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1、第三章 流体动力学,王连登13506970553,要求重点掌握内容：连续性方程、欧拉方程、纳维尔斯托克斯方程、理想流体和实际流体的伯努利方程及应用、稳定流的动量方程及应用。,流体动力学的基础是三个基本的物理定律,第一节 牛顿粘性定律,牛顿粘性定律指出：当流体流层之间存在相对位移（即存在速度梯度）时，由于流体的粘性作用，在速度不等的流层或流体与固体表面之间，所产生的摩擦力（粘性力）的大小与速度梯度和接触面积成正比，其比值则与流体的粘性有关。,第二节 流体质量平衡方程连续性方程,质量传输过程：物质的传递与转移过程，它是动量传输的基础，质量传输就是质量平衡。,流体流动中的质量平衡：是指流体流过一定空
2、间时，其总质量不变。,根据质量守恒定律,稳定流时流入的流体质量必然等于流出的流体质量。而当非稳定流时,流入与流出的流体质量之差,应等于封闭曲面内流体质量的变化量。其数学关系即为连续性方程。,质量平衡或物质平衡 ( 质量守恒 ) 的含义：流体流过一定空间时，流体的总质量不变，两种情况：, 稳定流动： 物质的流入量 = 物质的流出量 （3-2） (A) 不稳定流动： 物质的流入量 - 物质的流出量 = 物质的蓄积量 （3-2) (B),当流入量与流出量相等，即空间无物质蓄积时，为稳定流动，否则为不稳定流动。,在直角坐标系中取一空间微元控制体，边长为dx、dy、dz,单位时间内流过A面、B面的流体质
3、量：,A：,B：,或者B:,x方向：流入量与流出量之差为,同理y方向：流入量与流出量之差 z方向：流入量与流出量之差为,单位时间内流过A面、B面的流体质量差：,(1) (2) (3),总的流入量与流出量之差为(1) + (2) + (3), 物质的流入量 - 物质的流出量 = 物质的蓄积量 ,由公式: （3-2) (B), 物质的蓄积量 :,流入的流体使流体微团的质量发生变化，分析：,单位时间内元体质量的蓄积：质量在单位时间内的变化，即, 物质的蓄积量 :,左边=右边，得：在直角坐标系中：, 物质的流入量 - 物质的流出量 = 物质的蓄积量 ,可压缩流体、不稳定流动的连续性方程。,可压缩流体、
4、不稳定流动的连续性方程。,讨论：稳定流动时 对不可压缩流体，=const,可压缩流体、不稳定流动的连续性方程。,稳定流动时,即,可压缩流体、稳定流动的连续性方程,对不可压缩流体，=const,：,则,不可压缩流体的连续性方程，流体作为连续介质是否连续分布的条件。,对一元恒定流动，连续方程式为：(根据质量守恒定律),可压缩流体、不稳定流动的连续性方程。,稳定流动、可压缩流体的一维管流连续性方程。,则,稳定流动、不可压缩流体的一维管流连续性方程。,一维管流在稳定流条件下：沿流程体积流量保持不变为一常值；各有效断面平均流速与有效断面面积成反比，即，断面大流速小，断面小流速大。（这是一个不可压缩流体运
5、动的一个基本规律）,一维管流在稳定流条件下：沿流程体积流量保持不变为一常值；各有效断面平均流速与有效断面面积成反比，即，断面大流速小，断面小流速大。（这是一个不可压缩流体运动的一个基本规律）,补充：,在柱坐标系连续性方程可表示为：,当为常量的不可压缩流体，可简化为：,例3-1 已知速度场Vx=6（x+y2），Vy=2y+z3，Vz=x+y+4z；试分析此流场是否存在？,解：流场存在的条件是：是否满足连续性方程,第三节 理想流体动量传输方程欧拉方程,理想流体：指无粘性的流体。,虽然实际流体均有一定的粘性，但处理某些流动问题时，可以近似的视为理想流体。 如：1）在流场中速度梯度很小时，流体虽然有粘
