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1、导数的应用,导数的应用举例 1,解: (1)由已知 f(x)=3x2-x-2,(2)命题等价于 f(x) 在 -1, 2 上的最大值小于 m.,f(2)=7,f(x) 在 -1, 2 上的最大值为 7.,7m.,故实数 m 的取值范围是 (7, +).,导数的应用举例 2,解: (1)函数 f(x) 的定义域为 (-1, +).,当 a0, f(x) 在 (-1, +) 上为增函数;,当 a0 时, 令 f(x)0 得 -1x4a2-1;,令 f(x)0 得 x4a2-1.,当 a0 时, f(x) 在 (-1, 4a2-1) 上为减函数,在 (4a2-1, +) 上为增函数.,综上所述, 当
2、 a0 时, f(x) 的单调递增区间为 (-1, +);,当 a0 时, f(x) 的单调递减区间为 (-1, 4a2-1),单调递增区间为 (4a2-1, +).,导数的应用举例 2,由(1)知 g(x) 在 (-1, 3) 上为减函数,=2-ln40.,g(x)g(3)0.,在 (3, +) 上为增函数,导数的应用举例 3,解: (2)0a1, 2aa+1.,f(x)max=f(a+1)=2a-1,f(x)=-x2+4ax-3a2 在 a+1, a+2 上为减函数.,f(x)min=f(a+2)=4a-4.,当 xa+1, a+2 时, 恒有 |f(x)|a, 即,-af(x)a 恒成立
3、.,4a-4-a 且 2a-1a.,又 0a1,故 a 的取值范围是,已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 在 x=0 处取得极值, 曲线 y=f(x) 过原点和点 P(-1, 2). 若曲线 f(x) 在点 P 处的切线与直线 y=2x的夹角为45, 且倾角为钝角. (1)求 f(x) 的解析式; (2)若 f(x) 在区间 2m-1, m+1 递增, 求 m 的取值范围.,导数的应用举例 4,解: (1)曲线 y=f(x)=ax3+bx2+cx+d 过原点, f(0)=0d=0.,f(x)=ax3+bx2+cx,f(x)=3ax2+2bx+c.,函数 f(x)=ax3+bx2+cx
4、 在 x=0 处取得极值,f(0)=0c=0.,过点 P(-1, 2) 的切线斜率为 f(-1)=3a-2b, 而曲线 f(x)在 点 P 的切线与直线 y=2x 的夹角为45, 且倾角为钝角,解得 f(-1)=-3.,又 f(-1)=2,3a-2b=-3 且 -a+b=2.,解得 a=1, b=3.,f(x)=x3+3x2.,已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 在 x=0 处取得极值, 曲线 y=f(x) 过原点和点 P(-1, 2). 若曲线 f(x) 在点 P 处的切线与直线 y=2x的夹角为45, 且倾角为钝角. (1)求 f(x) 的解析式; (2)若 f(x) 在区间 2
5、m-1, m+1 递增, 求 m 的取值范围.,导数的应用举例 4,解: (2)由(1)知 f(x)=3x2+6x.,又由 f(x)0 x0,f(x) 的单调递增区间为 (-, -2 和 0, +).,函数 f(x) 在区间 2m-1, m+1 递增,2m-12m-10.,2m-1, m+1 (-, -2 或 2m-1, m+1 0, +).,导数的应用举例 5,解: (1)由已知 f(x)=3x2-2ax-3.,f(x) 在区间 1, +) 上是增函数,在 1, +) 上恒有 f(x)0,即 3x2-2ax-30 在 1, +) 上恒成立.,解得 a0.,故实数 a 的取值范围是 (-, 0
6、.,由于 f(0)=-30,f(x)=3x2-8x-3.,在 1, 4 上, 当 x 变化时, f(x), f(x) 的变化情况如下表:,f(x) 在 1, 4 上的最大值是 f(1)=-6.,(3)函数 g(x) 与 f(x) 的图象恰有三个交点,即方程 x3-4x2-3x=bx 恰有三个不等实根.,解得 a=4.,x=0 是方程一个的根,方程 x2-4x-3=b 即 x2-4x-(3+b)=0 有两个非零不等实根.,=16+4(3+b)0 且 3+b0.,解得 b-7 且 b-3.,故实数 b 的取值范围是 (-7, -3)(-3, +).,已知函数 f(x)=x2eax, 其中 a0,
