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1、第7章 轴 向 拉 伸 和 压 缩,7.1 拉伸和压缩,7.2拉(压)杆横截面上的内力,7.3轴力图,7.4 轴向拉伸与压缩时的应力,7.5 拉(压)杆斜截面上的应力,7.6 轴向拉伸(压缩)时的弹性变形、变形能,7.7 材料拉伸时的力学性能,7.8 材料压缩时的力学性质,7.9 拉伸(压缩)杆件的强度计算,7.10 应力集中,7.11 拉压超静定问题,1 拉伸和压缩,轴向拉伸,对应的外力称为拉力。,轴向压缩,对应的外力称为压力。,2 拉(压)杆横截面上的内力,以图示为例 ,用截面法确定杆件横截面 mm上的内力。 用假想平面将杆件沿横截面 mm 截开 根据平衡,如图,m,m,杆件左右两段在横截
2、面 mm 上相互作用的内力,是一个分布力系。,设其合力为 有平衡条件,可得 (2-1) N与轴线重合,称为轴力。,一般规定:拉伸时的轴力为正,压缩时的轴力为负。,轴力图的意义:,反映出轴力与截面位置的变化关系,较直观; 反映出最大轴力的数值及其所在面的位置,即危险截面位置,为强度计算提供依据。,轴力的正号,使微元区段有伸长趋势的轴力正。,轴力的负号,例:杆件受力如图(a)所示,试绘制轴力图。,(b),解:(1)计算各段杆的轴力 AB段:轴力假设为拉力,用 表示,得,(负号说明为压力),(a),P,2,P,B,C,D,同理:求得BC、CD、段的轴力分别为:,(a),(d),(c),(2) 轴力图
3、如图(e)所示。,(e),在轴力图中,突变值=集中载荷,例2-1 等截面直杆受力如图a所示, P1=120kN,P2=90kN,P3=60kN,试绘制该杆 的轴力图。,A,B,C,D,(a),1,m,2,m,1.5,m,(b),解 (1)求支座反力 设支反力为R如b图 根据整个杆的平衡条件 求得,例2-1 等截面直杆受力如图a所示, P1=120kN,P2=90kN,P3=60kN,试绘制该杆 的轴力图。,(c),(2)计算各段杆的轴力 AB段:用假想平面在AB段内将杆截开,取左段为研究对象(图c),截面上的轴力假设为拉力,用N1表示。 由平衡条件,例2-1 等截面直杆受力如图a所示, P1=
4、120kN,P2=90kN,P3=60kN,试绘制该杆 的轴力图。,(c),同理求得 : BC段(图d)、 CD段(图e)的轴力:,(e),(d),(3)绘制轴力图 轴力图如图f所示。从轴力图可见,AB段内的轴力值最大,Nmax=N1=120kN。,轴力是内力,它与外力有关,但又不同于外力。,(a),(f),4 轴向拉伸与压缩时的应力 一. 正应力公式:,仅由上述静力关系式还不能确定和N之间的具体关系。,下面从研究杆件的变形入手来寻求的变化规律。 如左图: 变形后可观察到如下现象:,变形前,变形后,(1)杆件被拉长。但各横向线仍保持为直线,任意两相邻横向线相对地沿轴线平行移动了一段距离; (2
5、)变形后,横线仍垂直于轴线。,扭转,弯曲,由以上的观察可得,杆件变形的平截面假设,拉压,杆件的横截面在拉压、扭转或弯曲变形过程中始终保持是平面,并始终保持与轴线垂直。,根据平面假设和材料均匀、连续的性质,可知: 横截面各点处的分布内力集度(即正应力)均相等,于是有 因此拉(压)杆横截面上的正应力为,的符号规定与N相同,拉应力为正,压应力为负。,上述正应力公式的推导过程用到了变形几何,物理和静力平衡三方面的规律。 材料力学的分析方法,三类分析的综合,1. 力学分析,研究构件中的各个力学要素(包括外力和内力;包括力和力偶矩)之间的关系。,2. 物理分析,研究材料的力学性能,研究构件的力学要素(有时
