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1、第三章 运动定理和守恒定律,将Newton第二定律分别对空间、时间进行积分或对固定参考点求矩，就得到三个运动定理：质点的动能定理、动量定理和角动量定理。 Newton第二定律的这三种变形，分别从不同侧面展示了环境作用与质点运动状态变化间的联系。,Newton第二定律确定了力的瞬时效应，它表达了动力学最基本的因果关系。,若积累所有的瞬时情况，并根据初条件就可以对全过程做出描述。力学理论正是在Newton定律的基础上演绎发展起来的。,对于存在复杂的相互作用的诸多质点，我们可根据需要划定边界，建立质点系统，寻找系统的整体功能。设定边界，将系统与环境分离，系统受到的作用力就被区分为外力和内力：外力是外
2、界对系统内质点的作用力，内力是系统内质点间的相互作用。按照Newton第三定律，系统内力成对出现，且内力的矢量和为零。从此可引发出内力的一系列重要性质，并将质点运动定理推演为反映质点系统整体运动的质点系运动定理，形成了质点系统动力学。当系统外力满足一定条件时，系统在变化过程中可能出现守恒的运动量，既反映了深层次的运动规律，又为研究运动的转化和传递提供了捷径。,应该指出，从Newton运动定律演绎推出的机械能守恒、动量守恒和角动量守恒关系，有比Newton定律更为雄厚的自然基础。它们是时间、空间对称性的必然结果。在Newton定律已不适用的微观领域，它们依然具有指导意义。,3.1 功的概念动能定
3、理,一、 功,1. 直线运动恒力作功定义,恒力 作用于沿直线运动的质点，若质点位移为 ，且，,则此过程中力 对质点运动所做出的贡献称为力 的功，,定义为,不管过程中其它力是否起作用，也不涉及质点位移以外的其它状态变化。功是一种规定，它不是力的瞬时响应，而是在一个空间过程中量度力在质点路径上的积累效应。 是力在质点位移方向上的投影，它在这个过程中，对位移有完全的贡献。而力在垂直于质点位移方向，对这个空间过程则完全无贡献。,当时，,，力对运动质点作正功；,当 时，,，力对运动质点不作功；,当 时，,，力对运动质点作负功；,2. 变力的功 元功及其积累,在一般情况下，作用于运动质点上的力 不是恒矢量
4、，如何确定它在一个空间过程中的功呢？,物理学中处理变量积累的惯用方法是考察微小的元过程，在无限小的微元过程中变量被视为常量（局域线性化）。,质点通过某点附近一个微小线元 时，力 视为常量。,在这个元过程中，质点的运动可以看作沿轨道切线的直线运动，元位移为 ，且 。,按恒力作功定义，元过程中力 的元功,质点的运动过程由无限多连续变化的元过程组成。在全过程中，力 所作的功 ，应是所有元过程中力 所作元功的总和。,力 连续变化，取和过渡为积分：,路径积分从位置 沿轨道向位置进行。,这是力对质点作功的普遍定义。,如果质点同时受到几个力 的作用，那么合力 的功 等于各分力作功 之和。,即,若质点同时受到
5、几个作用时，合力的功如何？,其中 是质点的瞬时速度。,如果已知瞬时速度随时间变化的规律,则,那么在一段时间 中的平均功率,二、 功率,设时间 内，力 对质点所作的元功为，则 时刻，力 的瞬时功率定义为,例题1质量为 的直升飞机，以顶部螺旋桨向下推动空气获得升力，若被下推的空气速度为 ，求：直升机在空中静止不动时发动机的功率。,解：,直升机在空中静止不动时获得的升力即顶部螺旋桨向下推动空气的推力为,按上述功率的定义，发动机的功率,三、 功的计算与参考系的选择有关,由前述功的定义可知，在功的计算中并没有限制选择什么样的参考系，也就是说允许在任何一个参考系中计算功，不论是惯性系还是非惯性系。,然而，
