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1、第三章 刚体力学基础,Foundation of Rigid Body Mechanics,本章内容,3.1 刚体运动概述,3.2 刚体定轴转动的运动学规律,3.3 刚体绕定轴转动定律,3.4 刚体绕定轴转动的功能关系,3.5 刚体的角动量定理与角动量守恒定律,3.6 进 动,1.刚体,内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物体，即运动过程中不发生形变的物体。,刚体是实际物体的一种理想的模型,刚体可视为由无限多个彼此间距离保持不变的质元组成的质点系。,3.1 刚体运动概述,2.刚体的运动形式,刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过该点的轴线的转动,2.1 平动：运动过程中刚体内任意一
2、条直线在运动过程中始终保持方向不变。,特点：刚体内所有质元具有相同的位移、速度和加速度。,2.2 转动：刚体上所有质点都绕同一轴线作圆周运动。若转轴固定不变，则称为定轴转动。,特点：刚体内所有点具有相同的角位移、角速度和角加速度。,自由度：确定一个物体空间位置所需要的独立坐标数目。,3. 刚体的自由度,自由度的概念,刚体的自由度,x,y,z,O,3个平动自由度 (x，y，z) 。,确定质心C的位置:,3个方位角 (a，b，g )，其中两个是独立的。,确定刚体绕瞬时轴转过的角度j 。,i = 3+2+1= 6,当刚体受到某些限制自由度减少。,角位置：,3.2.1 定轴转动的角量描述,角位移：,角
3、速度：,角加速度：,3.2 刚体定轴转动的运动学规律,在描述刚体的定轴转动时，采用角量描述最简单。,角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转轴的方向并满足右手螺旋定则。,3.2.2 角量和线量的关系,矢量表示：,3.2.3 刚体定轴转动运动学的两类问题,第一类问题,已知刚体转动运动方程 = (t)，求角速度、角加速度, 微分问题,第二类问题,已知角速度或角加速度及初始条件，求转动运动方程 = (t), 积分问题,对于刚体绕定轴匀变速转动，角加速度 = 常量，有,一飞轮绕定轴转动，其转过的角度与时间的关系为 =10t 2，式中 的单位为rad，t 的单位为s 。,根据定义，飞轮的角速度为,
4、飞轮的角加速度为,距转轴r处质点的切向加速度,法向加速度,例,解,求,(1)飞轮的角速度和角加速度； (2)距转轴r处的质点的切向加速度和法向加速度。,电动机转子作定轴转动，开始时它的角速度0 = 0，经150s其转速达到12000r/min，已知转子的角加速度与时间t的平方成正比。,根据题意，设,（k为比例常量）,由角加速度的定义，有,分离变量并积分，有,在这段时间内，转子转过的圈数。,例,解,求,t 时刻转子的角速度为,当t =150s，转子的角速度为,则有,由此得,由角速度的定义 ，得转子在150s内转过的角度为,因而转子在这一段时间内转过的圈数为,3.3 刚体绕定轴转动定律,若刚体作定
5、轴转动，服从怎样的运动定律？,3.3.1、力对转轴的力矩,方向如图,对mi用牛顿第二定律：,切向分量式为：,Fisini+fisini= miait,外力矩,内力矩,3.3.2、刚体绕定轴转动定律,刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消,外力矩,内力矩,一对内力的力矩之和为零,对所有质元的同样的式子求和：,一对内力的力矩之和为零，所以有,Fi sini+ fi sini = ( mi ri2 ), Fi sini = （mi ri2）,令J mi ri2 J为刚体对于定转轴的转动惯量,则有,用 表示合外力矩,讨论：,2. M 的符号：使刚体向规定的转动正方 向加速的力矩为正。,转动惯性大小的量度
6、。,3、M 和 J 要相对同一转轴。,3.3.3 、转动惯量,定义：,（质量离散分布）,若质量连续分布,质量为线分布,质量为面分布,质量为体分布,为质量的线密度,为质量的体密度,为质量的面密度,刚体的转动惯量与下列因素有关：,（1）与刚体的体密度有关。,（2）与刚体的几何形状(即体密度的分布)有关。,（3）与转轴的位置有关。,单位 ,注意,只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量,例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。,解:,J是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。,例2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆
7、盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。,解：取半径为r宽为dr的薄圆环,可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2。,例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。,解：取如图坐标，dm=dx,例4.匀质实心球对心轴的I,*平行轴定理： 以JC表示相对通过质心的轴的转动惯量，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，,这个结论称为平行轴定理。,则有：JJCmd2。,*叠加原理：对某一转轴的总转动惯量各部分物体对同一轴的转动惯量之和,J=JA+JB+JC,例4、 右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、圆半径为
8、R）,3.3.4 刚体定轴转动定律的应用,已知转动运动方程=( t ) ，求刚体所受合外力矩M； 已知刚体所受合外力矩 M 及初始条件，求刚体的角加速度 、角速度和转动运动方程。,刚体动力学的两类问题,对平动的刚体列出牛顿第二定律方程，对定轴转动的刚体 列出定轴转动定律方程； 注意利用角量与线量的关系。,应用定轴转动定律求解刚体动力学的一般思路,要注意正确选取角速度、角加速度和力矩的正负；,除了受力分析，还要进行力矩分析。在进行受力、力矩分 析时，对刚体要找准力的作用点，以便求力矩；,例5: 已知光滑桌面,滑轮半径R,质量为Mc,两物体质量分别为m1 m2 ,求两物体的加速度和绳的张力.,解:
