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1、浙江师范大学 2005 年研究生入学考试高等代数试题参考答案 浙江师范大学 05 年高等代数试题解答 由 shehei 解答并编辑输入.email:(唐胜忠) 一.填空题. 1. 1 2. E-A 3. 22 2 ,BBE C= C 2 4. 5. 0,1,2,3 1 nn+ 6. 7. 1 A 2 8. 1212 或或 二.证明 ( ( ), ( )1 ( ( ), ( )1 ( ( ),( ) ( )1 ( ( ) ( ) ( ), ( )( ) ( )1 ( ( ) ( ), ( )( ) ( )1 f x g x g x h x g xf x h x g x f x h x g xf
2、x h x f x h x g xf x h x = = = += += 三.解:线性方程组的系数矩阵为 1111 3211 0314 2333 b A a abb 2 = + 1111 012314 0314 50003 b b a ab + 1111 012314 120000 50003 b b ab ab + + 5 3 a b = = 解空间W是3维的 秩(A)=5-3=2 b-3=0 a+5=0 a-1+2b=0 3311111111 30521121 0530000014 3393300000 A = 34 ( 8,5,1,0,0) ,(4,3,0,1,0) ,( 5,4,0,0
3、,1)W的一组基为 1 shehei编辑制作 浙江师范大学 2005 年研究生入学考试高等代数试题参考答案 5,3 ( )2 5,35,3 ( )4 2. ab R A abab R A 当时 a-1+2b=0 当或时 a-1+2b0 解空间不可能是 维的 = = = = = = 四.(1)证明:显然 W 是非空的 1212 ( ),( ),( ) ,( ) f AfAWf xP xfxP x设则 12 1 12 1 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) . n n f AfAP x kf xP x f AfAW kf xW WP + + 是的子空间 (2) 01 1 10 1 1 (
4、) ( )( ) ( )( )( ( )( ( ) ()( ) ( )( )( ) ( ) ( ), , ( ) , , m m m m m m maa xa x fmqrrm fm A q Ar Ar A r AcAc E f AE AA mA E AA Wm =+ =+,即 2 6ab 要使A为半正定的,则使 2 0 6 b a ,即. 2 6ab 六.(1)假设A没有大于 0 的特征值. 则A的特征值为纯虚数或小于等于 0 而复数 0 为A的特征值时 0 也为A的特征值且 00 0 设A的特征值为 12221 , mmn + ? 2 shehei编辑制作 浙江师范大学 2005 年研究生
5、入学考试高等代数试题参考答案 122 , m ?为复数 21, , mn + ?为小于或等于 0 12221mmn A + =? 而 21 0 mn + ? 0A 与已知矛盾 0A 有大于 的特征值 (2)设A的特征值为 0 ,属于特征值 0 的特征向量为x 则 0 Axx= 0 ()()Axx= 0 x Ax = 而因为A是正交矩阵 1 AA= 1 0 x Ax = 1 0 x Ax = 由 得 1 00 x A Axx x = 2 000 x xx x x x = 2 0 1= 0 的模等于 1 七.(1)设,V 112233 xxx=+ 112233 xxx =+ 3 11122233
6、()()()xxxxxx +=+ 3 22331113321122 ()()()()xxxxxxxxxxxxA +=+ 3 shehei编辑制作 浙江师范大学 2005 年研究生入学考试高等代数试题参考答案 ()AAA+=+ 112233 kkxkxkx=+ 3 23113212 ()()()()kkxkxkxkxkxkxA=+ 231132123 ()()()()kk xxxxxxkAA=+= VA是 的一个线性变换 (2) 123 A=+ 213 A=+ 312 A=+ 123123 011 (,)(,) 101 110 A = (3)A的的特征多项式 2 2 11011 11011(1)
7、 (2 1111 EA ) + = =+ = + A的特征值为-1,-1,2. 当1= 时,特征向量为 111 111 111 EA = 1 1 0 , 1 0 1 当2=时,特征向量为 211 121 112 EA = 1 1 1 11 1 101 011 T = ,使 1 1 1 2 TAT = 4 shehei编辑制作 浙江师范大学 2005 年研究生入学考试高等代数试题参考答案 八.证明: 1 2 s J J AJ J = ? ,其中 01 01 (1,2, 01 0 i Ji = ? ? ? )s 0 1 ,CC ACJ =可逆矩阵使,则 11 () nnn JC ACC A C =
8、, 又 1 2 n n n n s J J J J = ? 0(1,2, ) n i Jis=?, 又,所以 1 0 n A 1 0 n J 1 ,0 n ii JJs 1使且可知= (否则若,的阶数小于 n,则一切2s i J 1 0 n i J =,所以 1 0 n J =,这与矛盾) 1 0 n J 01 01 01 0 AJ = ? ? ( )( )1AJn=秩秩 1 dim( )1AVr An= 1 dim(0)(1)1Ann = 1 () n A =秩 九.证明: 11 00 0000 ABABBABABA BBBBBBA BBBA B ) 1 ()( )( )(ABBABBA B +=+秩秩秩秩 ()( )( )ABBA+秩秩秩 1 ()BBA B 等号成立当且仅当秩0=,即等号成立当且仅当 1 0BBA B =. 5 shehei编辑制作 浙江师范大学 2005 年研究生入学考试高等代数试题参考答案 6 shehei编辑制作
