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1、大学物理思维技巧训大学物理思维技巧训练与培养教案练与培养教案3(2010)5. 理想气体的压强公式理想气体的压强公式6. 理想气体内能理想气体内能7. 分子按速律分布分子按速律分布8. 玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律9.9.三种速率三种速率10.10.范德瓦尔斯方程范德瓦尔斯方程211.11.平均自由程和平均碰撞频率平均自由程和平均碰撞频率12.12.功功13.13.热力学第一定律热力学第一定律14.14.热容热容量量16.16.绝热过程方程绝热过程方程15.15.迈尔公式迈尔公式17.17.热机的效率热机的效率18.18.致冷系数致冷系数3 输运过程输运过程 熵增加原理熵增加原理热学补充内容热
2、学补充内容4 输输 运运 过过 程程不受外界干扰时，系统自发地从非平衡态向物不受外界干扰时，系统自发地从非平衡态向物理性质均匀的平衡态过渡过程理性质均匀的平衡态过渡过程 - 输运过程。输运过程。一、非平衡态一、非平衡态二、二、输运过程输运过程系统各部分的物理性质，如流速、温度或密系统各部分的物理性质，如流速、温度或密度不均匀时，系统处于度不均匀时，系统处于非平衡态。非平衡态。介绍三种介绍三种输运过程的基本规律：输运过程的基本规律：内摩擦内摩擦热传导热传导扩散扩散51. 内摩擦内摩擦 AB现象：现象：A盘自由，盘自由，B盘由电机带动而盘由电机带动而转动，慢慢转动，慢慢A盘也跟着转动起来。盘也跟着
3、转动起来。解释：解释：B盘转动因摩擦作用力带动盘转动因摩擦作用力带动了周围的空气层，这层又带动邻了周围的空气层，这层又带动邻近层，直到带动近层，直到带动A盘。盘。这种相邻的流体之间因速度不同，这种相邻的流体之间因速度不同，引起的相互作用力称为引起的相互作用力称为内摩擦力，内摩擦力，或粘滞力。或粘滞力。x zu = u (z)dSdf df流速不均匀，沿流速不均匀，沿 z 变化（或有梯度）变化（或有梯度）不同流层之不同流层之间有粘滞力间有粘滞力6设设，dS 的上层面上流体对下层面上流体的粘滞力为的上层面上流体对下层面上流体的粘滞力为 df，反作用为，反作用为 df ，这一对力满足牛顿第三定律。，
4、这一对力满足牛顿第三定律。实验测得实验测得 称为粘滞系数称为粘滞系数20 oC 时，水为时，水为 1.005 10-3 Pa s空气为空气为 1.71 10-7 Pa s用分子运动论应该可以从微观推导出上面公式。用分子运动论应该可以从微观推导出上面公式。根据动量定律根据动量定律df = dzduz=z0dSdK = df.dt dzduz=z0dSdtdK = - dzduz=z0dSdtdK = 考虑到动量的迁考虑到动量的迁移的方向。则：移的方向。则：7微观上，这种粘滞力是动量传递的结果微观上，这种粘滞力是动量传递的结果(1)下层平均自由程下层平均自由程 l 的区域，的区域，单位时间通过单位
5、时间通过 dS 面积，向上面积，向上层移动的分子数为：层移动的分子数为：zz0 16v n16v nxu（z+ ）u（z - ）8与比较实验定律得：与比较实验定律得：(2)计算每交换一对分子沿计算每交换一对分子沿z轴正方向输运的净动量为：轴正方向输运的净动量为：(3)计算计算dN个分子沿个分子沿z轴正轴正 方向输运的净动量为：方向输运的净动量为：dK = dk.dN92. 热传导热传导zT（x）dSdQ0x03. 扩散扩散zn（z）dSdM定容比热定容比热10例一：例一：一定量的气体先经过等容过程使其温度升一定量的气体先经过等容过程使其温度升高一倍，在经过等温过程使其体积膨胀为原来高一倍，在经
