第7章：数据包络分析课件

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1、1,第七章 数据包络分析(DEA),DEA(Data Envelopment Analysis)方法又称为数据 包络分析方法，是对多指标投入和多指标产出的相同类 型部门，进行相对有效性综合评价的一种新方法，也是 研究多投入多产出生产函数的有力工具。 DEA方法是美国著名运筹学家查恩斯(A.Charnes)和 库伯(W.W.Cooper)教授于1978年首先提出的。,2,第七章 数据包络分析(DEA),在国外，DEA方法已经成功地应用于银行、城市、医院、学校 及军事等方面效率的评价，在对相互之间存在激烈竞争的私营企 业和公司的效率评价中，也显示出巨大的优越性。例如，用DEA 方法对美国大银行效率

2、评价的研究，取得了极大的成功。应用 DEA方法评价部门的相对有效性的优势地位，是其它方法所不能 取代的。 在国内，经济和管理领域的许多方面，DEA方法都得到了重 要的应用。例如，纺织工业部门所属的棉纺企业中，利用工业普 查资料对177个企业的综合经济效益进行评价，取得了满意的结 果。DEA方法在冶金工业评价、城市供热系统规划、机床工业管 理、科技情报机构功能与效益评价、企业技术进步分析等方面的 研究，都取得一系列重要应用成果。,3,7.1 DEA模型 一、DEA模型概述 对具有相同类型的部门、企业或者同一企业不同时期的相对效率进行评价，这些部门、企业或时期称为决策单元。评价的依据是决策单元的一

3、组投入指标数据和一组产出指标数据。 投入指标是指决策单元在经济和管理活动中需要耗费的经济量，例如固定资产原值、流动资金平均余额、自筹技术开发资金、职工人数、占用土地等。 产出指标是指决策单元在某种投入要素组合下，表明经济活动产生成效的经济量，例如总产值、销售收入、利税总额、产品数量、劳动生产率、产值利润率等。 指标数据是指实际观测结果，根据投入指标数据和产出指标数据评价决策单元的相对效率，即评价部门、企业或时期之间的相对有效性。 DEA方法就是评价多指标投入和多指标产出决策单元相对有效性的多目标决策方法。,4,二、C2R模型及其基本性质 1.C2R模型 设有n个部门(企业)，称为n个决策单元，

4、每个决策单元都有p种投入和q种产出，分别用不同的经济指标表示。这样，由n个决策单元构成的多指标投入和多指标产出的评价系统，可以用下图表示：,xik表示第k个决策单元第i种 投入指标的投入量，xik0； （是已知数据） vi表示第i种投入指标的权系数， vi0 （是变权数）,ykj表示第k个决策单元第j种 产出指标的产出量，ykj0； （是已知数据） uj表示第k种产出指标的权系数， uj0 （是变权数）,5,设投入指标和产出指标的权系数向量分别为 V=(v1，v2，vp)T ，U=(u1，u2，uq)T 对每一个决策单元 k ，定义一个效率评价指标,即：效率指标 hk 等于产出加权之和除以投入

5、加权之和，表示第 k 个决策单元多指标投入和 多指标产出所取得的经济效率。 可以适当地选择权系数 U、V，使得 hk1。,现在，建立评价第k0个决策单元相对有效性的C2R模型。 设第k0个决策单元的投入向量和产出向量分别为：,效率指标h0=hk0。在效率评价指标hk1(k=1,2,，n)的约束条件下，选择一组最优权系数 U和V，使得h0达到最大值，构造优化模型(分式规划) ：,6,此模型称为C2R模型，是最基本的DEA模型，用C2R模型评价第k0个决策单元的有效性， 是相对于其它决策单元而言的，故称为评价相对有效性的DEA 模型。,7,作Charnes-Cooper变换，转化为一个等价的线性规

