第2章自动控制系统的数学模型教学讲义

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1、第2章 自动控制系统的数学模型,2.1 系统的微分方程 2.2 拉普拉斯变换 2.3 传递函数 2.4 系统方框图 2.5 典型环节的传递函数和方框图 2.6 环节的基本连接方式及其总传递函数 2.7 方框图的等效变换及化简 习题,2.1 系统的微分方程,描述系统的输入量和输出量之间的关系的最直接的数学方法是列写系统的微分方程（Differential Equation of Systems）。 当系统的输入量和输出量都是时间t的函数时， 其微分方程可以确切地描述系统的运动过程。 微分方程是系统最基本的数学模型。,1. 建立系统微分方程的一般步骤 建立系统微分方程的一般步骤如下： （1） 全面

2、了解系统的工作原理、 结构组成和支持系统运动的物理规律， 确定系统的输入量和输出量。 （2） 一般从系统的输入端开始， 根据各元件或环节所遵循的物理规律， 依次列写它们的微分方程。,（3） 将各元件或环节的微分方程联系起来消去中间变量， 求取一个仅含有系统的输入量和输出量的微分方程， 它就是系统的微分方程。 （4） 将该方程整理成标准形式。 即把与输入量有关的各项放在方程的右边， 把与输出量有关的各项放在方程的左边， 各导数项按降幂排列， 并将方程的系数化为具有一定物理意义的表示形式， 如时间常数等。,图 2 - 1 有源电路网络,【例2】 图 2 - 2所示为一有源RC网络， 设电路输入电压

3、为ur(t)， 输出电压为uc(t)。 图中A为理想运算放大器， 试列写其微分方程。,图 2 - 2 有源RC网络,【例3】 如图 2 - 3所示的RLC串联电路， 设输入量为ur(t)， 输出量为uc(t)， 试列写出该网络的微分方程。,图 2 - 3 RLC串联电路,【例4】 如图 2 - 4所示为一化工生产中常见的双容液位对象。 设输入量F1为流入液体流量， 输出量L2为储罐2的液位高度。 试建立L2与F之间的动态方程。,图 2 - 4 两个串联液体储罐,【例5】 如图 2 - 5所示为电枢电压控制的他励直流电动机的示意图。 直流电动机是调速系统的被控对象。 现以电枢电压ua为输入量，电

4、动机转速n为输出量， 试建立其微分方程。,图 2 - 5 他励直流电动机示意图,【例6】 如图 2 - 6所示为一个弹簧、 质量和阻尼器组成的机械系统， 若外力F(t)作用于质量为m的物体， 其输出量y(t)为位移， 试列写该系统F(t)与y(t)之间的微分方程。,图 2 - 6 弹簧-质量-阻尼系统,解 根据牛顿第二定律， 可得,(2 - 19),式中， FB(t)为阻尼器的粘性阻力， Fk(t)为弹簧的弹性力。 又有,(2 - 20),(2 - 21),将式(2 - 20)、 式(2 - 21)代入式（ 2 - 19）， 可得微分方程为,移项整理得,(2 - 22),式（ 2 - 22）描

5、述的弹簧-质量-阻尼系统为二阶常系数线性微分方程， 此系统也是一个二阶系统（环节）。 对于由多个环节组成的各类控制系统的微分方程， 其建立过程可由原理图画出系统方框图， 并分别列写出各环节的微分方程， 再消去中间变量， 即可得到描述该系统的输入量与输出量之间关系的微分方程。,2.2 拉普拉斯变换,1. 拉氏变换的概念 若将时间域函数f(t)， 乘以指数函数e-st（其中s=+j， 是一个复数）， 再在0(本书如无特指， 均指+)之间对t进行积分， 就得到一个新的复频域函数F(s)。 F(s)称为f(t)的拉氏变换式， 并可用符号 L f(t)表示。,(2 - 23),式(2 -23)称为拉氏变

