《第三章数学教育的基本理论学习资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三章数学教育的基本理论学习资料（62页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 数学教育的基本理论,德Felix Klein(1849-1925) 克莱因之路(P3) 荷 H.Freudenthal(1905-1990) 费赖登塔尔(P43) 美 G.Polya(1887-1985) 波利亚解题理论(P46) 瑞 Jean Piaget(1896-1980) 皮亚杰智力发展理论 美 D.P.Ausubel 奥苏伯尔有意义言语学习理论 中国”双基”数学教学理论(2006) 差异数学教学理论(2007) 祝”嫦娥一号”探月卫星发射成功! 公元2007年10月24日18:05,F克莱因（F. Klein, 1849-1925） 弗赖登塔尔（H. Freudenthal,
2、 1905-1990） 波利亚（G. Plya, 1887-1985）,克莱因(Klein)的数学教育观点,克莱因，数学家、数学教育家.一代几何学权威，1872年发表著名的几何学“爱尔兰根纲领”，用运动群下的不变量对几何学进行分类，成为划时代的数学里程碑. 他后来是世界数学中心哥廷根大学的数学领导人.并在那培养了第一个数学教育博士Rudolf Chimmack. 1908年，在第四届国际数学家大会(ICM)上成立了国际数学联盟(TMU)的一个新的下属组织国际数学教育委员会(ICMI)，克莱因当选为该委员会第一任主席.,Klein的数学教育观,（1）数学教师应具备较高的数学观点，只有观点高了，事
3、物才能显得简单明了； （2）教育应该是发生性的(数学教学是生成的)； （3）应该用综合起来的一般概念和方法来解决问题，而不是去钻研那种特殊的解法(通法通识)； （4）应该把算术、代数和几何学方面的内容，用几何的形式以函数为中心观念综合起来(统一观点下的、整体的数学).,Freudenthal数学教育理论,代表作作为教育任务的数学 数学教育的基本特征（现实,数学化,再创造）: 情景问题是教学的平台. 数学化是数学教育的目标. 学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分. “互动”是主要的学习方式. 学科交织是数学教育内容的呈现方式.,何谓数学教育中的现实,数学教育中的现实数学来源于现实，
4、存在于现实，应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”. 数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实. 如：例题生活化，问题情境化.,运用“现实的数学”进行教学,第一，数学的概念、运算、法则和命题，都是来自于现实世界的实际需要而形成的，是现实世界的抽象反映和人类经验的总结. 第二，数学研究的对象，是现实世界同一类事物或现象抽象而成的量化模式. 第三，数学教育应为不同的人提供不同层次的数学知识.,什么是数学化,人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程即数学地组织现实世界的过程就是数学化.
5、数学教学即是数学化的教学. 抽象化、公理化、模型化、形式化等等，都可看成是数学化. 现实数学教育所说的数学化的形式有两种：实际问题转化为数学问题的数学化；从符号到概念的数学化.,数学化的基本流程（1）,实际问题转化为数学问题的数学化的流程： 1.确定一个具体问题中包含的数学成分； 2.建立这些成分与学生已知数学模型之间的联系; 3.通过不同方法使之形象化、符号化和公式化； 4.找出蕴涵其中的关系和规则； 5.考虑相同数学成分在其他数学知识领域的体现; 6.作出形式化的表述.,数学化的基本流程（2）,从符号到概念的数学化的基本流程： 1.用数学公式表示关系； 2.对有关规则作出证明； 3.尝试建