6、还包括热学要素)与几何要素之间的关系。,荷载与变形量之间的关系,温度变化与应力、变形量之间的关系,构件内部应力与应变之间的关系,3.几何分析,研究构件和结构中各几何要素之间的关系。,构件中应变和变形量之间的关系,结构中各构件变形量之间的关系,二. 正应力公式的使用条件 1. 外力合力作用线必须与杆轴线重合。 2. 杆件必须是等直杆。 若横截面尺寸沿轴线变化,对于变化缓慢的杆:,(2-4),3. 公式只在距外力作用点一定距离外才是正确 的。,圣维南原理 虽然力作用于杆端的方式不同,只要它们是静力等效的,则杆件中应力分布仅在作用点附近不大的范围内(不大于杆的横向尺寸)有明显影响。,应力等效,例2-
7、2 图所示铰接支架,AB为圆截面杆,直径为d=16mm,BC为正方形截面杆,边长为a=14mm。若载荷P=15kN,试计算各杆横截面上的应力。,解(1)计算各杆轴力 用截面法,截取结点B为研究对象,各杆轴力假定为拉力。 由平衡方程 得,例2-2 图所示铰接支架,AB为圆截面杆,直径为d=16mm,BC为正方形截面杆,边长为a=14mm。若载荷P=15kN,试计算各杆横截面上的应力。,(2)计算各杆应力,得,5 拉(压)杆斜截面上的应力,沿斜截面kk(如图),将杆截分为二。 研究左段杆的平衡,得到斜截面kk上内力,(a),(b),(a),斜截面kk的面积为 , 横截面积为A, 于是有,式中 为横
8、截面( )上的正应力。,(b),A,斜截面全应力 的分解: 垂直于斜截面的正应力 : (2-5) 相切于斜截面的剪应力 :,可见,斜截面上不仅存在正应力,而且还存在剪应力,其大小随截面的方位而变化。,Pa,ta,sa,a,(2-6),x,、 、 的符号规定如下,x,1.当 时(横截面),即横截面上的正应力是所有各截面上正应力的最大值。,3.当 时 当 时 即在斜截面上,剪应力有最大、最小值,且其数值为最大正应力的一半。,一、纵向变形虎克定律 一等直杆如图所示,设杆的原长为 ,横截面面积为A。在轴向拉力P作用下,杆的长度由 变为 。,6轴向拉伸(压缩)时的弹性变形、变形能,轴线方向总伸长为 (a
9、),试验表明: 引入比例系数E,则有 (b) 对于仅在两端受轴向外力作用的等直杆,由于N=P,故式(b)可改写为,杆件拉伸时, 为正;杆件压缩时, 为负。,(2-7),式(2-7)就是轴向拉伸与压缩时等直杆轴向变形的计算公式,通常称为虎克定律。 E 与材料的性质有关,称为材料的拉压弹性模量,其值可由实验确定。 EA 反映了杆件抵抗拉伸(压缩)变形的能力,称为杆件的抗拉(压)刚度。,(2-7),若将 和 代入公式(2-7) 可得 或 (2-8) 这是虎克定律的另一种表示形式。 虎克定律又可表述为:当应力不超过某一极限值时,应力与应变成正比。因为应变没有量纲,弹性模量E有与应力相同的量纲。 最后指
10、出,公式(2-7)只有当轴力N、横截面面积A、材料的弹性模量E在杆长l内为常量时才能应用。,(2-7),对于阶梯杆或轴力分段变化的杆件: 当轴力 和横截面积 沿杆轴线x方向连续变化时,有 二、横向变形泊松比 设杆件变形前的横向尺寸为b,变形后为b1,则杆的横向线应变为,(2-9),(2-10),试验表明:横向应变与纵向应变之间满足如下关系 因与的符号相反, 故有 称为泊松比或横向变形系数,是一个无量纲的量,其值随材料的不同而不同。 E 、 都是材料本身所固有的弹性常数,是反映材料弹性变形能力的参数。,(2-11),(2-12),例1 阶梯钢杆如图所示。已知AC段的截面面积为A1=500mm2,