6、质点的位移和轨道在不同的参考系中会有不同的描述，运动描述的相对性，导致 依赖于参考系的选择。质点间的相互作用力 ，不随参考系的改变而变化（在Newton力学范围内）。所以，功也具有相对性，或者说，功的计算与参考系的选择有关。,例如：物体置于加速前进的小车之上，既随车前进，又相对小车向后滑动，考虑此时相互作用的摩擦力所作的功与参考系的关系。,设相对地面小车沿直线前进了 物体前进了,作用在物体上的滑动摩擦力,作用于小车的滑动摩擦力,作功,以地面为参考系,以小车为参考系,作功,究竟哪组结论对？或者都对？如果选择了其它的参考系，显然还会有另外的结果。这就产生一个问题，过程中一个力作功的数值随参考系的改
7、变而变化是否会使功的概念失去确定的物理意义？,的确，随意选择参考系可能使问题复杂化。但是，如果将选用的参考系坚持到底，对所有的物理量都在同一参考系中测量，并且利用适合该参考系的动力学规律，仍可获得唯一的结果。也就是说，原则上不排斥在任何参考系中计算功。,然而，那些不随参考系改变而变化的物理量，即参考系变换的不变量更需要加以重视。因为这些不变量往往是运动的本质属性，是规律之所在。,在这个例子中， 在地面和小车这两个参考系中都一样 。,即一对作用力和反作用力作功之和与参考系的选择无关,又如载有物体的卡车运动时，若卡车上的物体受某力的作用相对车向前滑动。由于物体相对车和地面的位移不同，因此该力相对车
8、和地面所作的功也不会相同。,结论：功的计算与参考系的选择有关(见上述实例)。 一对作用力和反作用力作功之和与参考系的 选择无关（证明见讲义）。 一般讲，作功于路径有关。,箱子与地面之间的摩擦力作功与路径有关。但有些满足一定条件的力(保守力)作功是与路径无关的力。,例题2人从10 m深的井中提水，开始时桶中装有10 kg的水，以后水桶匀速上升，直到井口，但桶连续而又均匀地漏水，每升高1 m要漏去0.2 kg的水，桶质量2 kg ，求人提水过程所作的功。,解：,设x轴从水面竖直向上，,桶与水总质量 随 变化,其中,匀速提水时满足,人所作的功,如图所示将一根长为L的绳子从地面上竖直匀速拉起，直到绳子
9、下端刚好接触地面，求外力所作的功？,四、 质点的动能定理 Newton第二定律的空间积分,在任一个元过程中，合外力 对质点 所作的元功,其中加速度 可以在轨道的法向 和切向 写出分量形式：,则,其中利用了,显然，合外力的元功等于质点动能的元增量，它的法向分量不作功，只引起质点速度方向的变化，它的切向分量对质点作功。,质点从初始状态（incipient state）（i）到末状态（final state）（f）的全过程中合外力对质点作功,定义质点动能为,动能是质点运动状态的单值函数，是质点机械运动的量度之一。,则质点的动能定理表示为,动能定理是Newton第二定律的空间积分，它表示：相对于惯性系
10、，质点动能的变化等于过程中合外力的功。,例题3圆锥摆：如图所示，质量为 的小球悬挂在绳的下端在水平面内作匀速圆周运动，试讨论重力、绳中的张力及合外力的功。,解：,由于质点作匀速率圆周运动，绳中的张力和重力总与质点的运动方向垂直，即,故重力和绳中的张力对质点不作功。,质点所受到的合外力 也不作功。,因此按质点的动能定理 ，此时质点的动能将保持不变。,例题4质量为 的小球系在绳子的一端，线的另一端系于天花板上，绳长为 。首先拉动小球使线保持水平静止，然后放手使小球下落，求线摆下 角时，小球的速率。,解：,小球下落过程中受绳中张力和重力作用，如图所示。,此时质点所受到的合力所作的功为,若以 和 分别
11、表示初态与末态的速率，则按质点的动能定理 ，有,因此小球摆下 角时的速率为,在解题过程中用到了两个概念：功和动能。利用动能定理可以避免一些数学上的复杂运算（积分）而直接由合力的功给出质点动能的增量。,例题5汽车以速率 前进，司机突然见到正前方距离为 处有一障碍物（如一堵墙壁）。问为了避免撞在墙上，汽车应急刹车还是急转弯？,分析：若急刹车，按质点的动能定理，地面提供的摩擦阻力所作的功应等于质点动能的变化，即,因此，摩擦力要满足,显然，急转弯需要路面对汽车轮胎提供的静摩擦力 大于急刹车时路面需要对轮胎提供的滑动摩擦力 。在 的通常情况下，刹车把握大一些。,若急转弯，质点近似作圆周运动，此时摩擦力所
