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1、第2章系统的运动分析,求线性定常系统状态方程的解 是系统的初始状态 问题是对给定的控制输入和初始状态，如何确定任意时刻的系统状态和输出；即求解状态的变化行为。,2.1 齐次状态方程的解,借鉴齐次微分方程及其解 其中标量指数函数 定义矩阵指数函数,及其导数 当 齐次状态方程的解析解 可见关键问题是求矩阵指数函数,拉氏变换的方法 对 做拉氏变换 其解 即有 而 可见求解的关键是1.求逆；2.求拉氏反变换,2.2 状态转移矩阵,系统 的状态轨迹 定义状态转移矩阵,2.2.1 状态转移矩阵 的性质 1. 2. 对任意的t和s， 3. 状态转移矩阵是可逆的，且 从初始状态x0转移到状态x2和先从初始状态
2、x0转移到状态x1，然后再以x1作为初始状态转移到状态x2的效果是相同的。,例 已知 求系统的状态矩阵A 利用,2.2.2 状态转移矩阵的计算 方法1：直接计算法 方法2：线性变换法 （1）对对角矩阵,（2）若矩阵A 是一个可对角化的矩阵，即存在非奇异矩阵T，使得： 由于,故,例 求以下线性定常系统的状态转移矩阵 解 矩阵的特征值是 ，故可对角化。 因此,（3）矩阵A 可等价变换为约当块。,方法3：拉普拉斯变换法 公式 例 求以下系统的状态转移矩阵： 由于 故,方法4：凯莱哈密尔顿方法 凯莱哈密尔顿定理： 对给定的n维矩阵A，特征多项式 则 由以上定理可得 即，矩阵指数函数的无穷级数可以转化为
3、有限项 的和用A的n1次多项式表示。 问题是如何确定标量系数函数,矩阵A的特征多项式： 因此， 也可以表示成 这有 限项的线性组合，且具有类似的系数。 对n个特征值 ，有 当 互不相同时，有唯一解。,例 求以下系统的状态转移矩阵 解 表达式 系统矩阵的特征值是-1,-2。 故,2.3 一般状态方程的求解,状态方程 采用拉氏变换的方法： 应用拉普拉斯的卷积定理：,例 求以下系统对单位阶跃输入的状态响应 解 系统的状态转移矩阵,根据输出方程 和 可得 可见，系统输出的解由零输入响应和零状态响应两部分构成。 脉冲输入和给定输入响应的叠加。,2.4 离散时间状态空间模型,采用数字控制器实现对连续对象的
4、控制 如何建立 和之间的定量关系？,2.4.1 连续时间状态空间模型的离散化 对于连续时间状态空间模型 考虑以下假定： 1。等周期采样开关 2。采样周期T的选择满足shannon采样定理 3。零阶保持（D/A转换）,已知 ，k到第k+1个采样时刻的输入 由 可得 其中 做变量替换 ，可得 以周期T对输出方程进行采样，得到,连续模型的离散化方程： 求 积分的一种简便方法： 如果A是非奇异的，则 总是非奇异的。,例 传递函数描述的连续系统 其状态空间实现 其中 ，故 所求的离散时间状态空间模型是,2.4.2 离散时间状态空间模型的运动分析 离散时间状态空间模型 已知初始状态 和控制信号 ，求k时刻的状态 递推法,解的一般表示结构式 定义离散时间状态空间模型的状态转移矩阵 性质 故解亦可写为,
