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1、第7章 轴 向 拉 伸 和 压 缩,7.1 拉伸和压缩,7.2拉（压）杆横截面上的内力,7.3轴力图,7.4 轴向拉伸与压缩时的应力,7.5 拉（压）杆斜截面上的应力,7.6 轴向拉伸（压缩）时的弹性变形、变形能,7.7 材料拉伸时的力学性能,7.8 材料压缩时的力学性质,7.9 拉伸（压缩）杆件的强度计算,7.10 应力集中,7.11 拉压超静定问题,1 拉伸和压缩,轴向拉伸，对应的外力称为拉力。,轴向压缩，对应的外力称为压力。,2 拉（压）杆横截面上的内力,以图示为例 ，用截面法确定杆件横截面 mm上的内力。 用假想平面将杆件沿横截面 mm 截开 根据平衡，如图,m,m,杆件左右两段在横截
2、面 mm 上相互作用的内力，是一个分布力系。,设其合力为 有平衡条件，可得 (2-1) N与轴线重合，称为轴力。,一般规定：拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。,轴力图的意义：,反映出轴力与截面位置的变化关系，较直观； 反映出最大轴力的数值及其所在面的位置，即危险截面位置，为强度计算提供依据。,轴力的正号,使微元区段有伸长趋势的轴力正。,轴力的负号,例：杆件受力如图（a）所示，试绘制轴力图。,(b),解：（1）计算各段杆的轴力 AB段：轴力假设为拉力，用 表示,得,(负号说明为压力),(a),P,2,P,B,C,D,同理：求得BC、CD、段的轴力分别为：,(a),(d),(c),（2） 轴力图
3、如图（e）所示。,(e),在轴力图中，突变值=集中载荷,例2-1 等截面直杆受力如图a所示， P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，试绘制该杆 的轴力图。,A,B,C,D,(a),1,m,2,m,1.5,m,(b),解 （1）求支座反力 设支反力为R如b图 根据整个杆的平衡条件 求得,例2-1 等截面直杆受力如图a所示， P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，试绘制该杆 的轴力图。,(c),（2）计算各段杆的轴力 AB段：用假想平面在AB段内将杆截开，取左段为研究对象（图c），截面上的轴力假设为拉力，用N1表示。 由平衡条件,例2-1 等截面直杆受力如图a所示， P1=
4、120kN，P2=90kN，P3=60kN，试绘制该杆 的轴力图。,(c),同理求得 : BC段（图d）、 CD段（图e）的轴力：,(e),(d),（3）绘制轴力图 轴力图如图f所示。从轴力图可见，AB段内的轴力值最大，Nmax=N1=120kN。,轴力是内力，它与外力有关，但又不同于外力。,(a),(f),4 轴向拉伸与压缩时的应力 一. 正应力公式：,仅由上述静力关系式还不能确定和N之间的具体关系。,下面从研究杆件的变形入手来寻求的变化规律。 如左图： 变形后可观察到如下现象：,变形前,变形后,（1）杆件被拉长。但各横向线仍保持为直线，任意两相邻横向线相对地沿轴线平行移动了一段距离； （2
5、）变形后，横线仍垂直于轴线。,扭转,弯曲,由以上的观察可得，杆件变形的平截面假设,拉压,杆件的横截面在拉压、扭转或弯曲变形过程中始终保持是平面，并始终保持与轴线垂直。,根据平面假设和材料均匀、连续的性质，可知： 横截面各点处的分布内力集度（即正应力）均相等，于是有 因此拉（压）杆横截面上的正应力为,的符号规定与N相同，拉应力为正，压应力为负。,上述正应力公式的推导过程用到了变形几何，物理和静力平衡三方面的规律。 材料力学的分析方法,三类分析的综合,1. 力学分析,研究构件中的各个力学要素（包括外力和内力；包括力和力偶矩）之间的关系。,2. 物理分析,研究材料的力学性能，研究构件的力学要素（有时
