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1、1,主要内容及重点和难点,本章主要内容包括：真值与平均值，误差的基本概念，试验数据误差的来源及分类，试验数据的精准度，试验数据误差的估计与检验，有效数字和试验结果的表示，误差的传递。 通过本章的学习，要求了解误差的基本概念，试验数据误差的来源及分类；掌握精密度、正确度、准确度的含义，随机误差的估计，系统误差的检验和过失误差的检验。 重点和难点：误差的基本概念，精密度，正确度，准确度。,2,误差分析（error analysis） ：对原始数据的可靠性进行客观的评定 误差（error） ：试验中获得的试验值与它的客观真实值在数值上的不一致 试验结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学实验过程中
2、 客观真实值真值,3,1.1 真值与平均值,1.1.1 真值（true value） 真值：在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值 真值一般是未知的 相对的意义上来说，真值又是已知的 平面三角形三内角之和恒为180（理论值） 长度的单位，质量的单位，时间的单位等（约定的真值） 国家标准样品的标称值（实际值） 国际上公认的计量值 （实际值） 高精度仪器所测之值（实际值） 多次试验值的平均值（实际值）,4,1.1.2 平均值（mean）,（1）算术平均值（arithmetic mean）,等精度试验值,适合：,试验值服从正态分布,5,（2）加权平均值(weighted mean),适合不同试
3、验值的精度或可靠性不一致时,wi权重,加权和,一个同学的某一科的考试成绩：平时测验 80， 期中 90， 期末 95 。学校规的科目成绩的计算方式是： 平时测验占 20%；期中成绩占 30%；期末成绩占 50%；这里，每个成绩所占的比重叫做权数或权重。那么， 加权平均值 = 80*20% + 90*30% + 95*50% = 90.5 算术平均值 = (80 + 90 + 95)/3 = 88.3,6,（3）对数平均值（logarithmic mean）,说明： 若数据的分布具有对数特性，则宜使用对数平均值 对数平均值算术平均值 如果1/2x1/x22 时，可用算术平均值代替,设两个数：x1
4、0，x2 0 ，则,7,（4）几何平均值（geometric mean）,当一组试验值取对数后所得数据的分布曲线更加对称时，宜采用几何平均值。 几何平均值算术平均值,设有n个正试验值：x1，x2，xn，则,8,（5）调和平均值（harmonic mean）,调和平均值是试验值倒数的算术平均值的倒数 常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合 调和平均值几何平均值算术平均值,设有n个正试验值：x1，x2，xn，则：,9,1.2 误差的基本概念,1.2.1 绝对误差（absolute error） （1）定义 绝对误差试验值真值 或,（2）说明,真值未知，绝对误差也未知,可以估计出绝对误差的范围：,绝对
5、误差限或绝对误差上界,或,10,绝对误差估算方法： 最小刻度的一半为绝对误差； 最小刻度为最大绝对误差； 根据仪表精度等级计算： 绝对误差=量程精度等级%,11,1.2.2 相对误差（relative error）,（1）定义：,或,或,（2）说明：,真值未知，常将x与试验值或平均值之比作为相对误差：,或,12,可以估计出相对误差的大小范围：,相对误差限或相对误差上界,相对误差常常表示为百分数（%）或千分数（）,13,1.2.3 算术平均误差 (average discrepancy),定义式：,可以反映一组试验数据的误差大小,14,1.2.4 标准误差 (standard error),当试
6、验次数n无穷大时，总体标准差：,试验次数为有限次时，样本标准差：,表示试验值的精密度，标准差，试验数据精密度,15,（1）定义：以不可预知的规律变化着的误差，绝对误差时正时负，时大时小 （2）产生的原因： 偶然因素 （3）特点：具有统计规律 小误差比大误差出现机会多 正、负误差出现的次数近似相等 当试验次数足够多时，误差的平均值趋向于零 可以通过增加试验次数减小随机误差 随机误差不可完全避免的,1.3.1 随机误差 （random error ）,1.3 试验数据误差的来源及分类,16,1.3.2 系统误差（systematic error）,（1）定义： 一定试验条件下，由某个或某些因素按照
7、某一确定的规律起作用而形成的误差 （2）产生的原因：多方面 （3）特点： 系统误差大小及其符号在同一试验中是恒定的 它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值的平均值而减小 只要对系统误差产生的原因有了充分的认识，才能对它进行校正，或设法消除。,17,1.3.3 过失误差 （mistake ）,（1）定义： 一种显然与事实不符的误差 （2）产生的原因： 实验人员粗心大意造成 （3）特点： 可以完全避免 没有一定的规律,18,1.4.1 精密度（precision）,（1）含义： 反映了随机误差大小的程度 在一定的试验条件下，多次试验值的彼此符合程度 例：甲：11.45，11.46，11.