6、性，但粘性力的作用不大。 2）简单流动中的阻力，可以先假定为理想流体进行解析，而后再对流体粘性造成的能量损失给以补正。,对粘度=0的无粘性流体简化得到理想流体的动量平衡方程，即欧拉方程。,在直角坐标系统中：,作用在某一流体块或微元体积的力可分为两大类：表面力、质量力或体积力。 表面力：作用于流体块外界面的力，如压力和切应力。 质量力：直接作用在流体块中各质点的非接触力，如重力与惯性力等。质量力与受力流体上承受的质量成正比，也叫体积力。单位质量流体上承受的质量力称为单位质量力,在流体流场中取一个微元六面体：边长为：dx,dy,dz，微元体积中心A（x,y,z）处的静压力为P，流速沿各坐标轴的分量
7、分别为：vx,vy,vz，密度为,A,m,n,在X轴方向：压力P作用情况： M点压力：,由于m点相对中心A点只有（ ）的位移量，故m点相对于A点的压力变化量为,因此m点的压力为,同理可得：n点的压力为：,A,m,n,质量力F的作用：设单位质量力在x轴的分量为X，则微元体的质量力在x轴的分量:,于是对于x轴即有：,等式两边除以微元体质量,则单位质量流体运动方程为：,同理：Y轴与Z轴的单位质量流体运动方程分别为：,上式即为理想流体的动量平衡方程（即欧拉方程）,说明：欧拉方程建立了作用在理想流体上的力与流体运动加速度之间关系，是研究理想流体各种运动规律的基础。适用于可压缩及不可压缩理想流体的稳定或非
8、稳定流。,由第一节，在直角坐标系中，x,y,z三个坐标轴方向的加速度分量为:,上式代入欧拉方程可得:,第四节 实际流体动量传输方程纳维尔-斯托克斯方程（N-S方程）,粘性流体动量平衡方程，表达了流体流动条件下的动量及作用力之间的平衡与转换关系，为流体在运动中能量守恒的特征关系式。 描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。,以公式表示为： 系统的动量收支差量+系统其它作用力总和 =系统的动量蓄积 （3-10）,对于稳定流动系统，不存在动量蓄积，（3-10）式中的 等号右边为0。,粘性流体的动量传输有两种基本方式：,由流体粘性所引起的物性动量传输； 在流体质量对流基础上进行的对流动量传输。,一、推
9、导：,作用在微元体六面体除了在推导欧拉方程中的压力与质量力外，还有因粘性产生的剪切力，法向力除了压力与质量力产生的，还有由于剪切变形而引起的附加法向力，各个方向的切向应力有：,（脚注：前一个字母表示受力面垂直的轴，后一个字母表示和应力指向相平行的轴。）,设微元体中心的坐标为x,y,z，其应力为 ， ，则垂直于x轴的AB面的应力为：,法向应力：,（x方向）,切向应力：,（y方向）,（z方向）,垂直于y轴的ADEH面上应力为：,（y方向）,（z方向）,（x方向）,垂直于z轴的CDGH面上应力为：,（z方向）,（x方向）,（y方向）,其它三个面应力如图所示，,由牛顿第二定律：可沿x方向写出如下方程：
10、,上式两边各项除以 dxdydz，整理可得：,同理：,对于不可压缩流体，根据连续性方程,则上式变为：,同理：,由拉普拉斯（Laplace）运算子,或：,为压力梯度,实际流体的动量守恒方程，也即不可压缩粘性流体的动量传输方程，N-S方程。（牛顿粘度定律另一种表达形式）,当,（本章主要采用一般力学推导出实际流体的运动方程，也可以用动量传输的角度出发来推导）,如果流体是无粘性的，即等于零，则式3-34可简化为欧拉方程：,第五节 理想流体和实际流体的伯努利方程,理想流体的伯努利方程本节主要讨论理想流体动量守恒方程在一定条件下的积分形式伯努利方程，它表述了运动流体所具有的能量以及各种能量之间的转换规律，
11、是流体动力学的重要理论。,积分是在下述条件下进行的：,（1）单位质量力（X，Y，Z）是定常而有势的，势函数 的全积分是：,（2）流体是不可压缩的，即,（3）流体运动是稳定流的，即：,且流线与迹线重合，也即对流线来讲，符合,由欧拉方程：,将各方程分别乘以dx,dy,dz，然后相加可得：,因为：,（式3-35）,因此式（3-35）变为：,（式3-35）,又因为,（式3-37 ）,将（式3-37）沿流线积分,（C=const）（式3-38）,此式即理想流体运动微分方程的伯努利积分。说明了在有势质量力的作用下， 理想不可压缩流体作定常流动时，函数值（,）是沿流线不变的。,因此，如沿同一流线，取相距一定