6、还包括热学要素）与几何要素之间的关系。,荷载与变形量之间的关系,温度变化与应力、变形量之间的关系,构件内部应力与应变之间的关系,3.几何分析,研究构件和结构中各几何要素之间的关系。,构件中应变和变形量之间的关系,结构中各构件变形量之间的关系,二. 正应力公式的使用条件 1. 外力合力作用线必须与杆轴线重合。 2. 杆件必须是等直杆。 若横截面尺寸沿轴线变化，对于变化缓慢的杆：,（2-4）,3. 公式只在距外力作用点一定距离外才是正确 的。,圣维南原理 虽然力作用于杆端的方式不同，只要它们是静力等效的，则杆件中应力分布仅在作用点附近不大的范围内(不大于杆的横向尺寸)有明显影响。,应力等效,例2-
7、2 图所示铰接支架，AB为圆截面杆，直径为d=16mm，BC为正方形截面杆，边长为a=14mm。若载荷P=15kN，试计算各杆横截面上的应力。,解（1）计算各杆轴力 用截面法，截取结点B为研究对象，各杆轴力假定为拉力。 由平衡方程 得,例2-2 图所示铰接支架，AB为圆截面杆，直径为d=16mm，BC为正方形截面杆，边长为a=14mm。若载荷P=15kN，试计算各杆横截面上的应力。,（2）计算各杆应力，得,5 拉（压）杆斜截面上的应力,沿斜截面kk（如图），将杆截分为二。 研究左段杆的平衡，得到斜截面kk上内力,(a),(b),（a）,斜截面kk的面积为 ， 横截面积为A， 于是有,式中 为横
8、截面（ ）上的正应力。,（b）,A,斜截面全应力 的分解： 垂直于斜截面的正应力 ： （2-5） 相切于斜截面的剪应力 ：,可见，斜截面上不仅存在正应力，而且还存在剪应力，其大小随截面的方位而变化。,Pa,ta,sa,a,（2-6）,x,、 、 的符号规定如下,x,1.当 时（横截面）,即横截面上的正应力是所有各截面上正应力的最大值。,3.当 时 当 时 即在斜截面上，剪应力有最大、最小值，且其数值为最大正应力的一半。,一、纵向变形虎克定律 一等直杆如图所示，设杆的原长为 ，横截面面积为A。在轴向拉力P作用下，杆的长度由 变为 。,6轴向拉伸（压缩）时的弹性变形、变形能,轴线方向总伸长为 (a
9、),试验表明： 引入比例系数E，则有 （b） 对于仅在两端受轴向外力作用的等直杆，由于N=P，故式（b）可改写为,杆件拉伸时， 为正；杆件压缩时， 为负。,（2-7）,式（2-7）就是轴向拉伸与压缩时等直杆轴向变形的计算公式，通常称为虎克定律。 E 与材料的性质有关，称为材料的拉压弹性模量，其值可由实验确定。 EA 反映了杆件抵抗拉伸（压缩）变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。,（2-7）,若将 和 代入公式（2-7） 可得 或 （2-8） 这是虎克定律的另一种表示形式。 虎克定律又可表述为：当应力不超过某一极限值时，应力与应变成正比。因为应变没有量纲，弹性模量E有与应力相同的量纲。 最后指
10、出，公式（2-7）只有当轴力N、横截面面积A、材料的弹性模量E在杆长l内为常量时才能应用。,（2-7）,对于阶梯杆或轴力分段变化的杆件： 当轴力 和横截面积 沿杆轴线x方向连续变化时，有 二、横向变形泊松比 设杆件变形前的横向尺寸为b，变形后为b1，则杆的横向线应变为,（2-9）,（2-10）,试验表明：横向应变与纵向应变之间满足如下关系 因与的符号相反， 故有 称为泊松比或横向变形系数，是一个无量纲的量，其值随材料的不同而不同。 E 、 都是材料本身所固有的弹性常数，是反映材料弹性变形能力的参数。,（2-11）,（2-12）,例1 阶梯钢杆如图所示。已知AC段的截面面积为A1=500mm2，
