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1、重庆大学数学与统计学院,国家级精品课程数学实验课件,数学实验之非线性规划,SHUXUESHIYANZHIFEIXIANXINGGUIHUA,课件制作：数学实验课程组,你可以自由的从网站,1952年美国经济学家Markowitz用概率统计的方法，将收益视作随机变量，用它的方差作为风险的指标，建立了完整的组合投资理论，于19 90年获得诺贝尔经济学奖。,引 例,组合投资,问题的描述: 设有8种投资选择:5支股票,2种债券,黄金. 投资者收集到这些投资项目的年收益率的历史数据 (见下页表), 投资者应如何分配他的投资资金,即需要确定这8种投资的最佳投资分配比例.,引 例,x1+x2+xn=1, xi
2、0,问题的分析:设投资的期限是一年，不妨设投资总数为1个单位，用于第i项投资的资金比例为xi , X=(x1,x2,xn)称为投资组合向量. 显然有,其中: rjk 代表第j种投资在第k年的收益率. Markowitz风险的定义: 收益的波动程度,可用样本方差(历史方差)来度量, 为,引 例,收益和风险 每个投资项目的收益率可以看成一个随机变量,其均值可以用样本均值(历史均值)来近似.因此, 预计第j种投资的平均收益率为,投资组合X=(x1,x2,xn)在第 k年的收益率为:,投资组合X=(x1,x2,xn)的风险为:,投资组合X=(x1,x2,xn) 的平均收益率为:,引 例,双目标: 最大
3、化利润,最小化风险,s.t. x1+x2+x8=1, xi0, i=1,2,8,组合投资,引 例,化为单目标:,模型1: 控制风险最大化收益,模型2: 固定赢利，最小化风险,化为单目标:,模型3: 对收益和风险加权平均 ( 01 ),组合投资,引 例,3个模型均为非线性规划模型。,投资选择问题,某公司在一个时期内可用于投资的总资本为b万元, 可供选择的项目有n个。假定对第i个项目的投资总额为ai万元，收益总额为ci万元。 问如何确定投资方案，使总的投资利润率(收益占总投资的比例)达最高？ 设决策变量为：,引 例,数学模型,非线性整数规划问题。,收益占总投资的比例,引 例,b: 总资本 ai:
4、第i个项目的投资额 ci: 第i个项目的收益,基本概念,例如：,非线性规划模型的一般形式,特殊情形,1）无约束,2）二次规划,基本概念,多峰函数，存在局部最大(小)和整体最大(小),函数曲面图形,图形解释,基本概念,fgoalattain 多目标规划 fminbnd 有界标量非线性优化问题 fmincon 约束非线性极小化 fminimax 极小极大最优化 fminsearch fminunc 无约束非线性最优化 fseminf 半无限极小化 linprog 线性规划 quadprog 二次规划,MATLAB软件求解,优化工具箱主要命令,无约束非线性规划情形,MATLAB软件求解,标准形式 :
5、 Min F(X) MATLAB求解步骤 首先建立一个函数M文件，如fun.m 调用格式： X, fval = fminunc(fun, X0, options) 或 X, fval = fminsearch(fun, X0, options),1.函数fminunc、 fminsearch的具体用法,例1 Rosenbrock函数,已知初始点（-1.9，2）。试分析最优解是否与初始点有关？,无约束非线性规划情形,MATLAB软件求解,1）function f=fun1(x) f=100*(x(2)-x(1)2)2+(1-x(1)2;,1.函数fminunc、 fminsearch的具体用法,
6、无约束非线性规划情形,MATLAB软件求解,2）x0=-1.9,2; options=optimset(display, iter) x,fval= fminunc(fun1,x0, options),计算结果： x = 0.9999 0.9997; fval =1.9047e-008 若想结果更精确，将options修改为 options=optimset(display, iter, tolfun,1e-10);,1.函数fminunc、 fminsearch的具体用法,1.函数fminunc、 fminsearch的具体用法,无约束非线性规划情形,MATLAB软件求解,计算结果： x =
7、 5.1840 26.8991; fval =17.5675 未能得到最优解, 说明初始解的选择很关键,一般选择与最优解尽量接近的点.,若改变初始解,比如: 取x0=10,10,标准模型:,2.函数fmincon的具体用法,约束非线性规划情形,MATLAB软件求解,Min f(X) s.t. G1(X) 0, G2(X)=0 (非线性约束) AX b, Aeq.X=beq, (线性约束) lb X ub,调用格式: x,fval=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,con),2.函数fmincon的具体用法,约束非线性规划情形,MATLAB软件求解, 建立m文件函
8、数fun.m function f=fun(x) f=f(x);, 为函数fmincon的其余输入变量赋值，然后调用该函数求出约束规划问题的解。, 建立m文件函数nonlcon.m function c,ceq= nonlcon(x) c=G1(x);ceq=G2(x),2.函数fmincon的具体用法,约束非线性规划情形,MATLAB软件求解,例：求解以下约束非线性规划： Max f(x) = x1 x2 s.t. 2(x1 + x2) x3 500 x32 xj0，j = 1,2, function f=fun2(x) f=-x(1)*x(2);,MATLAB程序, function c,