12、提供的法向力应满足 ：,为了避免撞墙，摩擦力应满足, 3.2 保守力系统的势能,功是力沿质点路径的积分，与路径有关，是理所当然的，但是，在某些力场*中，场力作功却与质点路径无关。,一、 重力的功及其势能,地球表面的重力场，在一个小范围内可以认为是均匀力场。,以地球为参考系，建立坐标系， 轴竖直向上。,设质点 在重力作用下沿任意路径 ，由位置 运动到位置 ，考察重力的功,讨论重力所作的功：,其中 、 为物体初终两状态的竖直坐标。,表明重力的功只取决于物体的始末位置，与所经历的具体路径无关，称为作功与路径无关。,满足作功与路径无关的力称为保守力。,由于保守力作功与路径无关，只取决于物体的始末位置，
13、因此，我们可以引入一个只由位置决定的函数势能函数，以 表示。,定义保守力所作的功等于相关势能的减少。,即,其中 表示初态， 表示末态。,对于重力有,因此，重力势能函数表示为,这里取地面为重力势能零点。,如图将重物搬上汽车时，沿不同路径，重力的功相同。,重物被提升到平台上时，无论沿那条路径，重力所作的功都是一样的作功与路径无关。,应该指出的是重力的功是在地面坐标系中计算的，实际上这是一对作用力与反作用力作功之和，与参照系的选择无关(弹性力、万有引力也类似)。,弹性力的功为,弹性势能函数为,二、 弹性力的功及其势能函数,弹簧的弹性力满足,常取平衡位置 作为弹性势能的零点。,三、 万有引力的功及其势
14、能,万有引力,按功定义有,万有引力势能为,取无限远点为万有引力势能,势能只有相对的意义，取决于势能零点的选择，它表示为位置的单值函数，并有较简单的表达式。势能改变量具有绝对的意义，与零点的选择无关。在某些情况下会出现几种势能同时存在，这时系统的总势能为所有势能的代数和。,例题6质量为 的物体从高为 的平台上落下，则重力的功为多少？物体势能变化多少？（取地面为重力势能零点）,解：,如图建立竖直坐标系。,物体所受到的重力为,按功的定义，有,按保守力的功的概念，则,用设想的边界将存在相互作用的若干质点作为研究对象与环境分开，这个研究对象就是质点系统。, 3.3 质点系的动能定理 机械能守恒,一、 系
15、统、内力与外力,质点系统：,边界,如：,取小车和车上所载物体作为研究对象，构成系统。,建立系统后可以将质点间的相互作用力区分为内力和外力。,外力是外部环境对系统内质点的作用力。,内力是系统内部质点间的相互作用。,按照Newton第三定律，系统内力成对出现，系统内力的矢量和为零。,系统外的所有其它质点都被称为环境。,若取物体1、2为系统，二者之间作用力为内力，重力、支持力和摩擦力为外力。,二、质点系的动能定理,内力：,外力：,外力可以有多个。,按质点的动能定理，对系统内任何一个质点都满足质点的动能定理，对质点（ ）有：,对所有质点写出质点的动能定理然后再求和，有,如图所示，取定一个质点系统。,左
16、侧是所有内力和外力作功之和，写为,右侧为系统内总动能之差，表示为,其中 和 分别为系统初终态总动能。,因此,为质点系的动能定理,三、质点系的功能定理,根据内力的性质可以将内力分为保守内力和非保守内力，相应的功为,表明:系统内力和外力作功之和等于系统总动能的增量。,保守内力的功与路径无关，并可以引入势能的概念，,即,所以,移项,称系统内某一时刻所有动能与相应势能的总和为系统所具有的机械能，则系统初终状态的机械能分别为,这样上述功能关系就可以表示为,称为质点系的功能定理,表明:系统内非保守内力所作功与外力作功之和等于系统总机械能的增量。,几点说明：,若非保守力作正功，则系统内某种其它形式能量转化为机械能，如人从静止到运动过程中，身体内的生物化学能将转化为机械能。,若非保守力作负功，则系统内的机械能转化为其它形式能量，如摩擦生热就是机械能转化为其它形式能量（内能）的例子。,非保守力所作的功 ：表示系统内其它形式的能量和机械能之间的相互转化。,功能定理适用于