8、45，11.44 乙：11.39，11.45，11.48，11.50 （2）说明： 可以通过增加试验次数而达到提高数据精密度的目的 试验数据的精密度是建立在数据用途基础之上的 试验过程足够精密，则只需少量几次试验就能满足要求,1.4 试验数据的精准度,19,（3）精密度判断,极差（range）,标准差（standard error）（若随机误差符合正态分布）,R，精密度,标准差，精密度,20,方差（variance）,标准差的平方： 样本方差（ s2 ） 总体方差（2 ） 方差，精密度,21,1.4.2 正确度（correctness）,（1）含义：反映系统误差的大小 （2）正确度与精密度的关
9、系：,精密度不好，但当试验次数相当多时，有时也会得到好的正确度,精密度高并不意味着正确度也高,（a）精密度好，正确度不好,（b）精密度不好，正确度好,（c）精密度正确度好,22,1.4.3 准确度（accuracy）,（1）含义： 反映了系统误差和随机误差的综合 表示了试验结果与真值的一致程度 （2）三者关系 无系统误差的试验,精密度 ：ABC 正确度： ABC 准确度： ABC,23,有系统误差的试验,精密度 ：A B C 准确度： A B C ，A B，C,24,1.5.1 随机误差的检验,1.5 试验数据误差的统计假设检验,（1）目的：,对试验数据的随机误差或精密度进行检验。,（2）检验
10、步骤：,计算统计量,25,查临界值,一般取0.01或0.05，表示有显著差异的概率,双侧（尾）检验(two-sided/tailed test) ：P215,检验,若,则判断两方差无显著差异，否则有显著差异,26,单侧（尾）检验(one-sided/tailed test) ： 左侧（尾）检验 ：,则判断该方差与原总体方差无显著减小，否则有显著减小,右侧（尾）检验,则判断该方差与原总体方差无显著增大，否则有显著增大,若,若,27,1.5.1.2 F检验(F-test),（1）目的： 对两组具有正态分布的试验数据之间的精密度进行比较 （2）检验步骤 计算统计量,设有两组试验数据：,都服从正态分布
11、，样本方差分别为,和,和,，则,第一自由度为,第二自由度为,服从F分布，,28,查临界值 给定的显著水平,查F分布表,临界值,双侧（尾）检验(two-sided/tailed test) ：,检验,若,则判断两方差无显著差异，否则有显著差异,29,单侧（尾）检验(one-sided/tailed test) ： 左侧（尾）检验 ：,则判断该判断方差1比方差2无显著减小，否则有显著减小,右侧（尾）检验,则判断该方差1比方差2无显著增大，否则有显著增大,若,若,（3）Excel在,F检验中的应用,30,1.5.2 系统误差的检验,1.5.2.1 t检验法 （1）平均值与给定值比较 目的：检验服从正
12、态分布数据的算术平均值是否与给定值有显著差异 检验步骤： 计算统计量：,给定值（可以是真值、期望值或标准值如标准样品）,31,双侧检验 ：,若,则可判断该平均值与给定值无显著差异，否则就有显著差异,单侧检验,左侧检验,若,且,则判断该平均值与给定值无显著减小，否则有显著减小,右侧检验,若,且,则判断该平均值与给定值无显著增大，否则有显著增大,32,（2）两个平均值的比较 目的：判断两组服从正态分布数据的算术平均值有无显著差异 计算统计量： 两组数据的方差无显著差异时,s合并标准差：,33,两组数据的精密度或方差有显著差异时,服从t分布，其自由度为：, t检验,34,双侧检验 ：,若,则可判断两