9、,答案正确?,只有mc=0时，才成立,解 (1) 用隔离法分别对各物体作受力分析，取如图所示坐标系,A,B,C,解得：,如令 ，可得,例6、一个质量为、半径为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体由静止下落高度时的速度和此时滑轮的角速度。,mg,解：,mg,例7、一个飞轮的质量为60kg，半径为0.25m,正在以每分1000转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮子的压力N为多大？=0.4,解：飞轮制动时有角加速度,外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。,例8、一根长为l、质量为m
10、的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。,解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O的力矩。重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样,例9. 一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初速度为o，绕中o心旋转，问经过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为）,o,r,解：,dr,R,3.4 刚体绕定轴转动的功能关系,3.4.1 刚体绕定轴转动的转动动能,对刚体上所有质点的动能求和,在刚体上任取一质点Pi,质点Pi的动能为,（刚体绕定轴转动的转动动能）,讨论,刚体绕定轴转动的动能就是组
11、成刚体所有质点的动能之和；,与质点的动能相比较，可看出转动惯量J的地位对应于质 点的质量m，说明J是刚体绕定轴转动惯性大小的量度。,力矩：,力矩对刚体所作的功：,功率：,力矩对刚体的瞬时功率等于力矩和角速度的乘积。,现在讨论力矩对空间的积累效应,3.4.2 力矩的功,3.4.3、刚体定轴转动的动能定理,刚体定轴转动的动能变化的原因可以用力矩做功的效果来解释。,上式即为：,刚体绕定轴转动的动能定理只适用于刚体的定轴转动。,讨论,刚体中一对内力所作功的代数和为,内力的功不影响刚体的转动动能。,3.4.4、刚体的重力势能,一个质元：,整个刚体：,一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质
12、心时所具有的势能。,3.4.5 含有刚体的力学系统的机械能,（系统的机械能守恒定律）,对含有刚体的力学系统，若在运动过程中，只有保守内力作功，而外力和非保守内力都不作功，或作功的总和始终为零，则该系统的机械能守恒。,当 A外 + A非保内 = 0 时，有,力学系统的机械能应包括,质点的动能、重力势能，弹性势能； 平动刚体的平动动能、重力势能； 定轴转动刚体的转动动能、重力势能，即,例、一个质量为、半径为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体由静止下落高度时的速度和此时滑轮的角速度。,解：据机械能守恒定律：,上次的例题另解
13、如下：,本题可以有几种不同的解法。,如图，一质量为m，长度为l的均质细杆，可绕通过其一端O且与杆垂直的光滑水平轴转动。若将此杆在水平位置时由静止释放。,例,解,求,当杆转到与水平方向成角=/6 时的角速度。,(1)应用刚体绕定轴转动定律求解 。,根据转动定律，有,变量代换,由此得,即当 时,(2) 应用刚体绕定轴转动的动能定理求解,只有重力矩在作功，根据动能定理，有,分离变量后两边积分，有,由此得,(3) 应用系统机械能守恒定律求解,摩擦力不计，只有重力作功，故系统机械能守恒。,取细杆的水平位置为重力势能零点,则有,由此解得,即当 时,3.5 刚体的角动量定理与角动量守恒定律,3.5.1、刚体
14、绕定轴转动的角动量定理,1、刚体绕定轴转动的角动量,质元对点的角动量为,沿转轴Oz的投影为,所以刚体绕此轴的角动量为：,角动量 L=J 与质点动量 p=mv 相对应。,把刚体看作非常多质元构成的质点系。刚体上所有质元对固定轴的角动量的方向相同。,2、刚体的角动量定理,转动定律,现在讨论力矩对时间的积累效应,单位： 牛顿米秒,J改变时,3.5.2、角动量守恒定律,M = 0 的原因，可能F0；r =0;Fr.在定轴转动中还有M0，但它与轴垂直，即Mz=0,对定轴转动没有作用，则刚体对此轴的角动量依然守恒。,当物体所受的合外力矩为零时，物体的角动量保持不变。,应用角动量守恒定律的两种情况：,1、转
15、动惯量保持不变的单个刚体。,2、转动惯量可变的物体。,花样滑冰运动员通过改变身体姿态（转动惯量）来改变转速,角动量守恒不仅适用于宏观物体，也同样适用于天体运动和微观粒子的运动。,滑冰运动员的旋转,猫的下落（A）,猫的下落（B）,角动量守恒使地球自转轴的方向在空间保持不变, 因而产生了季节变化.,角动量守恒的现象:,质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较,质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较（续）,3.5.3 角动量守恒定律在工程技术上的应用,陀螺仪与导航,支架S 外环 陀螺G 内环,陀螺仪：能够绕其对称轴高速 旋转的厚重的对称刚体。,陀螺仪的特点：具有轴对称性和绕对称轴有较大的转动惯量。
16、,陀螺仪的定向特性：由于不受外力矩作用，陀螺角动量的大小和方向都保持不变；无论怎样改变框架的方向，都不能使陀螺仪转轴在空间的取向发生变化。,直升机螺旋桨的设置,尾桨的设置：直升机发动后机身要在旋翼旋转相反方向旋转，产生一个向下的角动量。为了不让机身作这样的反向旋转，在机身尾部安装一个尾桨，尾桨的旋转在水平面内产生了一个推力，以平衡单旋翼所产生的机身扭转作用。,对转螺旋桨的设置：双旋翼直升机则无需尾桨，它在直立轴上安装了一对对转螺旋桨，即在同轴心的内外两轴上安装了一对转向相反的螺旋桨。工作时它们转向相反，保持系统的总角动量仍然为零。,解：由角动量守恒得：,J,例2、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度。已知棒长为l,质量为M.,解:子弹与棒碰撞前后角动量守恒,例3 质量分别为M1、M2,半径分别为R1 、R2的两均匀圆盘,可分别绕通过盘心且与盘面垂直的
