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1、第三章 电阻电路的一般分析, 重点：,熟练掌握电路方程的列写方法： 支路电流法 回路电流法 节点电压法,介绍图论的初步知识，目的是研究电路的连接性质，及用图的方法选择电路方程的独立变量。,电路的图 G（支路和节点的集合）,无向图,注：通常将元件的串联组合作为一条支路。,3. 1 电路的图（Graph),要注意的知识点,移去一条支路并不意味着同时将它连接的节点也移去，允许有孤立节点存在。,有向图：电路支路电流参考方向的指定,图论的理论基础：KCL和KVL与支路的元件性质无关。,3.2 KCL和KVL的独立方程数,1、KCL的独立方程数：,KCL方程：设流入为正,结论：对于具有n个节点的电路，在任
2、意（n-1）个节点上可以得到（n-1）个独立的KCL方程，相应的（n-1）个节点成为独立节点。,树,树支数bT=n-1,连支数bl=b-(n-1),T是连通图的一个子图，满足下列条件：,(1)连通 (2)包含所有节点 (3)不含回路,树 (Tree),树支：属于树的支路,连支：属于G而不属于T的支路,基本回路(单连支回路),基本回路数=连支数=b-(n-1),KVL的独立方程数,KVL的独立方程数=基本回路数,注：平面的网孔数也是独立回路数（如：以2、4、5为树）,3.3 支路电流法 (branch current method ),对于有n个节点、b条支路的电路，要求解支路电流和电压，未知量
3、共有2b个。只要列出2b个电路方程，便可以求解这2b个变量。(2b构成:（n-1)KCL+(b-n+1)KVL+b个VCR),举例说明：,b=6 n=4,独立方程数应为2b=12个。,支路电流法：以各支路电流为未知量,根据元件的C及、约束来建立相互独立的方程组，解出各支路电流，再求其它电压和功率。,(1) 标定各支路电流、电压的参考方向,u1 =R1i1， u2 =R2i2， u3 =R3i3， u4 =R4i4， u5 =R5i5， u6 = uS+R6i6,(b=6，6个方程，关联参考方向),(2) 对节点，根据KCL列独立方程,节点 1：i1 + i2 i6 =0,(3) 选定图示的3个
4、回路，由KVL，列写独立方程。,(出为正，进为负),节点 2： i2 + i3 + i4 =0,节点 3： i4 i5 + i6 =0,回路1：u1 + u2 + u3 = 0 回路2：u3 + u4 u5 = 0 回路3： u1 + u5 + u6 = 0,(3),支路法的一般步骤：,(1) 标定各支路电流（电压）的参考方向；,(2) 选定(n1)个节点，列写其KCL方程；,(3) 选定b(n1)个独立回路，列写其KVL方程； (元件特性代入),(4) 求解上述方程，得到b个支路电流；,(5) 进一步计算支路电压和进行其它分析。,支路法的特点：,支路电流法是最基本的方法，在方程数目不多的情况
5、下可以使用。由于支路法要同时列写 KCL和KVL方程， 所以方程数较多，且规律性不强(相对于后面的方法)，手工求解比较繁琐，也不便于计算机编程求解。,例1.,节点a：I1I2+I3=0,(1) n1=1个KCL方程：,US1=130V, US2=117V, R1=1, R2=0.6, R3=24.,求各支路电流及电压源各自发出的功率。,解,(2) b( n1)=2个KVL方程：,R2I2+R3I3= US2,U=US,R1I1R2I2=US1US2,0.6I2+24I3= 117,I10.6I2=130117=13,(3) 联立求解,(4) 功率分析,PU S1发=US1I1=13010=13
6、00 W,PU S2发=US2I2=130(10)=585 W,验证功率守恒：,PR 1吸=R1I12=100 W,PR 2吸=R2I22=15 W,PR 3吸=R3I32=600 W,P发= P吸,例2.,列写如图电路的支路电流方程(含理想电流源支路)。,b=5, n=3,KCL方程：,- i1- i2 + i3 = 0 (1) - i3+ i4 - i5 = 0 (2),R1 i1-R2i2 = uS (3) R2 i2+R3i3 + R4 i4 = 0 (4) - R4 i4+u = 0 (5) i5 = iS (6),KVL方程：,* 理想电流源的处理：由于i5 = iS，所以在选择独
7、立回路时，可不选含此支路的回路。 对此例，可不选回路3，即去掉方程(5)，而只列(1)(4)及(6)。,解,解,列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。,方程列写分两步：,(1) 先将受控源看作独立源列方程； (2) 将控制量用未知量表示，并代入(1)中所列的方程，消去中间变量。,KCL方程：,-i1- i2+ i3 + i4=0 (1) -i3- i4+ i5 - i4=0 (2),例3.,KVL方程：,R1i1- R2i2= uS (3) R2i2+ R3i3 +R5i5= 0 (4) R3i3- R4i4= u2 (5) R5i5= u (6),补充方程：,i6= i1 (7) u2=
8、R2i2 (8),另一方法：去掉方程(6)。,3. 4 网孔电流法 (mesh current method),定义：以网孔电流为未知量进行分析。仅适用于平面电路。,假想电流Im1和Im2沿网孔方向流动，称为网孔电流。,支路电流是网孔电流的代数和，自动满足KCL。所以只需列出KVL独立方程。,R2I2+R3I3= US2,R1I1R2I2=US1US2,-R2Im1+(R2+R3)Im2= US2,(R1+R2)Im1R2Im2=US1US2,几个概念：自阻、互阻（大小及方向）,3. 5 回路电流法 (loop current method),基本思想：,为减少未知量(方程)的个数，可以假想每
9、个回路中有一个回路电流。若回路电流已求得，则各支路电流可用回路电流线性组合表示。这样即可求得电路的解。（平面、非平面）,回路电流是在独立回路中闭合的，对每个相关节点均流进一次，流出一次，所以KCL自动满足。若以回路电流为未知量列方程来求解电路，只需对独立回路列写KVL方程。,b=3，n=2。独立回路为l=b-(n-1)=2。选图示的两个独立回路，回路电流分别为il1、 il2。支路电流i1= il1，i2= il2- il1， i3= il2。,回路电流法：以回路电流为未知量列写电路KVL方程分析电路的方法。,可见，回路电流法的独立方程数为b-(n-1)。与支路电流法相比，方程数可减少n-1个
