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1、,第一章 一些典型方程和定解条件的推导,本章重点：,（1）加强物理模型和数学物理思想的介绍，以便充分了解 模型的物理意义，有利于根据数学物理模型建立数学物理方 程。只有充分了解模型的物理意义，才能结合数学理论，找 到比较好的解法（这里主要指解析解法）。,（2）开阔视野，从抽象的高等数学、复变函数论和积分变 换等数学理论跨越到理论与实际相结合的层次上来。,1.1基本方程的建立,本节推导几个典型的方程，引导大家合理、科学利用物理学 知识，初步形成建立数学物理方程的思路。,数学物理方程（简称数理方程）是指从物理学及其它 各门自然科学、技术科学中所导出的函数方程，主要 是指偏微分方程和积分方程，这些方
2、程称为泛定方程， 若加上物理问题产生的具体环境（即边界条件和初始 条件），则构成一个（组）数学物理定解问题。,数学物理方程所研究的内容和涉及的领域十分广泛， 它深刻地描绘了自然界中的许多物理现象和普遍规律。,从物理规律的角度来分析，数学物理定解问题表征的 是场和产生这种场的源之间的关系。,数学物理思想,根据分析问题的不同出发点，把数学物理问题分为正（向）问题、逆（向）问题或称为反问题.,不同出发点,正问题，即为已知源求场,反问题，即为已知场求源.,前者是经典数学物理所讨论的主要内容. 后者是高等数学物理（或称为现代数学物理）所讨论的主要内容。,多数为二阶线性偏微分方程,振动与波（振动波，电磁波
3、）传播满足波动方程,热传导问题和扩散问题满足热传导方程,静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松方程,数学物理方程的类型和所描述的物理规律,三类典型的数学物理方程,三类典型的数学物理方程,退化为拉普拉斯方程,分离变量法,偏微分方程,标准的常微分方程,标准解，即为各类特殊函数。,三类数学物理方程的一种最常用解法,波动方程的建立,1. 弦的微小横振动（见教材第1页）,讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题要确定弦的运动方程，需要明确：,确定弦的运动方程,（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛顿第二定律.,（3）按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程）,要研究的物理量是什么？ 弦沿垂直方向的
4、位移,（1）问题的提法,给定一根两端固定（平衡时沿直线）均匀柔软的细弦， 其长为l，在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振 动，研究弦上各点的运动规律。,（2）方程的推导,注意： 物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设才能使方程简化。 数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍规律，所以考察点不能取在端点上，但可以取除端点之外的任何位置作为考察点。,（2）弦在某一平面内作微小横振动，即弦的位置始终在一 直线附近，而弦上各点均在同一平面内垂直于该直线的方向 上作微小的振动。所谓“微小”是指振动的幅度及弦在任意位 置处切线的倾角都很小。,（3）弦是柔软的。它在形变时不抵抗弯曲
5、，弦上各质点间的 张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长形变与张力的关系 服从胡克（Hook）定律。,基本假设（微小、均匀和柔软的物理意义）：,（1）弦是均匀的。弦的横截面直径与弦的长度相比 可以忽略（细），因此，弦可以视为一条直线，它的 线密度是常数。（ =M/L，M-质量，L-长度）,设弦上具有坐标x的点在t时刻的位置为M，位移MN记作u，u=u(x,t)，由于没有办法考察弦上单点的运动，所以我们选择小弧段来研究，然后研究小弧段的长度趋于零的极限状态。,由于假设弦是柔软的，所以在任一点处张力的方向总是沿着该点的切线方向，下面分析弧段的受力情况。,物理定律：Newton第二定律F=ma,作用
6、于弧段上任一方向上的力的合力等于这段弧的质量 乘以力的方向上的加速度。,x轴方向（水平）：,由于弦只作横振动（垂向振动），则,（1.1）,由弦只作微小横振动的假设，即，都很小，则0， 0，从而由,略去高阶项，有,代入（1.1）,得到,u轴方向（垂直）：,又因为当0，0时，,同理,又由于,小弧段在t时刻沿u方向运动的加速度为,弧段的质量m=ds，所以,因为,于是，,（1.2）,或,（1.3）,(1.4),式（1.4）称为弦的受迫振动方程.,2. 传输线方程（或电报方程，见教材第4页）,（1）问题的提法,（2）方程的推导,根据基尔霍夫第二定律，在长度为x的传输线中，电压降 应等于电动势之和，即,另
7、外，由基尔霍夫第一定律，流入节点的电流应等于流出 该节点的电流，即,将方程（2.1）与（2.2）合并，即得i，v应满足如下方程组,将（2.1）中的,（2.3）,这就是电流i满足得微分方程。采用类似得方法从（2.1）与 （2.2）中消去i可得电压v满足得方程,（2.5）,（2.3）,方程（2.3）或（2.5）称为传输线方程（电报方程）。,根据不同的具体情况，对参数R，L，C，G作不同得假定，就 可以得到传输线方程的各种特殊形式。例如，在高频传输的情 况下，电导与电阻所产生的效应可以忽略不计。也就是说可令 G=R=0,此时方程（2.3）与（2.5）可简化为,这两个方程称为高频传输线方程。,这两个方
8、程与（1.3）完全相同。由此可见，同一个方程 可以用来描述不同的物理现象。一维波动方程只是波动 方程中最简单的情况，在流体力学、声学及电磁场理论 中，还要研究高维的波动方程。,令,（1.3）,3. 热传导方程（见教材第8页）,（1）问题的提法,热传导方程的建立,其中kk（x，y，z）称为物体的热传导系数，当物体为均匀且 各向同性的导热体时，k为常数。,利用上面的关系，从时刻t1到时刻t2通过曲面S流入区域V的全 部热量为,流入的热量使V内各点的温度从u（x，y，z，t1）变化 到u（x，y，z，t2），则在t1, t2内V内温度升高所需 的热量为,其中c为物体的比热，为物体的密度，对均匀且各向
9、 同性的物体来说，它们都是常数。,由于热量守恒，流入的热量等于物体温度升高所需吸收 的热量，即,（2.6）,此式左端的曲面积分中S是闭曲面，假设函数u关于x，y，z具 有二阶连续偏导数，关于t具有一阶连续偏导数，可以利用高 斯（Guass）公式将它化为三重积分，即,同时，（2.6）的右端的体积分可以写成,（2.6）,由于时间间隔t1, t2及区域V都是任意取的，并且被积函数是 连续的，所以（2.7）式左右恒等的条件是它们的被积函数 恒等，即,（2.8）,若物体内有热源，其强度为F(x,y,z,t),则相应的热传导方程为,其中,。,作为特例，如果所考虑的物体是一根细杆（或一块薄板）， 或者即使不是细杆（或薄板）而其中的温度u只与x，t（或 x，y，t）有关，则方程（2.8）就变成一维热传导方程,（2.8）,或二维热传导方程,（2.8）,推导固体的热传导方程时， 需要利用能量守恒定律和关于热传导的傅里叶定律：,热传导的傅里叶定律：,取直角坐标系Oxyz, 如图,则根据能量守恒定律得热平衡方程,或写成,数学物理定解问题的求解方法,1.行波法； 2.分离变量法； 3.幂级数解法； 4.格林函数法； 5.积分变换法； 6.保角变换法； 7.变分法； 8.计算机仿真解法； 9.数值计算法,
