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1、1.3 简单几何体的表面积和体积,1.3.1 柱体、锥体、台体 的表面积与体积,1、表面积:几何体表面的面积,2、体积:几何体所占空间的大小。,回忆复习有关概念,1、直棱柱:,2、正棱柱:,3、正棱锥:,4、正棱台:,侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱,底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心 的棱锥,正棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分叫正棱台,作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个,找出 斜高,斜高的概念,棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体,,棱柱、棱锥、棱台的表面积,它们的侧面展开图还是平面图形,,计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面
2、积和底面面积 之和,棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?,h,正棱柱的侧面展开图,2.棱柱、棱锥、棱台的展开图及表面积求法,把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开,得到什么图形? 侧面积怎么求?,棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?,正三棱锥的侧面展开图,棱锥的展开图,把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开,得到什么图形? 侧面积怎么求?,正五棱锥的侧面展开图,棱锥的展开图,例1 已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体S-ABC,求它的表面积 ,典型例题,分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成,因为BC=a,,所以:,因此,四面体S-ABC 的表面积,交BC于点D,解:先求 的面积,过点
3、作 ,,把正三棱台侧面沿一条侧棱展开,得到什么图形? 侧面积怎么求?(类比梯形的面积),正四棱台的侧面展开图,棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?,棱台的展开图,例2:(1)一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形,侧棱长为4,则其侧面积为 _;,(2)正四棱锥底面边长为6 ,高是4,中截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台,求棱台的侧面积.,例3:一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm,高是3/2cm,求三棱台的侧面积.,分析:关键是求出斜高,注意图中的直角梯形,O1,O,D,D1,E,答:60,思考:把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开,分别得到什么图形?展开的图形与
4、原图 有什么关系?,宽,长方形,圆柱的侧面展开图是矩形,3.圆柱、圆锥、圆台的展开图及表面积求法,圆柱,思考:把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开,分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系?,扇形,圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥,思考:把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开,分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系?,扇环,侧,圆台侧面积公式的推导,圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系?,例4 如图,一个圆台形花盆盆口直径20 cm,盆底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长15cm那么花盆的表面积约是多少平方厘米( 取3.14,结果精确到
5、1 )?,典型例题,解:由圆台的表面积公式得 花盆的表面积:,答:花盆的表面积约是999 ,例5 圆台的上、下底面半径分别为2和4,高为 ,求其侧面展开图扇环所对的圆心角,例6:圆台的上、下底半径分别是10cm和20cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是1800,那么圆台的侧面积是多少?(结果中保留),答:1800,小结:1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键; 2、对应的面积公式,柱体、锥体、台体的表面积,知识小结,圆台,圆柱,圆锥,几何体占有空间部分的大小叫做它的体积,一、体积的概念与公理:,公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。,V长方体= abc,推论1 、长方体的体积等于它
6、的底面积s和高h的积。,V长方体= sh,推论2 、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。,V正方体= a3,定理1: 柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积 s 和高 h 的积。,V柱体= sh,二:柱体的体积,三:锥体体积,例2:,如图:三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h.,答:可分成棱锥A-D1DC, 棱锥A-D1C1C, 棱锥A-BCD.,问:(1)从A点出发棱柱能分割成几个三棱锥?,3.1锥体(棱锥、圆锥)的体积 (底面积S,高h),注意:三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换,四面体的每一个面都可以作为底面,可以用来求点到面的距离,问题:锥体(棱锥、圆锥)的体积,定理如果一个锥
7、体(棱锥、圆锥)的底面 积是,高是,那么它的体积是:,推论:如果圆锥的底面半径是,高是, 那么它的体积是:,锥体 ,圆锥 ,h,x,四.台体的体积,V台体=,上下底面积分别是s/,s,高是h,则,推论:如果圆台的上,下底面半径是r1.r2,高是,那么它的体积是:,圆台 h,五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?,S为底面面积,h为柱体高,S分别为上、下底面面积,h 为台体高,S为底面面积,h为锥体高,例7 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 )六角螺帽共重5.8kg,已知底面是正六边形,边长为12mm,内孔直径为10mm,高为10mm,问这堆螺帽大约有多少个( 取3.14)?,典型例题,