6、划模型。,转化为一个等价的线性规划模型：,8,展开可写为：,，对应的对偶变量记为 1,，,，对应的对偶变量记为 n,，对应的对偶变量记为 ,其对偶规划为：,9,引入松弛变量,将不等式约束化为等式约束，得,10,【例7-1】设有4个决策单元，2个投入指标和1个产出指标的评价系统，其数据如下图。 写出评价第1个决策单元相对效率的C2R模型。,解：,11,2.评价系统的DEA有效性：决策单元 k0 为DEA有效的定义,定义7.1 如果线性规划(P)的最优解满足下列条件 VP = 0T Y0 = 1 则称决策单元 k0 为弱DEA有效。 定义7.2 如果线性规划(P)的最优解满足条件 VP = 0T

7、Y0 = 1 ，并且 00, 00 则决策单元 k0 为DEA有效。,定理7.1 线性规划(P)及其对偶规划(D)都有可行解，因而都有最优解，并且最优值 VP = VD 1 定理7.2 关于对偶规划(D)，有 如果(D)的最优值VD=1，则决策单元k0为弱DEA有效；反之亦然； 如果(D)的最优值VD=1，并且每个最优解都满足条件： s0- = 0, s0+ = 0 ， 则决策单元k0为DEA有效；反之亦然。 定理7.3 决策单元的最优效率指标VP与投入指标值Xik及产出指标值Ykj的量纲选取无关。,12,3.评价系统 DEA 有效性的判定,在实际应用中，无论利用(P)还是(D)，上述判断都并

8、非易事。 为了方便地使判定决策单元DEA 有效，查恩斯和库伯引用了非阿基米德无穷小量的概念。 从而，可以利用单纯形方法求解线性规划问题，来判定决策单元的DEA有效性。 设 是非阿基米德无穷小量，在广义实数域内， 表示一个小于任何正数且大于零的数，考虑带有非阿基米德无穷小量 的C2R模型：,其中,=(1,1, ,1)是元素均为l的 p 维向量，eT=(1,1,1)是元素均为l的 q 维向量。,定理7.4 设为非阿基米德无穷小量，线性规划（D）的最优解为0,s0-, s0+, 0，有 若0 =1，则决策单元k0为弱DEA有效； 若0 =1，并且s0-=0, s0+ =0，则决策单元k0为DEA有效

9、。 利用模型一次计算就能够判定决策单元是否DEA 有效。 在实际操作中，只要取 足够小，例如取 = 10-6。用单纯形法求解，通常可利用 线性规划软件( 如QSB，Lindo等 )，在计算机上实现。,13,【例7-2】设有4个决策单元，2个投入指标和1个产出指标的评价系统，其数据如下图。 判定各个决策单元是否 DEA 有效。,解： 决策单元1所对应的线性规划（D），取 = 10-6，为,利用单纯形法求解，得到最优解 0=(1,0,0,0)T ， S10- = S20- = S10+ = 0， 0=1 因此，决策单元1为DEA有效。, 决策单元4所对应的线性规划（D），取 = 10-6，为,利用

10、单纯形法求解，得到最优解 0=(0,3/5,1/5,0)T ， S10- = S20- = S10+ = 0， 0=3/51 因此，决策单元4不是DEA有效。, 同样地，经过判定，决策单元2，3均为DEA有效。,14,4. DEA有效决策单元的构造,评价系统并非所有的决策单元都是DEA 有效，经过判定后，如何对一些非DEA有效的决 策单元进行分析，指出造成非有效的原因，并据此改进为具有 DEA 有效性的决策单元。 为此，需要讨论决策单元在相对有效面上的投影。,定义7.3 DEA 的相对有效面(有效生产前沿面) ：0T X0 0T Y0 = 0,如果决策单元k0是DEA有效，线性规划(P)有最优

11、解 0、0，并且满足条件 Vp = 0T Y0 = 1，00，0 0 而 0T X0 = 1，故 0T X0 = 0T Y0 。于是，点(X0,Y0)在超平面上。 并且超平面 上的其它点(X,Y)所表示的决策单元也是 DEA 有效的， 因此，可以利用在相对有效面上 “投影”的方法，改进非 DEA 有效的决策单元。,定义7.4 设 0、s0-、s0+、0 是线性规划问题（D）的最优解。令,15,定理7.5 设,是决策单元 k0 对应的 (X0,Y0) 在 DEA 相对有效面 上的投影，,则新决策单元,相对于原来的n个决策单元来说，是DEA 有效的。,新决策单元给出了一个改进非DEA有效决策单元的

