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1、第六章 习题课,1.基本概念 2.典型例题 3.练习,一、集合,1、定义,2、集合的表示方法:,3、集合间的关系,4、集合间的运算,交: ;,并:,2线性空间的定义,3线性空间的性质,4子空间,定义设 是一个线性空间, 是 的一个非空子 集,如果 对于 中所定义的加法和乘数两种运算 也构成一个线性空间,则称 为 的子空间,定理线性空间 的非空子集 构成子空间的充分 必要条件是: 对于 中的线性运算封闭,定义,5线性空间的维数、基与坐标,定义,一般地,设 与 是两个线性空间,如果在 它们的元素之间有一一对应关系,且这个对应关 系保持线性组合的对应,那么就说线性空间 与 同构,线性空间的结构完全被
2、它的维数所决定 任何 维线性空间都与 同构,即维数相等 的线性空间都同构,6基变换,7坐标变换,8线性子空间,设V是数域P上的线性空间,集合,若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间,则称W为V的一个线性子空间,简称为子空间,线性子空间的判定:,设V为数域P上的线性空间,集合,,若W对于V中两种运算封闭,即,则W是V的一个子空间,称为V的由 生成的子空间,,9.生成子空间,定义:V为数域P上的线性空间,,则子空间,,,记作 ,称 为 的一组 生成元.,也为V的子空间,,设V1、V2为线性空间V的子空间,则集合,10、子空间的交,1、定义,称之为V1与V2的交空间.,11、子空间的和,设V
3、1、V2为线性空间V的子空间,则集合,称之为V1与V2的和空间.,12、子空间的交与和的有关性质,2、设 为线性空间V的子空间,则以下三,1、设 为线性空间V的子空间,1)若 则,2)若 则,条件等价:,3、 为线性空间V中两组,向量,则,4、维数公式 (定理7),设 为线性空间V的两个子空间,则,或,13、直和,定义:设 为线性空间V的两个子空间,若和,是唯一的,和就称为直和,记作,中每个向量的分解式,设为线性空间V的子空间,则下面,四个条件等价:,2)零向量分解式唯一,1)是直和,3),4),判定,线性空间中两种运算的条运算规律缺一不 可,要证明一个集合是线性空间必须逐条验证 若要证明某个
4、集合对于所定义的两种运算不 构成线性空间,只需说明在两个封闭性和条运 算规律中有一条不满足即可,典型例题,解,解,证一,证二,解,解一由过渡矩阵的定义有,整理得,从上面的解法可以看到,由定义出发,利用 解方程组,求出线性表达式中的系数,得到过渡 矩阵,这种方法计算量太大,因此,当线性表达 式不容易得到时,可采用下面的解法,解二引入一组新的基,练习,一、 填空题(每小题4分,共24分),则向量 在这组基下的坐标为,二、 解答题(每小题8分,共16分),五、下列变换是否线性变换?为什么?(每小题5 分,共10分),求 的值域与核的维数和基,求 的特征值与特征向量,一个基,求微分运算 在这个基下的矩阵,对于函数的线性运算构成3维线性空间,在 中取,练习答案,维数为6,