6、过等温过程使其体积膨胀为原来的两倍，问后来的平均自由程，粘滞系数，热的两倍，问后来的平均自由程，粘滞系数，热传导系数和扩散系数各为原来的多少倍？传导系数和扩散系数各为原来的多少倍？解：解：A(P0V0T0）PVABCB(2P0V02T0）C(P02V02T0）11 热力学第二定律热力学第二定律 一、热力学第二定律的表述一、热力学第二定律的表述 1.1.克劳修斯克劳修斯（clausius，1850）表述表述: : 不可能自发地将热量从低温物体传向高温物体，不可能自发地将热量从低温物体传向高温物体，而不发生其他变化。而不发生其他变化。 2.2.开尔文开尔文（Kelvin， 1851）表述表述: :
7、 不可能从单一热源吸热使之完全转化不可能从单一热源吸热使之完全转化为有用功，而不发生其他变化。为有用功，而不发生其他变化。 12 二、熵与微观状态之间的关系二、熵与微观状态之间的关系 1.1.微观状态与宏观状态微观状态与宏观状态将隔板拉开后将隔板拉开后, ,只表示只表示A,BA,B中各有多少个分子中各有多少个分子 - -称为宏观状态称为宏观状态表示出表示出A,BA,B中各是哪些分子中各是哪些分子 ( (分子的微观分布分子的微观分布) ) - -称为微观状态称为微观状态13左左4 4，右，右0 0，微观状态数，微观状态数 1 1左左3 3，右，右1 1，微观状态数微观状态数 4 4左左2 2，右
8、，右2 2，微观状态数，微观状态数 6 6左左1 1，右，右3 3，微观状态数微观状态数 4 4左左0 0，右，右4 4，微观状态数，微观状态数 1 1144 4个粒子分布个粒子分布 左左4 4 右右0 0 左左3 3 右右1 1 左左2 2 右右2 2 左左1 1 右右3 3 左左0 0 右右4 40 01 12 23 34 45 56 6总微观状态数总微观状态数16: 16: 左左4 4右右0 0 和和 左左0 0右右4 4概率概率 各为各为 1/161/16； 左左3 3右右1 1和和 左左1 1右右3 3概率概率 各为各为 1/41/4； 左左2 2右右2 2概率概率 为为 6/16.
9、 6/16. 按统计理论的基本假设：按统计理论的基本假设：对于孤立系统对于孤立系统, ,各各微观状态微观状态出现的概率是相同的出现的概率是相同的. . 15N=10N=1023 23 N/2N/2N Nn nl孤立系统总是从非平衡态向平衡态过渡。孤立系统总是从非平衡态向平衡态过渡。 与平衡态的微小偏离，就是与平衡态的微小偏离，就是涨落（始终存在）。涨落（始终存在）。 两侧粒子数相同时两侧粒子数相同时热力学概率热力学概率最大，对应平衡态最大，对应平衡态. .对应微观状态数目多的宏观状态对应微观状态数目多的宏观状态, , 其出现的概率其出现的概率 大。大。N N：左侧粒子数：左侧粒子数N=10N=
10、1023 23 162.2.热力学概率热力学概率 某一宏观状态对应的微观状态数叫该宏观状态的热力某一宏观状态对应的微观状态数叫该宏观状态的热力学概率学概率 . . 当分子数当分子数 N=4 N=4 时时, , 热力学概率热力学概率 =(1/16)=1/2=(1/16)=1/24 4. . 当分子数当分子数 N=N N=NA A(1(1摩尔摩尔) )时时, , 热力学概率热力学概率这种宏观状态虽原则上可出现这种宏观状态虽原则上可出现, ,但实际上不可能出现但实际上不可能出现. . 自然过程的方向性的定量描述自然过程的方向性的定量描述: :“热力学概率总是沿增大的方向发展热力学概率总是沿增大的方向
