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1、第六节,Green 公式,Gauss 公式,推广,一、高斯公式,二、通量与散度,高斯公式 通量与散度,第十章,三、斯托克斯公式,四、环流量与旋度,一、高斯 ( Gauss ) 公式,定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲, 上有连续的一阶偏导数 ,下面先证:,函数 P, Q, R 在,面 所围成, 的方向取外侧,则有,(Gauss 公式),证明: 设,为XY型区域 ,则,所以,若 不是 XY型区域 ,则可引进辅助面,将其分割成若干个 XY型区域,故上式仍成立 .,正反两侧面积分正负抵消,在辅助面,类似可证,三式相加, 即得所证 Gauss 公式：,例+. 用Gauss 公式计算,其中 为柱面
2、,闭域 的整个边界曲面的外侧.,解: 这里,利用Gauss 公式, 得,原式 =,(用柱坐标),及平面 z = 0 , z = 3 所围空间,思考: 若 改为内侧, 结果有何变化?,若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?,例1 计算,的上侧,解:设,则,为了用高斯公式,补面,下侧,由高斯公式,例1续,例+. 利用Gauss 公式计算积分,其中 为锥面,解: 作辅助面,取上侧,介于 z = 0 及,z = h 之间部分的下侧.,所围区域为,则,利用重心公式, 注意,练习.,设 为曲面,取上侧, 求,解:,作取下侧的辅助面,用柱坐标,用极坐标,在闭区域 上具有一阶和,二阶连续偏导数, 证明格林(
3、 Green )第一公式,例+. 设函数,其中 是整个 边界面的外侧.,分析:,高斯公式,证:令,由高斯公式得,移项即得所证公式.(见同济 P171),二、通量与散度,引例.,设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为,理意义可知,设 为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面 的流量为,则由对坐标的曲面积分的物,由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为,若 为方向向外的闭曲面,当 0 时,说明流入 的流体质量少于,当 0 时,说明流入 的流体质量多于流出的,则单位时间通过 的流量为,当 = 0 时,说明流入与流出 的流体质量相等 .,流出的,表明 内有泉;,表明, 内有洞 ;,根据高斯公式, 流量
4、也可表为,方向向外的任一闭曲面 ,记 所围域为,设 是包含点 M 且,为了揭示场内任意点M 处的特性,在式两边同除以 的体积 V,并令 以,任意方式缩小至点 M,则有,此式反应了流速场在点M 的特点:,其值为正,负或 0,分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化.,定义:,设有向量场,其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片有向,则称,曲面,有向曲面 的通量(流量) .,在场中点 M(x, y, z) 处,divergence,表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.,例如, 匀速场,故它是无源场.,说明:,由引例可知, 散度
5、是通量对体积的变化率, 且,三、 斯托克斯( Stokes ) 公式,定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,(斯托克斯公式),个空间域内具有连续一阶偏导数, 的,侧与 的正向符合右手法则,在包含 在内的一,证:,情形1 与平行 z 轴的直线只交于,一点,设其方程为,为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).,则有,则,(利用格林公式),因此,同理可证,三式相加, 即得斯托克斯公式 ;,情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个,则可,通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加,由于沿辅助,曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这
6、,类曲面斯托克斯公式仍成立.,注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域,则斯托克斯,公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.,证毕,为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:,或用第一类曲面积分表示:,例2 计算,，其中,X 轴正向看去取逆时针方向,解: 设,则,由斯托克斯公式,例2 续,由两类曲面积分的关系得,例+. 利用斯托克斯公式计算积分,其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个,解: 记三角形域为, 取上侧,则,边界, 方向如图所示.,利用对称性,例+. 为柱面,与平面 y = z 的交线,从 z,轴正向看为顺时针, 计算,解: 设为平面 z = y 上被
7、 所围椭圆域 ,且取下侧,利用斯托克斯公式得,则其法线方向余弦,四、 环流量与旋度,斯托克斯公式,设曲面 的法向量为,曲线 的单位切向量为,则斯托克斯公式可写为,令, 引进一个向量,定义:,闭曲线 的环流量.,于是得斯托克斯公式的向量形式 :,旋度 .,rotation,注意 与 的方向形成右手系!,斯托克斯公式的物理意义:,例4.,求电场强度,的旋度 .,解:,(除原点外),这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋.,的外法向量,计算,解:,例5. 设,内容小结,1. 高斯公式及其应用,公式:,应用:,(1) 计算曲面积分,(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧),(2) 推出闭曲面积分为零
8、的充要条件:,2. 通量与散度,设向量场,P, Q, R, 在域G内有一阶 连续,偏导数,则,向量场通过有向曲面 的通量为,G 内任意点处的散度为,3. 斯托克斯公式,4. 场论中的三个重要概念,设,梯度:,散度:,旋度:,则,思考与练习,所围立体,判断下列演算是否正确?,(1),(2), 为,练习,则,提示:,三式相加即得,高斯(1777 1855),德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域 ,在数论、,级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创,性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、,曲面论和位势论等.,他在学术上十分谨慎,原则:,代数、非欧几何、 微分几何、 超几何,在对天文学、大,恪守这样的,“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.,斯托克斯(1819-1903),英国数学物理学家.,他是19世纪英国,数学物理学派的重要代表人物之一,其,主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题,的有效且一般的新方法,在1845年他导,出了著名的粘性流体运动方程 ( 后称之,为纳维 斯托克斯方程 ),1847年先于,柯西提出了一致收敛的概念.,他提出的斯托克斯公式,是向量分析的基本公式.,他一生的工作先后分 五卷,出版 .,