6、立和使用不同的数学模型； 4.对得出的数学模型进行调整和加工； 5.综合不同数学模型的共性，形成新模式； 6.用已知数学语言尽量准确的描述得到的新概念和新方法.,数学学习的“再创造”,学生“再创造”学习数学的过程实际上就是一个“做数学”(doing mathematics)的过程。其核心是数学过程再现。 数学学习是一个经验、理解和反思的过程，强调以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要性，强调激发学生学生主动学习，做数学是学生理解数学的重要途径,3.2 波利亚的解题理论,George Polya(1887-1985)乔治.波利亚 美籍匈牙利人，布达佩斯大学毕业(法律-语言-数学)，20世纪重
7、要的数学家，更是一位伟大的数学教育家. 美国国家科学院士、巴黎科学院院士、匈牙利科学院院士，1980年被选为国家数学教育大会荣誉主席. 喜欢哲学，老师告诉他“学习数学与物理可以帮助人理解哲学”，他徘徊后选择数学，理由是“学物理我不够好.学哲学我又太强，数学在这两者之间.”,波利亚的数学教育观,数学研究,编写教材,教师培训. 波利亚认为,中学数学教育的根本目的是“教会学生思考”有目的的思考、产生式的思考，也包括形式的和非形式的思维. 学东西最好的途径是自己探索、亲自去发现它 学习过程：探索，阐明，吸收. 好的数学教师，必须具备数学和教学法两方面的知识.,给数学教师的“十条建议”：,（1）对自己的
8、科目要有兴趣 （2）熟知自己的科目 （3）懂得学习的途径（亲自独立发现） （4）努力观察学生，察觉期望和困难 （5）传授知识，更要传授技能，思维方式 （6）让学生学会猜想问题 （7）让学生学会证明问题 （8）从手头上的题目出发，寻找一般模式 （9）不要把你的全部秘诀一下子倒给学生 （10）启发问题，而不要填鸭式地塞给学生,波利亚Polya的解题理论,著作怎样解题(1945)数学的发现(1954)数学与猜想(1962)数学分析中的定理和问题（与G.舍贵,1925年Springer-Verlag出版） “每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该读读这本引人入胜的书”范.德.瓦尔登.,解题(Pro
9、blem Solving)是数学的特点,波利亚对解题理论进行了系统、深入的研究，怎样解题(How to Solve It),1945年由美国斯普林格大学出版，至少翻译成17种以上文字. 问题是数学的心脏，数学教学的本质在于解题.波利亚热衷于数学与数学教育研究，特别是中学教师的培训. 他指出应当给学生“以适合他们程度的问题去引起他们的好奇心，并且用一些吸引人的问题来帮助他们解题”，这样做“会引起学生们对对立思考的兴趣并教给他们一些方法”.,解题(Problem Solving)是数学的特点,学习数学就是学习解题. 解题是数学的一大特点.其他学科，例如语文，也需要习作，需要命题作文，但其数量与种类
10、均不能与数学的习题相提并论。至于理化等科，它们的特点是动手实验或实习. 我国南宋数学家杨辉曾指出： “夫学算者，题从法取，法将题验，凡欲明一法，必设一题.”,解题(Problem Solving)是数学的特点,学数学的目的，不是别的，就是为了学会解题. 数学书中有不少公式、法则、定义、定理，这些都不需要死记硬背，而是要通过解题逐步地理解、掌握.所以上谕学习数学的学生，都把重要精力花在解题上. “数学尖子”就是解题能力强的同学. 任何一本现代的数学课本，都配备了相当数量的习题，用以领悟巩固所学的内容、方法. 但做习题并不只是在学完一个方法或一些知识之后，知识、方法应当尽可能地通过问题的形式引入.
