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1、 绝密启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试卷本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟第卷1至3页,第卷4至6页答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利!第I卷注意事项:1每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号2本卷共9小题,每小题5分,共45分参考公式:如果事件与事件互斥,那么如果事件与事件相互独立,那
2、么球的表面积公式,其中表示球的半径一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.设全集,集合,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先进行补集运算,然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知:,则.故选:C.【点睛】本题主要考查补集运算,交集运算,属于基础题.2.设,则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先求解二次不等式,然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式可得:或,据此可知:是的充分不必要条
3、件.故选:A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法,充分性和必要性的判定,属于基础题.3.函数的图象大致为( )A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性,然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得:,则函数为奇函数,其图象关于坐标原点对称,选项CD错误;当时,选项B错误.故选:A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象利用上述
4、方法排除、筛选选项4.从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:),将所得数据分为9组:,并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间内的个数为( )A. 10B. 18C. 20D. 36【答案】B【解析】【分析】根据直方图确定直径落在区间之间的零件频率,然后结合样本总数计算其个数即可.【详解】根据直方图,直径落在区间之间的零件频率为:,则区间内零件的个数为:.故选:B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用,属于中等题.5.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出正方体的体对角线的一半,
5、即为球的半径,利用球的表面积公式,即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球,其半径等于正方体的体对角线的一半,即,所以,这个球的表面积为.故选:C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法,求出外接球的半径是本题的解题关键,属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题,常用方法有:(1)三条棱两两互相垂直时,可恢复为长方体,利用长方体的体对角线为外接球的直径,求出球的半径;(2)直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行,借助球的对称性,球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点,再根据勾股定理求球的半径;(3)如果设计几何体有两个面相交,可过两个面的外心分别作两个面的垂线,垂线的交点为几何体的球心
6、.6.设,则的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质,即可得出的大小关系.【详解】因为,所以.故选:D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题,在解题的过程中,注意应用指数函数和对数函数的单调性,确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系,常用方法:(1)利用指数函数的单调性:,当时,函数递增;当时,函数递减;(2)利用对数函数的单调性:,当时,函数递增;当时,函数递减;(3)借助于中间值,例如:0或1等.7.设双曲线的方程为,过抛物线的焦点和点的直线为若的一条渐近线与平行,另一条渐近线与垂直,则双曲线的方程为( )A
7、. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为,即得直线的斜率为,再根据双曲线的渐近线的方程为,可得,即可求出,得到双曲线的方程【详解】由题可知,抛物线的焦点为,所以直线的方程为,即直线的斜率为,又双曲线的渐近线的方程为,所以,因为,解得故选:【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质,双曲线的几何性质,以及直线与直线的位置关系的应用,属于基础题8.已知函数给出下列结论:的最小正周期为;是的最大值;把函数的图象上所有点向左平移个单位长度,可得到函数的图象其中所有正确结论的序号是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判
8、断即可.【详解】因为,所以周期,故正确;,故不正确;将函数的图象上所有点向左平移个单位长度,得到的图象,故正确.故选:B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移,考查学生的数学运算能力,逻辑分析那能力,是一道容易题.9.已知函数若函数恰有4个零点,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由,结合已知,将问题转化为与有个不同交点,分三种情况,数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到,所以要使恰有4个零点,只需方程恰有3个实根即可,令,即与的图象有个不同交点.因为,当时,此时,如图1,与有个不同交点,不满足题意;当时,如图2,此时与恒有个不同交点,满足题意;
9、当时,如图3,当与相切时,联立方程得,令得,解得(负值舍去),所以.综上,的取值范围为.故选:D. 【点晴】本题主要考查函数与方程的应用,考查数形结合思想,转化与化归思想,是一道中档题.绝密启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学第卷注意事项:1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上2本卷共11小题,共105分二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分10.是虚数单位,复数_【答案】【解析】【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数,然后利用运算化简可得结果.【详解】.故答案为:.【点睛】本题考查复数的四则运算,属于
10、基础题.11.在的展开式中,的系数是_【答案】10【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式,整理后令的指数为2,即可求出【详解】因为的展开式的通项公式为,令,解得所以的系数为故答案为:【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用,属于基础题12.已知直线和圆相交于两点若,则的值为_【答案】5【解析】【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径,由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离,进而利用弦长公式,即可求得【详解】因为圆心到直线的距离,由可得,解得故答案为:【点睛】本题主要考查圆的弦长问题,涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式,属于基础题13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和假定两球是否
11、落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为_;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系,即可求出两球都落入盒子的概率;同理可求两球都不落入盒子的概率,进而求出至少一球落入盒子的概率.【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为,且两球是否落入盒子互不影响,所以甲、乙都落入盒子概率为,甲、乙两球都不落入盒子的概率为,所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.故答案为:;.【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率,以及利用对立事件求概率,属于基础题.14.已知,且,则的最小值为_【答案】4【解析】【分析】根据已知条件,
12、将所求的式子化为,利用基本不等式即可求解.【详解】,,,当且仅当=4时取等号,结合,解得,或时,等号成立.故答案为:【点睛】本题考查应用基本不等式求最值,“1”合理变换是解题的关键,属于基础题.15.如图,在四边形中,且,则实数的值为_,若是线段上的动点,且,则的最小值为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】可得,利用平面向量数量积的定义求得的值,然后以点为坐标原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,设点,则点(其中),得出关于的函数表达式,利用二次函数的基本性质求得的最小值.【详解】,解得,以点为坐标原点,所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系,,,的坐标为,又,则,设,则(其中
13、),所以,当时,取得最小值.故答案为:;.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算,考查平面向量数量积的定义与坐标运算,考查计算能力,属于中等题.三、解答题:本大题共5小题,共75分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤16.在中,角所对的边分别为已知()求角的大小;()求的值;()求的值【答案】();();().【解析】【分析】()直接利用余弦定理运算即可;()由()及正弦定理即可得到答案;()先计算出进一步求出,再利用两角和的正弦公式计算即可.【详解】()在中,由及余弦定理得,又因为,所以;()在中,由,及正弦定理,可得;()由知角为锐角,由,可得,进而,所以.【点晴】本题主要考查正、余弦定理
14、解三角形,以及三角恒等变换在解三角形中的应用,考查学生的数学运算能力,是一道容易题.17.如图,在三棱柱中,平面,点分别在棱和棱上,且为棱的中点()求证:;()求二面角的正弦值;()求直线与平面所成角的正弦值【答案】()证明见解析;();().【解析】【分析】以为原点,分别以的方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系.()计算出向量和的坐标,得出,即可证明出;()可知平面的一个法向量为,计算出平面的一个法向量为,利用空间向量法计算出二面角的余弦值,利用同角三角函数的基本关系可求解结果;()利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】依题意,以为原点,分别以、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),可得、.()依题意,从而,所以;()依题意,是平面的一个法向量,