第一章概率论的基本概念华中科技大学备课讲稿

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1、概率论与数理统计是研究什么的？,什么是随机现象？ 什么是统计规律性？,概率论与数理统计主要内容,概率论的基本概念 随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 随机变量的数字特征 大数定律及中心极限定理,参考教材：概率论与数理统计 盛骤谢式千潘承毅主编 高等教育出版社,样本及抽样分布 参数估计 假设检验 方差分析及回归分析,退出,概率论的基本概念,随机试验、样本空间、随机事件 频率与概率 等可能概型（古典概型） 几何概率 概率的一般定义 条件概率 独立性,返回,退出,本章小结 习题,随机试验是具有以下特征的试验：可以在相同条件下重复进行；每次试验的结果不止一个，但结果事先可以预知；每次试验前不能确定

2、哪个结果会出现。,样本空间、样本点,随机试验的所有可能结果的集合称为样本空间。试验的每个可能结果称为样本点。记为Se。,随机试验,试验E的样本空间S的子集称为试验的随机事件，简称事件。在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。,随机事件,基本事件（简单事件）、复合事件,由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。由两个或两个以上样本点组成的集合，称为复合事件。,必然事件、不可能事件,样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。 空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。,例2： 在E中事

3、件A：“第一次出现的是H”，即 AHHH，HHT，HTH，HTT； 事件A：“三次出现同一面”，即 A2HHH，TTT； 在E中事件A3 ：“寿命小于1000小时”，即 A3t0t1000； 在E中事件A3：“最高温度和最低温度相差10摄氏度”，即 A7(x，y) y-x=10,T0 xyT1。 例3： 某袋中装有4只白球和2只黑球，我们考虑依次从中摸出两球所可能出现的事件。若对球进行编号，4只白球分别编为1，2，3，4号，2只黑球编为5，6号。如果用数对(i，j)表示第一次摸得i号球，第二次摸得j号球，则可能出现的结果是,(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6) (2，1)

4、，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6) (3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6) (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6) (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6) (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5) 把这30个结果作为样本点，则构成了样本空间。在这个问题中，这些样本点是我们感兴趣的事件；但是我们也可以研究下面另外一些事件： A：第一次摸出黑球； B：第二次摸出黑球； C：第一次及第二次都摸出黑球 后面这些事件与前面那些事件的不同处在于这些事件是可以分解的，例如为了A出现必须而且只须下列样本点之一出现： (

5、5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6) (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5),事件间的关系,包含：，称事件B包含事件A，即事件A发生必然导致事件B发生。 相等：，称事件A与事件B相等。 和： ，表示A、B二事件中至少有一个发生；表示n个事件A1 ，A2 ， ， An中至少有一个发生。 差：AB，表示事件A发生，而事件B不发生。 积：，也记作AB，表示A、B二事件都发生； 表示n个事件A1 ，A2 ， ， An都发生。 互不相容(或互斥)：指AB ，即事件A与事件B不能同时发生；若n个事件A1 ，A2 ， ， An的任意两个事件不能同时发生，则称A1 ，A

6、2 ， ， An互不相容。 互为对立(互逆)：若S，且AB，则A与B二事件互逆。有 。,图示事件间的关系（Venn文图）,事件的运算,在进行运算时，经常要用到下述定律。设A，B，C为事件，则有 交换律 结合律 分配律 德摩根律 对于n个事件，甚至对于可列个事件，德摩根律也成立。,例4： 在例中有 HHH，HHT，HTH，HTT，TTT HHH TTT THH，THT，TTH,例5： A发生而B与C都不发生可以表示为： A与B都发生而C不发生可以表示为： 所有这三个事件都发生可以表示为： 这三个事件恰好发生一个可以表示为： 这三个事件恰好发生两个可以表示为： 这三个事件至少发生一个可以表示为：,

7、练习一化简下列格式：,练习二证明下列等式：,练习三从下面两式分析各表示什么包含关系。,返回,在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数。比值nA n称为事件A发生的频率，并记成n(A)。,概率,对于一个随机事件A (除必然事件和不可能事件外)来说，它在一次试验中可能发生，也可能不发生。我们希望知道的是事件在一次试验中发生的可能性。 用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A的概率。 我们希望找到一个数来表示P(A)。,频率,例考虑“抛硬币”这个试验，我们将一枚硬币抛掷5次、50次、500次，各做10遍。得到数据如下

8、表所示(其中nH表示H发生的频数，n(H)表示H发生的频率)。,频率稳定性,大量实验证实，当重复试验的次数逐渐增大时，频率呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数。,当n足够大时， n(A )P(A),由于事件发生的频率表示A发生的频繁程度。频率大，事件A发生就频繁，这意味着A在一次试验中发生的可能性就大。 当n增大时，频率在概率附近摆动。因此，每一个从独立重复试验中测得的频率，都可以作为概率P(A)的近似值。,频率的基本性质,由定义，易见频率具有下述基本性质： 0 n(A)1; n(s)1; 若A1 ，A2 ， ， Ak是两两互不相容的事件，则 n( A1A2Ak )=n ( A1)+n (A2)+

9、n (Ak).,返回,有限样本空间,我们先考虑只有有限个样本点的样本空间，这种样本空间称为有限样本空间。这是最简单的样本空间，研究它有助于深入研究更为复杂的样本空间。,有限样本空间基本事件概率的定义,若S是有限样本空间，其样本点为e1，e2，,en，在这种场合可以把的任何子集都当作事件。在这种样本空间中引进概率，只要对每个样本点给定一个数与它对应，此数称为事件ei的概率，并记之为P(ei)，它是非负的，而且满足 P(e1)+P(e2)+P(en)=P(S)=1 这样，我们对样本点定义了概率，用它来度量每个样本点出现的可能性的大小。由此出发，我们不难定义更为一般的事件的概率。,有限样本空间事件概