6、换的定义式。 为了保证式中等号右边的积分存在（收敛）， f(t)应满足下列条件： (1) 当t0时， f(t)分段连续； (3) 当t时， f(t)上升较est慢。,【例1】 求单位阶跃函数（Unit Step Function）1(t)的象函数。 解 在自动控制系统中， 单位阶跃函数是一个突加作用信号， 相当于一个开关的闭合（或断开）， 单位阶跃函数的定义式为,图 2 - 7 单位阶跃函数,由拉氏变换的定义得1(t)的象函数为,(2 - 24),单位阶跃函数如图 2 - 7所示。,【例2】 求斜坡函数（Ramp Function）的象函数。 斜坡函数的定义式为,式中， K为常数。,解 在自动

7、控制系统中， 斜坡函数是一个对时间作均匀变化的信号。 在研究跟随系统时， 常以斜坡信号作为典型的输入信号。 同理， 根据拉氏变换的定义式有,(2 - 25),这里应用了积分学中的分部积分法， 即 。 若式（ 2 - 25）中K=1， 则单位斜坡函数的象函数为,【例3】 求指数函数（Exponential Function）e-t的象函数。 解 由式(2 - 23)， 有,(2 - 26),表 2 - 1 常用函数的拉氏变换对照表,2. 拉氏变换的运算定理 在应用拉氏变换时， 常需要借助于拉氏变换运算定理， 这些运算定理都可以通过拉氏变换定义式加以证明。 下面介绍几个常用定理。 1) 叠加定理

8、两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和。 即,(2 - 28),证,2) 比例定理 K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K倍。 即 L Kf(t)=K L f(t) (2 - 29) 证,3) 微分定理 L f(t)=sF(s)-f(0) (2 - 30) 及在零初始条件下， L f (n)(t)=snF(s) (2 - 31),证,当初始条件f(0)=0时， 有 L f(t)=sF(s) 同理， 可求得 L f(t)=s2F(s)-sf(0)-f(0) L f (n)(t)=snF(s)-sn-1f(0)-f (n-1)(0),若具有零初始条件， 即 f(0)=f(0)=f

9、(n-1)(0)=0 则 Lf(t)=s2F(s) Lf(n)(t)=snF(s),4) 积分定理,及在零初始条件下,(2 - 32),(2 - 33),5) 位移定理 Le-tf(t)=F(s+) (2 - 34) 证,6) 初值定理,(2 - 35),证 由微分定理有,当s时， e-st0， 对上式左边取极限有 , 代入上式有,即,7) 终值定理,(2 - 36),证 由微分定理有,对上式两边取极限,(2 - 37),由于当s0时， e-st1， 所以式(2 - 37)左边可写成,将上式代入式(2 - 37)， 两边消去f(0)， 得,表 2 - 2 拉氏变换的主要运算定理,3. 拉氏反变

10、换 由象函数F(s)求取原函数f(t)的运算称为拉氏反变换（Inverse Laplace Transform）。 拉氏反变换常用下式表示: f(t)= L-1F(s) 拉氏变换和拉氏反变换是一一对应的， 所以， 通常可以通过查表来求取原函数。 在自动控制理论中常遇到的象函数是s的有理分式， 即,这种形式的原函数一般不能直接在拉氏变换对照表中查得。 因此， 要用部分分式展开法先将B(s)/A(s)化为一些简单分式之和， 而这些简单分式的原函数可以通过查表得到, 则所求原函数就等于各分式原函数之和。,2.3 传 递 函 数,1. 传递函数的定义 传递函数是在用拉氏变换求解微分方程的过程中引申出来

11、的概念。 微分方程这一数学模型不仅计算麻烦， 并且它所表示的输入、 输出关系复杂而不明显。 但是， 经过拉氏变换的微分方程却是一个代数方程， 可以进行代数运算， 从而可以用简单的比值关系描述系统的输入、输出关系。据此， 建立了传递函数这一数学模型。,传递函数的定义为： 在初始条件为零时， 输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。 即,传递函数G(s)=,输出量的拉氏变换,输入量的拉氏变换,(2 - 41),2. 传递函数的一般表达式 如果系统的输入量为r(t)， 输出量为c(t)， 并由下列微分方程描述:,在初始条件为零时， 对方程两边进行拉氏变换, 有 ansnC(s)+an-1sn-1