7、e 为自然对数的底数. (1)讨论函数 f(x) 的单调性; (2)求函数 f(x) 在区间 0, 1 上的最大值.,导数的应用举例 6,解: (1)f(x)=x2eax,f(x)=2xeax+x2eaxa,=(ax2+2x)eax.,a0, 对函数 f(x) 的单调性可讨论如下:,当 a=0 时, 由 f(x)0 得 x0.,f(x) 在 (-, 0) 上单调递减, 在 (0, +) 上单调递增;,已知函数 f(x)=x2eax, 其中 a0, e 为自然对数的底数. (1)讨论函数 f(x) 的单调性; (2)求函数 f(x) 在区间 0, 1 上的最大值.,导数的应用举例 6,解: (2
8、)由(1)知当 a=0 时, f(x) 在区间 0, 1 上为增函数;,当 a=0 时, f(x) 在区间 0, 1 上的最大值为 f(1)=1;,当 -2a0 时, f(x) 在区间 0, 1 上为增函数;,当 a-2 时, f(x) 在区间 0, 1 上的最大值为:,当 a-2 时, f(x) 在区间 0, 1 上先增后减,当 -2a0 时, f(x) 在区间 0, 1 上的最大值为 f(1)=ea;,导数的应用举例 7,证: (1)xe2,当 x1 时, g(x)0,g(x) 在 (1, +) 上为增函数.,又 g(x) 在 x=1 处连续,f(x)=lnx2.,只要证明 x(2-lnx
9、)2+lnx,g(x)g(1)=0.,导数的应用举例 7,证: (2)由(1)知对任意的 x(1, +),h(x) 在 (1, +) 上为减函数.,0,h(x)h(1)=0.,对任意的 x(1, +), 都有,导数的应用举例 8,1mxn2,x2-mx+mn=x(x-m)+mn0,导数的应用举例 8,1mn2, xm, n),2,导数的应用举例 8,对任意的 x1, x2m, n), 有,导数的应用举例 9,解: (1)设平均成本为 y(元),当且仅当 x=1000 时取等号.,故要使平均成本最低, 应生产 1000 件产品.,令 L=0 得 x=6000,当 x0;,当 x6000 时, L
10、0,当 x=6000 时, L 取得最大值.,故要使利润最大, 应生产 6000 件产品.,导数的应用举例 10,解: 设每月生产 x 吨的利润为 y 元, 则 x0, 且,x=200(-200舍去).,在 0, +) 上只有一个点 x=200 使 y=0,它就是最大值点, 且最大值为,=3150000(元).,故每月生产 200 吨产品时利润最大, 最大利润是 315 万元.,导数的应用举例 11,若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元(以下称 s 为赔付价格): (1)将乙方的年利润 w(元)表示为年产量 t(吨)的函数, 并求出乙方获得最大利润的年产量; (2)甲方每年受乙方生产影响的
11、经济损失金额 y=0.002t2(元), 在乙方获得最大利润的产量进行生产的前提下, 甲方要在索赔中获得最大净收入, 应向乙方要求的赔付价格最大是多少?,解: (1)赔付价格为 s 元/吨,乙方实际年利润,另解: 赔付价格为 s 元/吨,乙方实际年利润,当 t0;,当 tt0 时, w0,当 t=t0 时, w 取得最大值.,(2设甲方净收入为 v 元, 则 v=st-0.002t2,令 v=0 得 s=20.,当 s0;,当 s20 时, v0,当 s=20 时, v 取得最大值.,故甲方应向乙方要求的赔付价格为 20 元/吨.,某地政府为科技兴市, 欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划
12、建成一个矩形高科技工业园区.,导数的应用举例 12,已知 ABBC, OA/BC, 且 AB=BC=2AO=4 km, 曲线段 OC 是以O为 顶点且开口向右的抛物线的一段.,如果要使矩形 的相邻两边分别落在 AB、BC 上, 且一个顶点落 在曲线段 OC 上, 问应如何规划才能使矩形工业 园区的用地面积最大? 并求出最大的用地面积(精确到0.1 km2).,解: 以 O 为原点, OA 所在直线为 y 轴, 建立 直角坐标系, 如图所示.,依题意可设抛物线方程为 y2=2px(p0), 且C(4, 2).,22=2p42p=1.,曲线段 OC 的方程为 y2=x(0 x4, y0).,9.5.,当 x=0 时, S=89.5,Smax9.5(km2).,最大面积约为 9.5 km2.,