12、方法，亦即构造新的DEA有效决策单元 的方法。,【例7-3】设有4个决策单元，2个投入指标和1个产出指标的评价系统，其数据如下图。 对非DEA有效的决策单元，求出它在DEA相对有效面上的“投影”，并判定新决策单元的 DEA 有效性。,解：决策单元 1，2，3 均为DEA 有效，决策单元4为非DEA 有效，决策单元 4 对应的 线性规划（D）的最优解为 0=(0,3/5,1/5,0)T ，S10- = S20- = S10+ = 0，0=3/5，令,则新决策单元,是决策单元 4 对应的 (X0,Y0) 在 DEA 相对有效面 上的投影，,它(作为第 5 个决策单元 )与原来的 4 个决策单元构成

13、新的评价系统，如下图：,16,对应的线性规划模型（D）为,利用单纯形法求解，得到最优解 0=(0,3/5,1/5,0,0)T ，S10- = S20- = S10+ = 0，0=1 因此，新决策单元5是DEA有效的。,由此例看出，在评价系统中决策单元4非DEA 有效，用 “投影”方法构造了在DEA相对 有效面上的新决策单元5。 并且分析决策单元4非DEA 有效的原因是：投入指标量过大，经过改进，只需要原投入量的3/5，因为决策单元4原投入量为(4，2)T，改进后应为(12/5，6/5)T，后者为前者的3/5，产出量不变，相对效率提高，即可转化为DEA 有效的决策单元。,17,7.2 DEA有效

14、性的经济意义 一、生产函数和生产可能集 1. 生产函数 y=f(x) ：在单投入和单产出的情况下，生产函数(一般是增函数)表示理想的生产 状态，即投入x所能获得的最大产出y。因此，生产函数曲线上的点(x,y)所对应的决策单元， 从生产函数的角度看，是处于技术有效状态,生产函数图形如下图，A、C处于技术有效状态。, 点A将曲线分为两部分，在点A之左，y0，y0，曲线是下凸的在生产函数的下凸区间， 表示增加投入量可以使产出量的递增速度增加，此时称为规模收益递增，厂商有投资的积极性； 在点A之右，y0，y0，曲线是上凸的，在此区间，增加投入量只能使产出量增加的速度减 小，此时称为规模收益递减，厂商己

15、经没有增加投资的积极性。 点A是生产函数曲线的拐点，点A所对应的决策单元，既是技术有效，也是规模有效。 这是因为该决策单元减少投入量或增加投入量，都不是最佳生产规模。, 点C在生产函数曲线上，对应的决策单元技术有效，但不是规模有效。 这是由于点C位于规模收益递减区间。 点B不在生产函数曲线之上，并位于规模收益递减区域，点B所对应的决策单元既不是技术 有效，也不是规模有效。,18,2. 生产可能集 所有可能的生产活动构成的集合，记作 T=(X,Y)|产出Y可由投入X生产出来 由于(Xk,Yk)是决策单元k的生产活动，于是有(Xk,Yk)T，k=1,2,n 在C2R模型中，生产可能集应该满足下面的

16、四条公理：,公理7.1 (凸性) 对于任意(X1,Y1)T、(X2,Y2)T，以及任意0,1，均有 (X1,Y1)+(1-)(X2,Y2)=(X1+(1-)X2 ，Y1+(1-)Y2 )T 即是说,如果 X1,X2 分别以 ,1- 加权和作为投入量，则 Y1,Y2以同样的加权和作为产出量。,公理7.2 (锥性) 对于任意(X,Y)T，以及任意数 0，均有 (X,Y)=(X,Y)T 即是说，如果以 X 的 倍作为投入量，则产出量是 Y 的同样倍数。,公理7.3 (无效性) 对于任意(X,Y)T， 若 XX，则均有(X,Y)T； 若 YY，则均有(X,Y)T。 即是说，在原生产活动中，单方面地增加投入量或者减少产出量，生产活动总是可能的。,公理7.4 (最小性) 生产可能集 T 是满足公理8.18.3的所有集合的交集。,由 n 个决策单元(Xk,Yk)的生产活动所描述的生产可能集，满足公理8.18.4是