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1、一、定义：,如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间的概率.,第三讲 随机变量的 分布函数,问： 在上 式中，X, x 皆为变量. 二者有什 么区别？ x 起什么作用？ F(x) 是不是概率？,X是随机变量, x是参变量.,F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.,由定义，对任意实数 x1x2，随机点落 在区间（ x1 , x2 的概率为：,P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1),因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它的统计特性就可以得到全面的描述.,分布函数是一个普通的函数，正是 通过它，我们可以用
2、数学分析的工具来 研究 随机变量.,二、离散型 r.v的分布函数,设离散型r.vX 的概率分布列是,P X=xk = pk , k =1,2,3,则 F(x) = P(X x) =,由于F(x) 是 X 取 的诸值 xk 的概率之和， 故又称 F(x) 为累积概率函数.,当 x0 时， X x = ， 故 F(x) =0,例1.,，求 F(x).,当 0 x 1 时， F(x) = P(X x) = P(X=0) =,F(x) = P(X x),解:,当 1 x 2 时， F(x) = P(X=0) + P(X=1) = + =,当 x 2 时， F(x) = P(X=0) + P(X=1)
3、+ P(X=2) = 1,例1.,，求 F(x).,F(x) = P(X x),解:,故,注意右连续,下面我们从图形上来看一下.,概率函数图,分布函数图,画 分布函 数图,不难看出，F(x) 的图形是阶梯状的图形，在 x=0，1，2 处有跳跃，其跃度分别等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2).,三、分布函数的性质,(3) F(x) 非降，即若 x1x2，则F(x1) F(x2) ;,(2) F( ) = F(x) = 0,(4) F(x) 右连续，即,如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)-(4)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函
4、数的充分必要条件.,F( ) = F(x) = 1,(1) 0F(x)1, x+;,试说明F(x)能否是某个r.v 的分布函数.,例2. 设有函数 F(x),注意到函数 F(x)在 上下降， 不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.,不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是r.v 的 分布函数.,或者,解：,第四讲 连续型随机变量,连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.,下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.,. 连续型随机变量、概率密度
5、定义,由定义知：1. 连续型随机变量的分布函数F(x) 是连续函数.,2. 对f(x)的连续点，有,由此 F(x)与f(x)可以互推。,概率密度函数的性质,1.,2.,这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.,3,故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度.,4. 对 f(x)的进一步理解:,要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反
6、映了概率集中在该点附近的程度.,若不计高阶无穷小，有：,它表示随机变量 X 取值于 的概率近似等于 .,连续型r.v取任一指定值的概率为0.,即：,a为任一指定值,这是因为,需要指出的是:,P( X = a )=0的充分必要条件是F( x )是 连续函数。任意aR。,由此得，,1) 对连续型 r.v X,有,2) 由P(X=a)=0 可推知,而 X=a 并非不可能事件,并非必然事件,称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.,可见，,由P(A)=0, 不能推出,由P(B)=1, 不能推出 B=S,下面给出几个r.v的例子.,解：,（1）由性质2，,A=2.,对x -1，F(x) = 0,对,对
7、x1， F (x) = 1,求 F(x).,解：,即,(3).,大家一起来作下面的练习.,求 F(x).,例2 设,由于f(x)是分段 表达的，求F(x)时 注意分段求.,对连续型r.v，若已知F(x)，我们通过求导也可求出 f (x)，请看下例.,即,例3 设r.vX的分布函数为,(1) 求X取值在区间 (0.3,0.7)的概率； (2) 求X的概率密度.,解: (1) P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3),=0.72-0.32=0.4,(2) f(x)=,注意到F(x)在1处导数不存在，根据改变被积函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在 没意义的点处，任意规定 的值.,
8、几种重要的连续型随机变量,均匀分布,（1）若 r.vX的概率密度为：,则称X服从区间 a, b 上的均匀分布，记作：,X U(a, b),它的实际背景是： r.v X 取值在区间a, b 上， 并且取值在a, b中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比.则 X 具有a,b上的均匀分布.,若XU a, b, (x1, x2)为a, b的任意子区间，则,公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.,均匀分布常见于下列情形：,如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差；,例4. 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:
9、30, 7:45 等时刻 有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车 时间少于5 分钟的概率.,解：,依题意， X U ( 0, 30 ),以7:00为起点0，以分为单位,为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.,所求概率为：,从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，,即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.,例5. 设K在0，5上服从均匀分布， 求方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率。,解：,KU0，5，
10、,有实根等价于0，即 16K216（K+2）0， K1，or K2,区间( 0, 1)上的均匀分布U(0,1)在计算机模拟中起着重要的作用.,实用中，用计算机程序可以在短时间内产生大量服从 ( 0, 1)上均匀分布的随机数. 它是由一种迭代过程产生的.,严格地说，计算机中产生的U (0,1) 随机数并非完全随机，但很接近随机，故常称为伪随机数.,如取n足够大，独立产生n个U(0,1)随机数，则从用这 n 个数字画出的频率直方图就可看出，它很接近于( 0, 1)上的均匀分布U(0,1).,则称 X 服从参数为 的指数分布.,（2）若 r.v X具有概率密度,常简记为 XE( ) .,指数分布,分布函数为：,指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.,f(x)0,满足概率密度性质。,