8、答:这堆螺帽大约有252个,解:六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差,即:,例8从一个正方体中,如图那样截去4个三棱锥后,得到一个正三棱锥ABCD,求它的体积是正方体体积的几分之几?,1 球的 概念和 性质,2球的 体积,3 球的 表面积,4 例题 讲解,5 课堂 练习,6 课堂 小结,7 课堂 作业,球,球的概 念和性 质,球的概念,A,B,O,R,C,一,如图所示,半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面叫做球面. 球面所围成的几何体叫做球体,简称球. 半圆的圆心叫球心,图中点O. 连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径,(图中线段R). 连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直
9、径,(图中线段AB).,球的概 念和性 质,球的概念,一,Q,P,O,球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆(如图中红色部分),被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆(如图中绿色部分).,球面上两点之间最短连线的长度,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,这个弧长叫做两点的球面距离(如图中 的长度就是P、Q两点之间的球面距离 ).,球的概 念和性 质,球的性质,二,d,o1,o2,R,r,用一个平面(如图中平面 )去截一个球,截面是圆面,球的截面有下面的性质:,、球心和截面圆心的连线 垂直于截面(如图直线o1o2垂直于平面 );,、球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系:
10、,球的表面积和体积,:,球的表面积,例题 讲解,例9、,如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证:,(1) 球的表面积等于 圆柱的侧面积;,(2) 球的表面积等于 圆柱全面积的2/3.,O,R,O,R,例题 讲解,(2),证明:(1)设球的半径为 R,则圆柱的底面半径 为R,高为2R,得,例3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上,问球O的表面积。,分析:正方体内接于球,则由球和正方体都是中心对称图形可知,它们中心重合,则正方体对角线与球的直径相等。,略解:,变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切,则有S=。 变题2.如果球O和这个正方体的各条
11、棱都相切,则有S=。,关键:,找正方体的棱长a与球半径R之间的关系,例10已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=cm,求球的体积,表面积,解:如图,设球O半径为R, 截面O的半径为r,,例11、有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比.,作轴截面,柱、锥、台和球的侧面积和体积,2rl,Sh, r2h, rl,(r1r2)l,习题课,Ch,Sh,4 R2,1(教材习题改编)一个正方体的体积是8,则这个正方 体的内切球的表面积是() A8 B6 C4 D,答案: C,解析:设正方体的棱长为a,则
12、a38,a2.而此正方体的内切球直径为2,S表4r24.,答案: A,4(教材习题改编)在ABC中,AB2,BC3, ABC120,若使ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为_,答案: 3,答案: C,5如图所示,某几何体的正视图、侧视图均为等腰三 角形,俯视图是正方形,则该几何体的外接球的体积是_,1求体积时应注意的几点 (1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已 知体积公式的几何体进行解决 (2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及 数据的准确性 2求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理,题型一 几何体的展开与折叠 有一根长为3 cm,底面半径为1 cm的
13、 圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并 使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端, 则铁丝的最短长度为多少? 把圆柱沿这条母线展开,将问题转 化为平面上两点间的最短距离.,题型分类 深度剖析,解 把圆柱侧面及缠绕其上 的铁丝展开,在平面上得到 矩形ABCD(如图所示), 由题意知BC=3 cm, AB=4 cm,点A与点C分别是铁丝的起、止位 置,故线段AC的长度即为铁丝的最短长度. 故铁丝的最短长度为5 cm.,题型二 旋转体的表面积及其体积 如图所示,半径为R的半圆内的 阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋 转一周得到一几何体,求该几何体的 表面积(其中BAC=30)及其体积. 先分析
14、阴影部分旋转后形成几何体的 形状,再求表面积.,解 如图所示, 过C作CO1AB于O1,在半圆中可得 BCA=90,BAC=30,AB=2R, AC= ,BC=R, S球=4R2,解决这类题的关键是弄清楚旋转后所 形成的图形的形状,再将图形进行合理的分割, 然后利用有关公式进行计算.,知能迁移2 已知球的半径为R,在球内作一个内 接圆柱,这个圆柱底面半径与高为何值时,它 的侧面积最大?侧面积的最大值是多少?,知能迁移2 解 如图为轴截面. 设圆柱的高为h,底面半径为r, 侧面积为S,则,题型三 多面体的表面积及其体积 一个正三棱锥的底面边长为6,侧棱长 为 ,求这个三棱锥的体积. 本题为求棱锥
15、的体积问题.已知底面 边长和侧棱长,可先求出三棱锥的底面面积 和高,再根据体积公式求出其体积.,连接AH并延长交BC于E, 则E为BC的中点,且AHBC. ABC是边长为6的正三角形,,解 如图所示, 正三棱锥SABC. 设H为正ABC的中心, 连接SH, 则SH的长即为该正三棱锥的高.,答案C,巧练模拟,答案: A,2如图所示是一个几何体的三视图,根 据图中数据,可得该几何体的表面积是_,解析:此几何体的上部为球,球的直径为2,下部为一圆柱,圆柱的高为3,底面圆的直径为2,所以S表42312.,答案: 12,小结 1在求多面体的侧面积时,应对每一侧面分别求解后再 相加,对于组合体的表面积应注意重合部分的处理 2以三视图为载体考查几何体的表面积,关键是能够对 给出的三视图进行恰当的分析,从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系 3圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要 将这个曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.,答案B,若本例的三视图变为如图所示,求该几何体的体积,解:该几何体下部是一个正方体,棱长为4,上部为圆柱,底面半径为1,高为4,则 V444124644.,答案: D,小结 1计算柱、锥、台体的体积,关键是根据条件找出相应 的底面面积和高,应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解 2注意求体积的一些特