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1、WANG半角模型已知如图：2=AOB；OA=OB.连接FB，将FOB绕点O旋转至FOA的位置，连接FE，FE，可得OEFOEF模型分析OBF OAF，3=4，OF=OF.2=AOB，1+3=21+4=2又OE是公共边，OEFOEF.（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；（3）常见的半角模型是90含45，120含60.模型实例例1 已知，正方形ABCD中，MAN=45，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N（1）求证：BM+DN=MN（2）作AHMN于点H，求证：AH=AB证明：（1）延长ND到E，使DE=
2、BM， 四边形ABCD是正方形，AD=AB 在ADE和ABM中， ADEABM AE=AM，DAE=BAM MAN=45，BAM+NAD=45 MAN=EAN=45 在AMN和AEN中， AMNAEN MN=EN BM+DN=DE+DN=EN=MN （2）由（1）知，AMNAEN SAMN=SAEN 即 又MN=EN， AH=AD 即AH=AB例2 在等边ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且MDN=60，BDC=120，BD=DC探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系（1）如图，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_；（
3、2）如图，当DMDN时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明 图 图解答（1）BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN（2）猜想：BM+NC=MN证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE BD=CD，且BDC=120， DBC=DCB=30 又ABC是等边三角形， ABC=ACB=60 MBD=NCD=90 在MBD与ECD中， DB=DC，DBM=DCE=90，BM=CE， MBDECD（SAS） DM=DE，BDM=CDE EDN=BDC-MDN=60 在MDN和EDN中， MD=ED，MDN=EDN=60，DN=DN， MDNEDN（SAS） MN=NE=N
4、C+CE=NC+BM 图 例3 如图，在四边形ABCD中，B+ADC=180，AB=AD，E、F分别是BC、CD延长线上的点，且EAF=BAD求证：EF=BE-FD证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG B+ADC=180，ADF+ADC=180， B=ADF 在ABG和ADF中， ABG ADF（SAS） BAG=DAF，AG=AF GAF=BAD EAF=BAD=GAF GAE=EAF 在AEG和AEF中， AEG AEF（SAS） EG=EF EG=BE-BG， EF=BE-FD 跟踪练习：1已知，正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线上，MAN=45 求证：MN=DN
5、-BM【答案】证明：如图，在DN上截取DE=MB，连接AE， 四边形ABCD是正方形， AD=AB，D=ABC=90 在ABM和ADE中， ABMADE AM=AE， MAB=EAD MAN=45=MAB+BAN， DAE+BAN=45 EAN=90-45=45=MAN 在AMN和AEN中， ABMADE MN=EN DN-DE=EN DN-BM=MN 2已知，如图在RtABC中，BAC=90，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动 点，若DAE=45，探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系 小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连接ED使问题得到解 决请你参考小明
6、的思路探究并解决以下问题： （1）猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明； （2）当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB延长线上时，如图，其他条件不 变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明 图 图【答案】解答：（1）猜想：DE2=BD2+EC2证明：将AEC绕点A顺时针旋转90得到ABE，如图 ACEABE BE=EC，AE=AE，C=ABE，EAC=EAB 在RtABC中， AB=AC， ABC=ACB=45 ABC+ABE=90，即EBD=90 EB2+BD2=ED2 又DAE=45， BAD+EAC=45 EAB+BAD=45，即EA
7、D=45 AEDAED DE=DE DE2=BD2+EC2 图 （2）结论：关系式DE2=BD2+EC2仍然成立证明：作FAD=BAD，且截取AF=AB，连接DF，连接FE，如图 AFDABD FD=DB，AFD=ABD 又AB=AC， AF=AC FAE=FAD+DAE=FAD+45， EAC=BAC-BAE=90-（DAE-DAB ）=90-（45-DAB）=45+DAB， FAE=CAE 又AE=AE， AFEACE FE=EC，AFE=ACE=45 AFD=ABD=180-ABC=135 DFE=AFD-AFE=135-45=90 在RtDFE中，DF2+FE2=DE2 即DE2=BD
8、2+EC2 图3已知，在等边ABC中，点O是边AC、BC的垂直平分线的交点，M、N分别在直线 AC、BC上，且MON=60 （1）如图，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三 者之间的数量关系； （2）如图，当CMCN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然 成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由； （3）如图，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、 MN三者之间的数量关系 图 图 图 【答案】结论：（1）AM=CN+MN；如图 图 （2）成立； 证明：如图，在AC上截取AE=CN，连接OE、OA、OCO是
9、边AC、BC垂直平分线的交点，且ABC为等边三角形，OA=OC，OAE=OCN=30，AOC=120又AE=CN，OAEOCNOE=ON，AOE=CONEON=AOC=120MON=60，MOE=MON=60MOEMONME=MNAM=AE+ME=CN+MN 图（3）如图，AM=MN-CN 图4如图，在四边形ABCD中，B+D=180，AB=AD，E、F分别是线段BC、CD上的 点，且BE+FD=EF求证：EAF=BAD【答案】证明：如图，把ADF绕点A顺时针旋转DAB的度数得到ABG，AD旋转到AB，AF旋转到AG，AG=AF，BG=DF，ABG=D，BAG=DAFABC+D=180，ABC
10、+ABG=180点G、B、C共线BE+FD=EF，BE+BG=GE=EF在AEG和AEF中，AEGAEFEAG=EAFEAB+BAG=EAF又BAG=DAF，EAB+DAF=EAFEAF=BAD5如图，已知四边形ABCD，EAF的两边分别与DC的延长线交于点F，与CB的延长线交于点E，连接EF（1）若四边形ABCD为正方形，当EAF45时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？（只需直接写出结论）（2）如图，如果四边形ABCD中，ABAD，ABC与ADC互补，当EAFBAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出结论并证明（3）在（2）中，若BC4，DC7，CF2，求CEF的周长（直接写出结论）解答：（1）EF=DF-BE（2）EF=DF-BE证明：如图，在DF上截取DM=BE，连接AM，D+ABC=ABE+ABC=180D=ABEAD=AB在ADM和ABE中，ADMABEAM=AE，DAM=BAEEAF=BAE+BAF=BAD，DAM+BAF=BADMAF=BADEAF=MAF在EAF和MAF中