10、。,回路1：R1 il1+R2(il1- il2)-uS1+uS2=0,回路2：R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0,整理得，,(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2,- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2,电压与回路绕行方向一致时取“+”；否则取“-”。,R11=R1+R2 回路1的自阻。等于回路1中所有电阻之和。,令,R22=R2+R3 回路2的自阻。等于回路2中所有电阻之和。,自阻总为正。,R12= R21= R2 回路1、回路2之间的互阻。,当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互阻取正号；否则为负号。,ul1= uS1-uS2 回路1中所
11、有电压源电压的代数和。,ul2= uS2 回路2中所有电压源电压的代数和。,当电压源电压方向与该回路方向一致时，取负号；反之取正号。,由此得标准形式的方程：,一般情况，对于具有 l=b-(n-1) 个回路的电路，有,其中,Rjk:互阻,+ : 流过互阻两个回路电流方向相同,- : 流过互阻两个回路电流方向相反,0 : 无关,Rkk:自阻(为正) ，k=1,2,l ( 绕行方向取参考方向)。,回路法的一般步骤：,(1) 选定l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；,(2) 对l个独立回路，以回路电流为未知量，列写其KVL方程；,(3) 求解上述方程，得到l个回路电流；,(5) 其它分析。
12、,(4) 求各支路电流(用回路电流表示)；,网孔电流法：对平面电路，若以网孔为独立回路，此时回路电流也称为网孔电流，对应的分析方法即为网孔电流法。,例1.,用回路法求各支路电流。,解：,(1) 设独立回路电流(顺时针),(2) 列 KVL 方程,(R1+R2)Ia -R2Ib = US1- US2,-R2Ia + (R2+R3)Ib - R3Ic = US2,-R3Ib + (R3+R4)Ic = -US4,互阻为负,(3) 求解回路电流方程，得 Ia , Ib , Ic,(4) 求各支路电流： I1=Ia , I2=Ib-Ia , I3=Ic-Ib , I4=-Ic,(5) 校核：,选一新回
13、路。, 将VCVS看作独立源建立方程；, 找出控制量和回路电流关系。,校核:,1I1+2I3+2I5=2.01,( UR 降=E升 ),例2.,用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。,解：,将代入，得,各支路电流为：,I1= Ia=1.19A, I2= Ia- Ib=0.27A, I3= Ib=0.92A, I4= Ib- Ic=1.43A, I5= Ic= 0.52A.,例3.,列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。,方法1： 引入电流源电压为变量，增加回路电流和 电流源电流的关系方程。,方法2：选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅 属于一个回路, 该回路电流即 IS 。,3. 6
14、 节点电压法 (node voltage method),回路电流法自动满足 KCL 。能否象回路电流法一样，假定一组变量，使之自动满足 KVL，从而就不必列写KVL方程，减少联立方程的个数？ KVL恰说明了电位的单值性。如果选节点电压为未知量，则KVL自动满足，就无需列写KVL 方程。当以节点电压为未知量列电路方程、求出节点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流。,基本思想 (思考)：,任意选择参考点：其它节点与参考点的电压差即是节点电压(位)，方向为从独立节点指向参考节点。,(uA-uB)+uB-uA=0,KVL自动满足,节点电压法：以节点电压为未知量列写KCL电路方程分析电路的方法。,可
15、见，节点电压法的独立方程数为(n-1)个。与支路电流法相比，方程数可减少b-( n-1)个。,举例说明：,(2) 列KCL方程：, iR出= iS入,i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3,-i3-i4+i5=-iS3,un1,un2,(1) 选定参考节点，标明其余n-1个独立节点的电压,代入支路特性：,整理，得,令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5,上式简记为,G11un1+G12un2 = iSn1,G21un1+G22un2 = iSn2,其中,G11=G1+G2+G3+G4节点1的自导，等于接在节点1上所有支路的电导之和。,G22=G3+G4+G5 节点2的自导，
16、等于接在节点2上所有支路的电导之和。,G12= G21 =-(G3+G4)节点1与节点2之间的互导，等于接在节点1与节点2之间的所有支路的电导之和，并冠以负号。,iSn1=iS1-iS2+iS3流入节点1的电流源电流的代数和。,iSn2=-iS3 流入节点2的电流源电流的代数和。,* 自导总为正，互导总为负。 * 电流源支路电导为零。,* 流入节点取正号，流出取负号。,由节点电压方程求得各节点电压后即可求得个支路电压，各支路电流即可用节点电压表示：,若电路中含电压源与电阻串联的支路：,uS1,整理，并记Gk=1/Rk，得,一般情况：,其中,Gii 自导，等于接在节点i上所有支路的电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。总为正。,iSni 流入节点i的所有电流源电流的代数和(包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。,Gij = Gji互导，等于接在节点i与节点j之间的所支路的电导之和，