11、,“怎样解题表”（P48）,第一，弄清问题 第二，拟定计划 第三，实施计划 第四，回顾总结 为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个感令人困惑的问题，波利亚研究了解题的思维过程，并把他解题风格的心路历程，概括为“怎样解题表”,“怎样解题表”例1（P5055）,例 给定正四棱台的高h，上底的一条边长a和下底的一条边长b，求正四棱台的体积F. （学生已学过棱柱、棱锥的体积） 讲解： 第一，弄清问题（问题1，2） 第二，拟定计划（问题3，4，5） 第三，实施计划（作辅助线） 第四，回顾总结（正面检核每一步，推理有效、演算准确；回顾过程，总结模式；分析方法，思维策略；心理机制；组合与分解；反思与信念
12、）,12条解题要诀（单墫）,1.要享受到解题的乐趣（浓厚兴趣，有几分痴迷更好）. 2.要有充足的信心. 3.要有百折不回的决心与坚忍不拔的毅力. 4.要做100道有质量的题目. 5.反复探索，大胆地跟着感觉走. 6.从简单做起. 7. 从不同的角度看问题. 8.学思结合，发挥创造性，努力产生“好想法”. 9.创设条件，不断变更题目. 10.因如适当字母（符号），向基本量靠拢. 11.力求简单自然，直指核心. 12注意总结. （每一个解题人，都有自己的经验，根据自己的经验总结出若干条有用的要诀.）,3.3 建构主义的数学教育理论,什么是数学知识. （1）数学知识不是对现实的纯粹客观的反映，任何一
13、种传载知识的符号系统也不是绝对真实的表征；（不过是人们对客观世界的一种结实、假设或假说） （2）数学知识不可能以实体的形式存在于个体之外，真正的理解只能是由学习者自身基于自己的经验背景而建构.,什么是数学理解,真正的理解只能是由学习者自身基于自己的经验背景而建构起来. 理解，取决于个人特定情况下的学习活动过程，否则就是死记硬背或生吞活剥，是被动的复制式的学习. 学生的理解只能由学生自己去进行，而且要通过对新知识进行分析、检验和批判才能真正做到理解. 建构主义的有些观点，也要辨证分析.,建构主义观下的数学学习特征,数学学习的方式:复制式和建构式. 学习不是由教师把知识简单地传递给学生，而是由学生
14、自己建构知识的过程，别人无法替代. 学习不是被动接受信息刺激，而是主动地建构意义，是根据自己的经验背景，对外部信息进行主动地选择、加工和处理，获得自己的意义. 学习意义的获得，是每个学习者以自己原有的知识经验为基础，对新知信息重新认识和编码，建构自己的理解. 理解情境问题反思建构.,数学建构观的基本原则,1.主体原则：学生是数学学习的主体. 2.适应原则：教师应该从学生的现实出发. 3.建构原则：学生从原有的经验世界中建构. 4.主导原则：教师是数学建构活动的设计者、参与者、指导者和评估者. 5.问题解决原则：问题解决是数学教学的核心.,数学教学中一条必须遵守的重要原则：主动学习的原则. 它的
15、中心思想是：学习任何东西的最佳途径就是靠自己去发现. （所谓师傅引进门修行靠个人）.,建构主义教学观的主要论点,教师不应该被看成是“知识的授予者”，而应该是学生学习活动的促进者. 对传统教学法设计理论的严重挑战(彻底否定). 数学教师对“什么是数学”和“应该怎样去从事数学研究”的观念对教学观有直接和重要的影响. 不唯一着眼于结论，而更加注重过程的分析. 变“问题解决”为“数学地思考”，并以此为中心.,建构主义教学原理应用举例,传统数学概念教学的步骤：概念的明确（定义，名称，符号）；分类；巩固；应用与联系 数学概念具有过程-对象的双重性，既是逻辑分析的对象，又是具有现实背景和丰富寓意的数学过程。
16、因此，必须返朴归真，揭示概念的形成过程，从现实原形、抽象过程、思想指导、形式表达等多方位理解一个数学概念，使之符合学生主动建构的教育原理。,杜宾斯基:APOS理论（以函数为例）,Action阶段：通过操作活动，理解函数的意义. Process阶段：把上述操作活动综合为一个函数过程. 如 x x2，x f(x). Object阶段：把函数过程当组一个独立的对象来处理，可进行函数的加减乘除、复合运算. Scheme阶段：函数概念以一种综合的心理图式存于大脑，形成知识的体系（完整）.,APOS理论（以代数式为例）,代数式的本质在于“不定元”和数字可以像数一样进行运算. A：通过运算活动理解具体的代数式. P：体验代数式的过程. O：对代数式的形式化表达. S：建立综合的心理图式. 建立代数式的心理表征：具体实例，运算过程，字母表示数的思想，代数式定义，能运用.,瑞士心理学家哲学家J.Piaget,关于智力发展的四个阶段： 1、感觉运动阶段（02岁） 2、前运算阶段（27岁） 3、具体运算阶段（712岁