10、率的定义,定义 任何事件A的概率P(A)是A中各样本点的概率之和 按照这个定义，显然有P(S)=1，0P(A)1。,离散样本空间,把上面做法推广到有可列个样本点的样本空间是不难的，这种空间称为离散样本空间，但是当把上面做法推广到不可列个样本点的场合，则会遇到实质性的困难，对于这种一般场合的讨论，以后将逐渐展开。,等可能概率模型（古典概型）,等可能概率模型是有限样本空间的一种特例。这种随机现象具有下列两个特征： (1)在观察或试验中它的全部可能结果只有有限个，譬如为 n个，记为e1，e2，,en，而且这些事件是两两互不相容的； (2)事件ei（i=1,2, n)的发生或出现是等可能的，即它们发生

11、的概率都一样。 这类随机现象在概率论发展初期即被注意，许多最初的概率论结果也是对它作出的，一般把这类随机现象的数学模型称为古典概型。古典概型在概率论中占有相当重要的地位，它具有简单、直观的特点，且应用广泛。,如何理解古典概型中的等可能假设？,等可能性是古典概型的两大假设之一，有了这两个假设，给直接计算概率带来了很大的方便。但在事实上，所讨论问题是否符合等可能假设，一般不是通过实际验证，而往往是根据人们长期形成的“对称性经验”作出的。例如，骰子是正六面形，当质量均匀分布时，投掷一次，每面朝上的可能性都相等；装在袋中的小球，颜色可以不同，只要大小和形状相同，摸出其中任一个的可能性都相等。因此，等可

12、能假设不是人为的，而是人们根据对事物的认识一对称性特征而确认的。,等可能概率模型中事件概率的计算公式,设试验的样本空间为S=e1，e2，,en。由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同，即有 P(e1)P(e2)P(en) 又由于基本事件是两两不相容的，于是 1=P(S)=P(e1 e2 en) = P(e1)+P(e2)+P(en)=nP(ei) P(ei)=1/n ，i=1，2，n 法国数学家拉普拉斯(Laplace)在1812年把上式作为概率的一般定义。事实上它只适用于古典概型场合。,有关排列组合的知识,求解古典概型问题的关键是弄清基本事件空间的样本点总数和所求概率事件包含的样本点个数。

13、在理清事件数的时候，必须分清研究的问题是组合问题还是排列问题，以下是关于排列组合的知识： 1不同元素的选排列 从个不相同的元素中，无放回地取出个元素的排列( )，称为从n个不同元素中取个元素的选排列，共有 当mn时，称n个元素的全排列。共有！种。 2不同元素的重复排列 在n个不同元素中，有放回地取个元素进行的排列，共有种。,有关排列组合的知识,3不全相异元素的排列 在个元素中，有类不同元素，每类有k1，k2，,km个，将这n个元素作全排列，共有 n!(k1! k2! km!)种。 4组合 从n个不同元素中取m个而不考虑其次序的排列，共有,有关排列组合的知识,5环排列 从n个不同元素中，选出m个

14、不同的元素排成一个圆圈的排列，共有 n(n-1)(n-m+1)m= (m-1)!种。 6乘法原理 设完成一件事有n个步骤，第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，第n步有mn种方法，则完成这件事有m1 m2 mn种方法。 7加法原理 设完成一件事有k类方法，每类分别有m1,mk种方法，而完成这件事只需一种方法，则完成这件事可以有m1+m2+mk种方法,例6：将一枚硬币抛掷三次。设事件A1为“恰有一次出现正面”，求P(A1)；设事件A2为“至少有一次出现正面”，求P(A2)。,解：我们考虑例1中E的样本空间： S2：HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT 而 A1：HTT

15、，THT，TTH S2中包含有限个元素，且每个基本事件发生的可能性相同。故由古典概型计算公式，得 P(A1)=3/8 由于 =TTT，于是,例7：一口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球。从袋中取球两次，每次随机地取一只。考虑两种取球方式：(a)第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球。这种取球方式叫做放回抽样。(b)第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球。这种取球方式叫做不放回抽样。试分别就上面两种情况求(1)取到的两只球都是白球的概率；(2)取到的两只球颜色相同的概率；(3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率。 解以A、B、C分别表示事件“取到的两只球都是白球”，

16、“取到的两只球都是红球”，“取到的两只球中至少有一只是白球”。易知“取到两只颜色相同的球”这一事件即为AUB，而C 。,(a)放回抽样的情况。,(b)不放回抽样的情况。,例8：将n只球随机地放入N(Nn)个盒子中去，试求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限)。 解 这是古典概率问题。因每一只球都可以放人N个盒子中的任一个盒子，故共有种不同的放法，而每个盒子中至多放一只球共有N(N一1)N-(n一1)种不同放法。因而所求的概率为,例9： 如果某批产品中有a件次品b件好品，我们采用有放回及不放回抽样方式从中抽n件产品，问正好有k件是次品的概率各是多少?,解 有放回抽样场合 把a+b个产品进行编号，有放回抽n次，把可能的重复排列全体作为样本点，总数为， 其中有利场合(即次品正好出现k次)的数目是 ， 故所求概率为 是二项式 展开式的一般项，上述概率称为二项分布。,不放回抽样场合 从a+b个产品中取出n个产