11、发展”.”.宏观状态出现的宏观状态出现的热力学概率：热力学概率： 全部分子自动收缩到左边的全部分子自动收缩到左边的173.3.玻尔兹曼熵公式与熵增加原理玻尔兹曼熵公式与熵增加原理 自然过程的方向性是自然过程的方向性是 小小 大大( (微观定量表示微观定量表示) ) 玻耳兹曼引入了玻耳兹曼引入了熵熵 S S 熵熵( (和和 一样一样) )的微观意义：的微观意义：S = klnS = kln 在在孤立系统孤立系统中进行的中进行的自然过程自然过程总是沿熵增加的方向进行总是沿熵增加的方向进行, ,即即例例. .用玻耳兹曼熵公用玻耳兹曼熵公式计算理想气体绝式计算理想气体绝热自由膨胀熵的增热自由膨胀熵的增
12、加量：加量： 有序有序 无序无序( (微观定性表示微观定性表示) ) 玻尔兹曼熵公式玻尔兹曼熵公式系统内分子热运动无序性的一种量度系统内分子热运动无序性的一种量度. .S0S0熵增加原理熵增加原理18 在前面在前面,4,4个分子时个分子时, ,当体积增加到当体积增加到2 2倍时倍时, ,微观状态数增为微观状态数增为 倍倍; ;因为初、末态因为初、末态 T T 相同相同, ,分子的速度分布不变分子的速度分布不变, ,只有位置分布改变只有位置分布改变, , 可以只按位置分布计算可以只按位置分布计算热力学概率热力学概率。 现在现在, N, N个分子时个分子时, ,当体积增加到当体积增加到 倍时倍时,
13、 ,微观状态数增为微观状态数增为 倍倍; ;19楼塌熵增楼塌熵增204.4.克劳修斯熵公式克劳修斯熵公式熵熵( (以以S S表示表示) )是一个重要的状态参量是一个重要的状态参量, ,熵定量描述熵定量描述状态的无序性状态的无序性, , 熵的变化熵的变化( ( S)S)描述过程的方向性描述过程的方向性. . （1 1）对于卡诺循环）对于卡诺循环( (是可逆循环是可逆循环) ) 效率效率 c =1-(|Q2|/Q1)=1-(T2/T1) ( Q1/T1 )+( Q2/T2) =0说明对于卡诺循环说明对于卡诺循环, ,系统从每个热源吸收系统从每个热源吸收的热量与相应热源的温度的比值的热量与相应热源的
14、温度的比值Q Qi i/T/Ti i( (称称作热温比作热温比, ,其中其中i=1,2) i=1,2) 之和等于零之和等于零. .|Q2|/Q1)=T2/T1 |Q2|= -Q2 (|Q2|放热放热;Q1吸热吸热，Q2 0） ( ( Qi/Ti)=0)=0克劳修斯等式克劳修斯等式21（2 2）对于一般循环对于一般循环此积分只和始、末此积分只和始、末态有关态有关, ,和过程无和过程无关。关。熵是状态量。熵是状态量。 熵的单位：熵的单位： J/K (J/K (焦尔焦尔/ /开开) ) 对可逆循环对可逆循环：熵增为零熵增为零. .因为熵是状态量因为熵是状态量. . 对可逆元过程对可逆元过程： 熵增熵
15、增 dS=(=(dQ/ /T) ) 对可逆绝热过程：对可逆绝热过程：因为因为 熵增为零熵增为零. . 可逆绝热过程又称等熵过程可逆绝热过程又称等熵过程22例一：例一：比热同为常量比热同为常量c，质量同为，质量同为m的的6个球体，个球体，其中其中A球的温度为球的温度为T0，其余，其余5个球的温度为个球的温度为2T0。通过球与球相互接触中发生的热传导，可使通过球与球相互接触中发生的热传导，可使A球球的温度升高。假设接触过程与外界绝热，则的温度升高。假设接触过程与外界绝热，则A球球可达到的最高温度为可达到的最高温度为_T0，对应的球的，对应的球的熵增量为熵增量为_m c 。解：解：第第23届（届（2
16、006）考题）考题23热学主要内容热学主要内容例二：例二：刚性容器中装有温度为刚性容器中装有温度为T0的的1摩尔氮气，在摩尔氮气，在此气体与温度也是此气体与温度也是T0的热源之间工作的一个制冷机，的热源之间工作的一个制冷机，它从热源吸热它从热源吸热Q2 ，向容器中的气体放出热量，向容器中的气体放出热量Q1，经，经一段时间后，容器中的氮气的温度升至一段时间后，容器中的氮气的温度升至T1，试证明，试证明该过程中制冷机必须消耗的功该过程中制冷机必须消耗的功工作物质工作物质证明：证明：据热力学第一定律，应有据热力学第一定律，应有功：功：24热学主要内容热学主要内容要证明的表达式是用温度表示的，下面将热