9、ceq=nlcon(x) c=(x(1)+x(2)*x(3)-250; ceq=;,2.函数fmincon的具体用法,约束非线性规划情形,MATLAB软件求解, x0=10 10 2; L=0 0 2; x,fval=fmincon(fun2,x0,L, nlcon),计算结果:,x =62.5000 62.5000 2.0000 fval = -3.9063e+003,max f(x) = x12+ x22-x1x2-2x1-5x2 s.t. -(x1 1)2+ x2 0 2 x1-3x2+60, x0=0, 1,例2,转化成标准形,min f(x) =- x12- x22+x1x2+2x1
10、+5x2 s.t. (x1 1)2 - x2 0 -2 x1+3x2 60, x0=0, 1,2.函数fmincon的具体用法,约束非线性规划情形,MATLAB软件求解, function f=fun22(x) f=-x(1)2-x(2)2+x(1)*x(2)+2*x(1)+5*x(2);, function G,Geq = cont2(x) G=(x(1)-1)2 - x(2); Geq=;, x0=0 1; A=-2,3;b=6; Aeq=;beq=; lb=;ub=; x,fval=fmincon(fun22,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,cont2),x = 1.0e+00
11、8*-0.0006 -2.7649 fval = -7.6432e+016,MATLAB程序:,计算结果:,3、使用quadprog求解二次规划问题,二次规划标准模型,调用格式: x ,fval = quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,L,U,x0),MATLAB软件求解,例4,写成标准模型,MATLAB软件求解,beq=2,H=2,-2;-2,4; c=-4,-12; A=-1,2 ;2,1; b=2,3; Aeq=1 1;beq=2; x,fval=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq),计算结果：,x = 0.6667 1.3333， f = -16.4444,
12、MATLAB软件求解,MATLAB程序:,小结,无约束非线性规划 Min F(X) 调用格式: X, fval=fminunc(F, X0, options) 或 X, fval =fminsearch(F, X0, options),二次规划 Min 0.5*XTHX+CTX s.t. AX b AeqX =beq L X U 调用格式： X, fval =quadprog(H,c,A,b),MATLAB软件求解,约束非线性规划 Min F(X) s.t. G(X) 0, Geq=0 AX b, Aeq.X=beq, l X u 调用格式： X, fval = fmincon(F, X0,
13、A, b, Aeq, beq, l, u , GGeq),MATLAB软件求解,小结,供应与选址,6个建筑工地水泥的日用量分别为3,5,4,7,6,11, (吨) 两个临时料场A, B，日储量各有20吨。假设从料场到工地均有直线道路相连.,范 例,供应与选址,问题1：试制定每天A、B 两料场向各工地供应水泥的供应计划，使总的吨千米数最小。,范 例,问题2： 为进一步减少吨千米数，打算舍弃两个临时料场，改建两个新的，日储量仍各为20吨，问应建在何处，节省的吨千米数有多大？,建立规划模型,记工地的位置为(ai, bi)，水泥日用量为di, i = 1, , 6, 料场位置为(xj, yj), 日储
14、量为rj, j=1,2；从料场j向工地i的运送量为zij。,（工地日用量）,（料场日储量）,供应与选址,范 例,问题1的MATLAB程序：使用临时料场，即料场位置 (xj, yj)为已知,决策变量为zij，上述模型为线性规划模型。记决策变量Z=z11,z21,z61,z12,z62,a0=1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25; b0=1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.75; c1=sqrt(5-a0).2+(1-b0).2); c2=sqrt(2-a0).2+(7-b0).2); c=c1,c2; A=ones(1,6),zeros(1,6);zeros(1,6),o
15、nes(1,6); b=20;20; Aeq=eye(6),eye(6); beq=3 5 4 7 6 11; L=zeros(1,12); Z,val=linprog(c, A, b, Aeq,beq ,L),最优目标值f = 136.2275（吨千米） 料场A, B运往各工地的水泥的日运量分别为,供应与选址,范 例,问题1的求解结果,问题2的求解 要为新建料场选址 , 料场位置(xj, yj)为未知时, 决策变量为zij， xj, yj，模型为非线性规划模型。,（工地日用量）,（料场日储量）,供应与选址,范 例,目标函数的函数M 文件:,function f=liaocmb(x) a0=1
16、.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25; b0=1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.75; c1=sqrt(x(13)-a0).2+(x(14)-b0).2); c2=sqrt(x(15)-a0).2+(x(16)-b0).2); c=c1,c2; f=c*x(1:12,1);,供应与选址,范 例,问题2的求解,function c,ceq=liaocys(x) A=ones(1,6),zeros(1,6);zeros(1,6),ones(1,6); b=20;20; Aeq=eye(6), eye(6); beq=3 5 4 7 6 11; c=A*x(1:12,1)-b; ceq=Aeq*x(1:12,1)-beq;,约束条件的函数M 文件:,供应与选址,范 例,问题2的求解,clear