12、距离的任意两点1与2，可得,式中1与2表示在某一条流线上的1点与或2处的势能、压力与流速。,2 实际工程中的伯努利方程,作用在流体上的质量力只有重力时（即实际工程问题），X=0，Y=0，Z=-g（重力加速度），则势函数W的全微分为：,（C=const）（式3-38）,则,变为:,简化后，由,则上式变为：,（式3-40）,对处在同一流线的任意两点1和2来说，式3-40也可改写为：,这表示对于只有重力场作用的稳定流动、理想的不可压缩流体沿流线的运动方程式的积分形式，也称为伯努利方程式（Bernoulli equation）。 流线上的任何点的,3. 实际(粘性)流体的伯努利方程,在实际流体中我们只
13、讨论有势质量力作用下实际流体（粘性流体）的运动微分方程的积分问题。 由实际流体的动量守恒方程，也即不可压缩粘性流体的动量传输方程，N-S方程：,如果流体是定常流动，流体质点沿流线运动的微元长度dl在各轴上的投影 分别为dx,dy,dz，而且,，将式（3-34）的各个方程分别乘以dx,dy,dz，然后相加可得：,（式3-43）,（式3-44），式中 为阻力功；,此式即为实际流体运动微分方程的伯努利积分。它表明：在质量力为有势，且作定常流动的情况下函数值 是沿着流线不变的。,将（式3-44）代入（式3-43）可得：,沿流线积分可得：,（式3-45）,如在同一流线上取1和2点，则,当质量力只有重力时
14、，则,代入上式,式中 为单位质量粘性流体自点1运动到点2的过程中内 摩擦力所作的功的增量，其值总是随着路程的增加而增加的。,令 表示单位质量的粘性流体沿流线从点1到点2 的路程所接受的摩擦阻力功（或摩擦阻力损失）则上式可写为：,或,（粘性流体运动的伯努利方程）,4 伯努利方程的几何意义与物理意义（实际流体微小流束的伯努利方程）,一、物理意义（能量意义）理想流体的束伯努利方程中的三项 分别表示单位重量流体的三种不同形式的能量。Z比位能；（单位质量流体经该项点时所具有的位置势能） 比压能；（单位质量流体流经该点时所具有的压力能）,比动能；（单位质量流体流经该点时所具有的动能）,比势能；,总比能,由
15、伯努利方程可知：单位重量的理想流体沿流线运动时，其携带的总能量在所流经的路程上任意位置时总是保持不变的，但其位势能、压力势能和动能是可以相互转化的。 对于粘性流体，单位质量粘性流体沿着流线运动，不但各项能量能相互转化，且它的总机械能也是有损失的。,二、几何意义,z位置水头；曲线AB位置水头线； 压强水头；曲线CD测压管水头线。,图3.6.1理想流体伯努利方程的几何意义,速度水头。 直线EF总水头线。,理想流体伯努利方程式的几何意义理想流体沿流线运动时，其位置水头、压强水头、速度水头可能有变化或三个水头之间相互转化，但其各水头之和总是保持不变，即理想流体各过水断面上的总水头永远是相等的。,图3.
16、7.1实际流体伯努利方程的几何意义,如果用H表示各项水头之和，即总水头，则,伯努利方程写为H=常数或,实际流体伯努利方程式的几何意义：,根据“粘性流体运动的伯努利方程,绘出的实际流体总流的几何图形，可以看出，在粘性流体运动中，因为形成水头损失，故：即沿着流向总水头必然降低，所以其总水头线是一条沿流向向下倾斜的曲线。,上述的所建立的伯努利方程均属于实际流体微小流束的伯努利方程。,5、实际流体总流的伯努利方程,区别：微小流束：很小，在同一 上，各流体质点的Z、P、u等物理量可以看作是相同的; 总流：A为有限大，在同一A上，各流体质点的z、p、u等物理量之值变化较大。 微小流束总流,急变流和缓变流急变流流线的曲率半径r很小， 流线之间的夹角很大的流动。 缓变流流线的曲率半r无限大，流线之间的夹角无限小，即流线接近于平行直线流动。,图3.7.2急变流与缓变流,在缓