12、C(s)+a1sC(s)+a0C(s) =bmsmR(s)+bm-1sm-1R(s)+b1sR(s)+b0R(s) 即 (ansn+an-1sn-1+a1s+a0)C(s) =(bmsm+bm-1sm-1+b1s+b0)R(s),根据传递函数的定义有,(2 - 42),3. 传递函数的性质 传递函数有以下性质： (1) 传递函数是由微分方程变换得来的， 它和微分方程之间存在着一一对应关系。 对于一个确定的系统（输出量与输入量都已确定）， 它的微分方程是唯一的， 所以， 其传递函数也是唯一的。,(2) 传递函数是复变量s(s=+j)的有理分式， s是复数， 而分式中的各项系数an,an-1,a1

13、,a0, 以及bm,bm-1,b1,b0都是实数， 它们是由组成系统的元件的参数构成的。,(3) 传递函数是一种运算函数。 由G(s)=C(s)/R(s)可得C(s)=G(s)R(s)， 此式表明， 若已知一个系统的传递函数G(s)， 则对任何一个输入量r(t)， 只要以R(s)乘以G(s)， 即可得到输出量的象函数C(s)， 再经拉氏反变换， 就可求得输出量c(t)。,(4) 传递函数的分母是它所对应系统微分方程的特征方程的多项式， 即传递函数的分母是特征方程（Characteristic Equation） ansn+an-1sn-1+a1s+a0=0 等号左边的部分。 而以后的分析表明：

14、 特征方程的根反映了系统动态过程的性质， 所以由传递函数可以研究系统的动态特性。 特征方程的阶次n即为系统的阶次。,2.4 系 统 方 框 图,方框图（Block Diagram）又称结构图， 它是传递函数的一种图形描述方式， 它可以形象地描述自动控制系统中各单元之间和各作用量之间的相互联系， 具有简明直观、 运算方便的优点， 所以方框图在分析自动控制系统中获得了广泛的应用。 方框图由信号线、 引出点、 比较点和功能框等部分组成， 它们的图形如图 2 -8所示。,图 2 - 8 方框图的图形符号 (a） 功能框; (b） 引出点及信号线; (c） 比较点,1. 功能框（Block Diagra

15、m） 如图 2 - 8(a)所示， 框左边向内箭头为输入量（拉氏式）， 框右边向外箭头为输出量（拉氏式）， 框内为系统中一个相对独立的单元的传递函数G(s)。 它们间的关系为C(s)=G(s)R(s)。,2. 信号线（Signal Line） 信号线表示信号流通的路径和方向， 流通方向用箭头表示。 在系统的前向通路中， 箭头指向右方， 信号由左向右流通。 因此输入信号在最左端， 输出信号在最右端。 而在反馈回路中则相反， 箭头由右指向左方， 参见图 2 - 9。,图 2 - 9 典型自动控制系统方框图,3. 引出点(Pickoff Point) 如图 2 - 8(b)所示， 引出点(又称分点)

16、表示信号由该点取出。 从同一信号线上取出的信号， 其大小和性质完全相同。 4. 比较点（Comparing Point） 比较点如图 2 - 8(c)所示。 比较点又称和点（Summing Point）， 其输出量为各输入量的代数和。 因此在信号输入处要注明它们的极性。,图 2 - 9为一典型自动控制系统的方框图。 它通常包括前向通路和反馈回路（主反馈回路和局部反馈回路）、 引出点和比较点、 输入量R(s)、 输出量C(s)、 反馈量B(s)和偏差量E(s)。 图中, 各种变量均标以大写英文字母的拉氏式（如X(s)）， 功能框中均为传递函数。,2.5 典型环节的传递函数和方框图,1. 比例环节(Proportiona