11、CD段的截面面积为A2=200mm2，钢杆的弹性模量E=200GPa。试求： （1）各段杆横截面上的内力和应力； （2）杆的总伸长。,解 （1）内力计算,用截面法沿11、22面截开，计算轴力, 得：,绘出轴力图。,（2）应力计算 （3）杆的总伸长 计算结果为负，说明整个杆是缩短的。,例2 尺寸为=的钢板如图所示，其材料的弹性模量E=200GPa，泊松比。求钢板在两端受到合力为140kN的均布载荷作用时厚度的变化。,250,10,50,解 在两端的均布载荷作用下，钢板发生轴向拉伸变形。其横截面上正应力可按公式（2-1）计算，即 （a） 由虎克定律 （b）,横向线应变为 于是 （c）,将式（b）代
12、入式（c），并考虑式（a），得 即钢板的厚度减小了0.0035mm。,三、轴向拉压时的变形能,在外力作用下，弹性体因变形而储存的能量，成为变形能或应变能。,弹性体变形,储存能量,外力做功,外力减小,变形减小,释放能量,如图，受轴向拉伸的直杆，下端受从零开始逐渐增加的拉力作用，直至最终数值P。作用点的位移也逐渐增大至 ,在应力小于比例极限的范围内，拉力P与 成正比。,(a),(b),显然 dW 等于图中画阴影线部分的微分面积。 W 等于 图中三角形的面积:,若不计任何能量损耗，根据功能原理，弹性体内储存的变形能U应等于拉力P所做的功W。即 考虑轴力，并引出虎克定律，得,（2-13）,（2-14）
13、,变形能的单位为焦（J） 引入单位体积内的变形能的概念，我们称为变形比能（简称比能），记作u。 由虎克定律，上式又可写成 比能的单位是,（2-15）,（2-16）,7 材料拉伸时的力学性能,材料的力学性能 材料在受力变形过程中所表现出来的变形、破坏等方面的特性。 1.实验条件：材料在室温下，以缓慢平稳加载方式进行的拉伸试验和压缩试验 2.实验对象：圆截面的拉伸标准试件如图所示：, 标矩。 圆试件的直径 在国家标准中标矩，与直径d有两种比例： 即 和,一、低碳钢拉伸时的力学性质,低碳钢是指含碳量在0.25%以下的各种碳素钢。用它来阐明塑性材料的一些特性。 下图是低碳钢拉伸时绘制的曲线，这个曲线也
14、称为拉伸图。,f,d,h,1.在低碳钢的整个拉伸试验过程中，其曲线可以分为如下四个阶段：,h,g,d,一、弹性阶段 二、屈服阶段 三、强化阶段 四、局部变形阶段,f,2.延伸率和截面收缩率,延伸率是衡量材料塑性的主要指标。,（1）延伸率：,（2-17）,（2）截面收缩率 A1 试件断裂后断口处最小横截面面积， A0 试件原来的横截面面积 截面收缩率也是衡量材料塑性的指标。,（2-18）,3.卸载定律和冷作硬化,（1） 卸载定律,超过弹性范围后的任一点d所对应的总应变包含弹性应变和塑性应变两部分。,h,g,e,f,0,a,b,c,d,（2）冷作硬化,e,f,h,g,0,a,b,c,d,在常温下，
15、把材料拉到塑性变形，然后卸载，当再次加载时，比例极限提高而塑性降低,工程上某些塑性材料没有明显的屈服阶段，通常规定塑性应变 时的应力为名义屈服极限，用 表示。,二、其他塑性材料拉伸时的力学性能,灰口铸铁是典型的脆性材料 断裂时的应力就是强度极限 它是唯一的强度指标。 有时选一条割线来确定E值， 并认为材料服从虎克定律。,三、铸铁拉伸时的力学性质,8 材料压缩时的力学性质,（一）塑性材料 黄色线 低碳钢压缩时的曲线 绿色线 低碳钢拉伸时的曲线,（二）脆性材料 如图：铸铁压缩时 的曲线。 实验表明： 曲线没有“屈服点”，试件在较小变形下突然破坏，破坏面与轴线大致成45度的倾角。,（三）几种常用材料的主要力学性能,比例极限 弹性极限 屈服极限 （ ） 强度极限 弹性模量 E 延伸率 截面收缩率,衡量材料力学性能的主要
