜率k(,KPAKPB,+)就是过p点的垂直x轴的直线与线段有交点时,斜率范围写两段区间,无交点时写一段区间9(2019秋城关区校级期末)已知两定点A(3,5),B(2,8),动点P在直线xy+10上,则|PA|+|PB|的最小值为()A513B34C55D226【解析】解:两定点A(3,5),B(2,8),动点P在直线xy+10上,点A(
8、3,5),B(2,8)P在直线xy+10同侧,设点A关于直线xy+10的对称点为C(a,b),则a-32-5+b2+1=0b-5a+3=-1,解得a4,b2,C(4,2),|PA|+|PB|的最小值为:|BC|=(4-2)2+(-2-8)2=226故选:D【点睛】本题考查两线段和的最小值的求法,考查直线方程、两点间距离公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题10(2019秋西湖区校级期末)已知两点A(1,63),B(0,53)到直线l的距离均等于a,且这样的直线可作4条,则a的取值范围是()Aa1B0a1C0a1D0a2【解析】解:由题意如图所示:因为若A,B在直线的同一侧,可做两条直线,所
9、以若有这样的直线有4条,则当A,B两点分别在直线的两侧时,还应该有两条,所以2a小于A,B的距离,因为|AB|=(1-0)2+(63-53)2=2,所以02a2,所以:0a1,故选:B【点睛】考查点到直线的距离公式,属于中档题二填空题(共4小题)11(2020通州区一模)圆(x1)2+y21的圆心到直线x+3y+1=0的距离为1【解析】解:圆(x1)2+y21的圆心坐标为(1,0),所以圆(x1)2+y21的圆心到直线x+3y+1=0的距离d=|1+1|12+(3)2=1,故答案为:1【点睛】本题主要考查了点到直线距离公式,是基础题12(2019秋浏阳市期末)两条平行直线l:3x+4y4与m:
10、3x+4y90之间的距离d1【解析】解:两条平行直线l:3x+4y404与m:3x+4y90之间的距离d=|-4+9|32+42=1故答案为:1【点睛】本题考查的知识要点:两平行线间的距离公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型13(2020春鼓楼区校级期中)已知直线l1:4x+2y70和l2:2x+y10,直线m分别与l1,l2交于A,B两点,则线段AB长度的最小值为52【解析】解:由题知,l2:4x+2y20,两直线间的距离d=542+(-2)2=52,故答案为:52【点睛】本题考查了平行线之间的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题14(2020佛山一
11、模)在平面直角坐标系xOy中,对曲线C上任意一点P,P到直线x+10的距离与该点到点O的距离之和等于2,则曲线C与y轴的交点坐标是(0,1);设点A(-54,0),则|PO|+|PA|的最小值为74【解析】解:设P(x,y),P到直线x+10的距离与该点到点O的距离之和等于2,则|x+1|+x2+y2=2,令x0,1+|y|2,y1,故曲线C与y轴的交点为(0,1),(0,1),当x1时,由x2+y2=1-x,其表示P到原点的距离与到直线x1的距离相等,故轨迹方程是以原点O为焦点,x1为准线的在x1的抛物线,根据题意,当O,P,A三点共线时,则|PO|+|PA|的最小为|AB|1+54=94,
12、当x1时,x2+y2=x+3,表示P到原点的距离与到直线x3的距离相等,故轨迹方程是以原点O为焦点,x3为准线的在x1的抛物线,根据题意,当O,P,A三点共线时,则|PO|+|PA|的最小为|AC|=-54+3=74,综上,|PO|+|PA|的最小值为74,故答案为:(0,1);74【点睛】考查直线与抛物线的综合,求曲线的轨迹方程,中档题三解答题(共3小题)15(2019秋渭滨区期末)已知直线l:x2y+60在x轴上的截距为m,在y轴上的截距为n(1)求实数m,n的值;(2)求点(m,n)到直线l的距离【解析】解:(1)令x0,得y3;令y0,得x6,所以m6,n3(2)由(1)知点(m,n)
13、为(6,3),所以点(m,n)到直线l的距离为d=|-6-23+6|1+4=65=655【点睛】本题主要考查了直线的截距及点到直线的距离公式的简单应用,属于基础试题16(2019秋包河区校级期末)已知直线l方程为x(m+1)y+3m20,mR(1)求证:直线l恒过定点P,并求出定点P的坐标;(2)若直线l在x轴,y轴上的截距相等,求直线l的方程【解析】解:(1)证明:x(m+1)y+3m20,化为:(xy2)m(y3)0联立:(xy2)y30解得x5,y3交点(5,3),故定点P的坐标为(5,3)(2)对于直线l方程为x(m+1)y+3m20,mR当直线l不经过原点时,令y0,可得x3m+20
14、,再令x0,可得y=3m-2m+1,所以3m+2=3m-2m+1,解得m2,故直线l的方程为:x+y80当直线l经过原点时,3m20,解得m=23,故直线l的方程3x5y0故要求的直线l的方程为:x+y80或3x5y0【点睛】本题考查了直线系、截距式方程,考查了推理能力与计算能力,属于基础题17(2020春江宁区校级月考)设直线1的方程为(a+1)x+y52a0(aR)(1)求证:不论a为何值,直线l必过一定点P;(2)若直线1分别与x轴正半轴,y轴正半轴交于点A(xA,0),B(0,yB),当AOB面积最小时,求AOB的周长;(3)当直线1在两坐标轴上的截距均为整数时,求直线l的方程【解析】解:(1)直线1的方程为(a+1)x+y52a0(aR)整理可得:a(x2)+x+y