17、量用温度要证明的表达式是用温度表示的，下面将热量用温度来表示。来表示。据熵增加原理写出据熵增加原理写出与温度的关系。与温度的关系。将气体、制冷机工作物质和热源视为大系统。将气体、制冷机工作物质和热源视为大系统。工作物质工作物质大系统是孤立系统，其熵永不减少。大系统是孤立系统，其熵永不减少。据熵增加原理，大系统熵变据熵增加原理，大系统熵变其中气体熵变：其中气体熵变：（这里（这里为摩尔热容量）为摩尔热容量）25热学主要内容热学主要内容热源熵变：热源熵变：制冷机工作物质熵变：制冷机工作物质熵变：所以所以功：功：证毕。证毕。有有工作物质工作物质262010年10月271 1、某种理想气体分子的平动自由
18、度、某种理想气体分子的平动自由度t=3,t=3,转动自由度转动自由度 r=2, r=2,振动自由度振动自由度s=1.s=1.当气体的温度为当气体的温度为T T时时, ,一个分子一个分子 的平均总能量等于的平均总能量等于_,_,一摩尔该种气体的内一摩尔该种气体的内 能等于能等于_. _. 2 2、右图为某种气体的两条麦克斯韦速率分布曲线、右图为某种气体的两条麦克斯韦速率分布曲线, ,则则 它们的最可几速率它们的最可几速率V VP1P1_V_VP2P2, ,温度温度T T1 1_T_T2 2. . (1)V(1)VP1P1VVP2P2, T, T1 1TT2 2 (2)V(2)VP1P1VTT2
19、2 (3)V(3)VP1P1VVP2P2, T, T1 1TVVP2P2, T, T1 1T1。工作于其中两个任。工作于其中两个任选热源之间的可逆卡诺热机的循环效率最大可选热源之间的可逆卡诺热机的循环效率最大可取值取值max=_。由这四个热源共同参与。由这四个热源共同参与的某个可逆循环如图所示，图中每一条实线与的某个可逆循环如图所示，图中每一条实线与其间辅助虚线同属一条绝热线。此循环过程效其间辅助虚线同属一条绝热线。此循环过程效率率=_。 OVPT1T2T3T4解：解：34例例3：在图示的密闭容器内有一空腔，加热容器会使在图示的密闭容器内有一空腔，加热容器会使腔壁产生热辐射，在空腔内形成包含各
20、种频率的光子腔壁产生热辐射，在空腔内形成包含各种频率的光子气。而后腔壁会继续向空腔输运各种频率的光子，光气。而后腔壁会继续向空腔输运各种频率的光子，光子气中各种频率的光子也会输运到腔壁，在给定温度子气中各种频率的光子也会输运到腔壁，在给定温度下达到动态平衡。平衡时，可等效地将腔壁处理成既下达到动态平衡。平衡时，可等效地将腔壁处理成既不产生新的热辐射光子，也不吸收腔内有的光子，这不产生新的热辐射光子，也不吸收腔内有的光子，这相当于假设腔壁对光子气中的光子是全反射的，于是相当于假设腔壁对光子气中的光子是全反射的，于是光子可类比成理想气体。已知腔内光子气的能量密度光子可类比成理想气体。已知腔内光子气
21、的能量密度u与温度与温度T的的4次方成正比，试求光子气压强次方成正比，试求光子气压强P与温度与温度T的关系。的关系。空腔空腔第第23届（届（2006）考题）考题35光子气能光子气能量密度量密度解解：频率为频率为的光子，质量为的光子，质量为热学主要内容热学主要内容其中其中即为光子气中即为光子气中光子的光子的能量密度。能量密度。于是，光子的总压强为于是，光子的总压强为因因 uT4 所以所以 PT436热学主要内容热学主要内容例例5: 1mol刚性双原子理想气体经历如图所示的循环，刚性双原子理想气体经历如图所示的循环， 求循环效率。求循环效率。 OPVV12V1P12P1abc解：解：气体对外作功气