11、CD段的截面面积为A2=200mm2,钢杆的弹性模量E=200GPa。试求: (1)各段杆横截面上的内力和应力; (2)杆的总伸长。,解 (1)内力计算,用截面法沿11、22面截开,计算轴力, 得:,绘出轴力图。,(2)应力计算 (3)杆的总伸长 计算结果为负,说明整个杆是缩短的。,例2 尺寸为=的钢板如图所示,其材料的弹性模量E=200GPa,泊松比。求钢板在两端受到合力为140kN的均布载荷作用时厚度的变化。,250,10,50,解 在两端的均布载荷作用下,钢板发生轴向拉伸变形。其横截面上正应力可按公式(2-1)计算,即 (a) 由虎克定律 (b),横向线应变为 于是 (c),将式(b)代
12、入式(c),并考虑式(a),得 即钢板的厚度减小了0.0035mm。,三、轴向拉压时的变形能,在外力作用下,弹性体因变形而储存的能量,成为变形能或应变能。,弹性体变形,储存能量,外力做功,外力减小,变形减小,释放能量,如图,受轴向拉伸的直杆,下端受从零开始逐渐增加的拉力作用,直至最终数值P。作用点的位移也逐渐增大至 ,在应力小于比例极限的范围内,拉力P与 成正比。,(a),(b),显然 dW 等于图中画阴影线部分的微分面积。 W 等于 图中三角形的面积:,若不计任何能量损耗,根据功能原理,弹性体内储存的变形能U应等于拉力P所做的功W。即 考虑轴力,并引出虎克定律,得,(2-13),(2-14)
13、,变形能的单位为焦(J) 引入单位体积内的变形能的概念,我们称为变形比能(简称比能),记作u。 由虎克定律,上式又可写成 比能的单位是,(2-15),(2-16),7 材料拉伸时的力学性能,材料的力学性能 材料在受力变形过程中所表现出来的变形、破坏等方面的特性。 1.实验条件:材料在室温下,以缓慢平稳加载方式进行的拉伸试验和压缩试验 2.实验对象:圆截面的拉伸标准试件如图所示:, 标矩。 圆试件的直径 在国家标准中标矩,与直径d有两种比例: 即 和,一、低碳钢拉伸时的力学性质,低碳钢是指含碳量在0.25%以下的各种碳素钢。用它来阐明塑性材料的一些特性。 下图是低碳钢拉伸时绘制的曲线,这个曲线也
14、称为拉伸图。,f,d,h,1.在低碳钢的整个拉伸试验过程中,其曲线可以分为如下四个阶段:,h,g,d,一、弹性阶段 二、屈服阶段 三、强化阶段 四、局部变形阶段,f,2.延伸率和截面收缩率,延伸率是衡量材料塑性的主要指标。,(1)延伸率:,(2-17),(2)截面收缩率 A1 试件断裂后断口处最小横截面面积, A0 试件原来的横截面面积 截面收缩率也是衡量材料塑性的指标。,(2-18),3.卸载定律和冷作硬化,(1) 卸载定律,超过弹性范围后的任一点d所对应的总应变包含弹性应变和塑性应变两部分。,h,g,e,f,0,a,b,c,d,(2)冷作硬化,e,f,h,g,0,a,b,c,d,在常温下,
15、把材料拉到塑性变形,然后卸载,当再次加载时,比例极限提高而塑性降低,工程上某些塑性材料没有明显的屈服阶段,通常规定塑性应变 时的应力为名义屈服极限,用 表示。,二、其他塑性材料拉伸时的力学性能,灰口铸铁是典型的脆性材料 断裂时的应力就是强度极限 它是唯一的强度指标。 有时选一条割线来确定E值, 并认为材料服从虎克定律。,三、铸铁拉伸时的力学性质,8 材料压缩时的力学性质,(一)塑性材料 黄色线 低碳钢压缩时的曲线 绿色线 低碳钢拉伸时的曲线,(二)脆性材料 如图:铸铁压缩时 的曲线。 实验表明: 曲线没有“屈服点”,试件在较小变形下突然破坏,破坏面与轴线大致成45度的倾角。,(三)几种常用材料的主要力学性能,比例极限 弹性极限 屈服极限 ( ) 强度极限 弹性模量 E 延伸率 截面收缩率,衡量材料力学性能的主要