13、平均值无显著差异，否则就有显著差异,单侧检验,左侧检验,若,且,则判断该平均值1较平均值2无显著减小，否则有显著减小,右侧检验,若,且,则判断该平均值1较平均值2无显著增大，否则有显著增大,例题1-9 P13,35,（3）成对数据的比较 目的：试验数据是成对出现，判断两种方法、两种仪器或两分析人员的测定结果之间是否存在系统误差 计算统计量：,成对测定值之差的算术平均值：,零或其他指定值, n对试验值之差值的样本标准差：,36, t检验 若,否则两组数据之间存在显著的系统误差,，则成对数据之间不存在显著的系统误差，,（4）Excel在,t检验中的应用,37,1.5.2.2 秩和检验法（rank
14、sum test）,（1）目的：两组数据或两种试验方法之间是否存在系统误差、两种方法是否等效等 ，不要求数据具有正态分布 （2）内容： 设有两组试验数据，相互独立 ，n1，n2分别是两组数据的个数 ，总假定 n1n2； 将这个试验数据混在一起，按从小到大的次序排列 每个试验值在序列中的次序叫作该值的秩（rank） 将属于第1组数据的秩相加，其和记为R1 R1第1组数据的秩和（rank sum） 如果两组数据之间无显著差异，则R1就不应该太大或太小,38,查秩和临界值表： 根据显著性水平和n1，n2，可查得R1的上下限T2和T1 检验： 如果R1T2 或R1 T1，则认为两组数据有显著差异，另一
15、组数据有系统误差 如果T1R1T2，则两组数据无显著差异，另一组数据也无系统误差,39,（3）例：,设甲、乙两组测定值为： 甲：8.6，10.0，9.9，8.8，9.1，9.1 乙：8.7，8.4，9.2，8.9，7.4，8.0，7.3，8.1，6.8已知甲组数据无系统误差，试用秩和检验法检验乙组测定值是否有系统误差。（0.05）,解:（1）排序：,40,（2）求秩和R1 R1=7911.511.5141568 （3）查秩和临界值表 对于0.05， n1=6，n2=9 得 T1=33，T263， R1T2 故：两组数据有显著差异，乙组测定值有系统误差,41,1.5.3 异常值的检验,可疑数据、
16、离群值、异常值 一般处理原则为： 在试验过程中，若发现异常数据，应停止试验，分析原因，及时纠正错误 试验结束后，在分析试验结果时，如发现异常数据，则应先找出产生差异的原因，再对其进行取舍 在分析试验结果时，如不清楚产生异常值的确切原因，则应对数据进行统计处理；若数据较少，则可重做一组数据 对于舍去的数据，在试验报告中应注明舍去的原因或所选用的统计方法,42,1.5.3.1 拉依达（ ）检验法,内容： 可疑数据xp ，若,则应将该试验值剔除。,说明：,计算平均值及标准偏差s 时，应包括可疑值在内,3s相当于显著水平0.01，2s相当于显著水平0.05,43,可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数据 首先检验偏差最大的数 剔除一个数后，如果还要检验下一个数 ，应重新计算平均值及标准偏差 方法简单，无须查表 该检验法适用于试验次数较多或要求不高时 3s为界时，要求n10 2s为界时，要求n5,44,有一组分析测