22、体对外作功（1）ab 过程过程吸热：吸热：利用利用计算效率计算效率实际是放热。实际是放热。（2） bc 过程过程吸热吸热37热学主要内容热学主要内容OPVV12V1P12P1abc（3）ca过程过程过程方程设为：过程方程设为：这里：这里：取一微小过程寻找绝热点取一微小过程寻找绝热点寻找吸热到放热的转变点，寻找吸热到放热的转变点，而过程方程而过程方程38热学主要内容热学主要内容（a）当）当即：即：系统吸热系统吸热（b）当）当即：即：系统放热系统放热OPVV12V1P12P1abc（c）当）当即：即：系统既不放系统既不放热也不吸热热也不吸热ce 过程吸热过程吸热39热学主要内容热学主要内容总吸热为
23、：总吸热为：效率为效率为OPVV12V1P12P1abc40热学主要内容热学主要内容例例6：绝热汽缸内有一不导热的隔板，把汽缸分成绝热汽缸内有一不导热的隔板，把汽缸分成A，B两室两室,每室中有质量相同的同种单原子分子理想气体每室中有质量相同的同种单原子分子理想气体,它们的压强都是它们的压强都是P0，体积都是，体积都是V0，温度都是，温度都是T0。今通。今通过过A 室中的电热丝室中的电热丝L对气体加热，转给气体的热量为对气体加热，转给气体的热量为Q，达到平衡时，达到平衡时，A室的体积是室的体积是B室的二倍，试求两室中室的二倍，试求两室中气体的温度。气体的温度。ABL解：解：A室室 初态初态 末态
24、末态B室室 初态初态 末态末态41热学主要内容热学主要内容据理想气体的状态方程据理想气体的状态方程有有两式相除，得到两式相除，得到即：即：由于汽缸的体积是不变的，电热丝的热量全部变成了由于汽缸的体积是不变的，电热丝的热量全部变成了两室的内能增量：两室的内能增量：或写成：或写成：（1）（）（2）两式联立，可求得：）两式联立，可求得：42热学主要内容热学主要内容据据有有因此末态两室的温度为因此末态两室的温度为43热学主要内容热学主要内容例例6：某理想气体经历的正循环过程某理想气体经历的正循环过程 ABCDA和正和正循环过程循环过程 AEFGA,各自效率分别为各自效率分别为1和和2，试证，试证2:1
25、=4 : 3ABEGFDCV02V0P02P03P0P0V 证明：证明：对于循环过程对于循环过程 ABCDAA-B和和B-C 为吸热过程为吸热过程共吸热共吸热44热学主要内容热学主要内容ABEGFDCV02V0P02P03P0P0V此循环过程对外作功为此循环过程对外作功为效率：效率：对于循环过程对于循环过程 AEFGAA-E和和E-F 为吸热过程为吸热过程共吸热共吸热45热学主要内容热学主要内容ABEGFDCV02V0P02P03P0P0V此循环过程对外作功为此循环过程对外作功为效率：效率：所以所以证毕。证毕。46热学主要内容热学主要内容例例8：两个与大气接触的汽缸分别存有同种理想气体，两个与
26、大气接触的汽缸分别存有同种理想气体，细管绝热阀门细管绝热阀门K关闭，缸内气体温度和体积各为关闭，缸内气体温度和体积各为和和，两缸上方均有轻质可动活塞，活塞与缸壁，两缸上方均有轻质可动活塞，活塞与缸壁间无空隙且无摩擦，系统与外界绝热。间无空隙且无摩擦，系统与外界绝热。（1）将阀门）将阀门K缓慢打开，试求缸内气体混合平衡后缓慢打开，试求缸内气体混合平衡后的总体积；的总体积；（2）设该种气体的定容摩尔热容量为）设该种气体的定容摩尔热容量为，开始时，开始时两边气体摩尔数同为两边气体摩尔数同为 ，试求按（，试求按（1）问所述气体）问所述气体混合平衡后系统熵增量混合平衡后系统熵增量K47热学主要内容热学主要内容K解解（1）混合后的体积设为混合后的体积设为V外界对气体作功等于内能增量，即：外界对气体作功等于内能增量，即：得到：得到：（2）系统体积没有变化，没有体变功，又是绝热过程，）系统体积没有变化，没有体变功，又是绝热过程，系统的内能不变，应有：系统的内能不变，应有：由于由于所以：所以：48热学主要内容热学主要内容混合过程熵变为混合过程熵变为49
