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1、加强理性思维认识数学的价值和作用,张劲松 人民教育出版社 ,一、离散与连续 以e为底的指数型函数模型的建立 二、“生日悖论” 三、一个“特殊”的三角形 四、方程 与函数：xy=1 五、立体几何与变换,一、离散与连续 以e为底的指数型函数模型的建立,从指数函数说起,底数为什么不等于1？,数据触目惊心,37.78 0.0255 37.78/0.02551480 技术的价值：快速计算 数学上如何认识？,数学模型,抽象、推理、模型 数量关系、空间形式 精确的定量描述、严密的逻辑推理 数学模型,表格、解析式、图象,指数函数,函 数,变化规律 如何变化？ 增减性 变化的快慢 数学的价值 数学内在逻辑力量,
2、一个与储蓄有关的问题,i表示年利率，比如3.25% n表示存款年限，比如一年、二年 按复利计算，本金1000元，n年后的本息和,m个复利结算周期,当每年含有m个复利结算周期，例如，若一个月为一个复利结算周期，则m=12，,结算周期越来越短,很显然，结算周期越来越短时，本息和越来越大。 当m趋于无穷大时，本息和是否也趋于无穷大呢？,e：由离散到连续,马尔萨斯人口增长模型,放射性物质的衰减,多元联系表示,关于“e”的研究性学习,数缺形时少直观形少数时难入微,直观：整体、宏观，变化的规律 微：局部、细小，数学内在的力量 局部，有限 数量关系可以对“微”进行无限的解读 只有“形”没有“数”不是理性思维
3、 先知其然：“形”，然后知其所以然：“数”,数字化,信息技术发展的核心动力是人类测量、记录和分析世界的渴望。 数字化是指把模拟数据转化成用0和1表示的二进制码，这样电脑就可以处理这些数据了。 数字化并不是计算机改革的开始，最初的计算机革命是计算能力的飞跃。后来出现了模拟数据和数字化。,模拟数据也成为模拟量，相对于数字量而言，指的是取值范围是连续的变量或数值，例如声音、图象、温度和压力。模拟数据一般采用模拟信号，例如用一系列连续变化的电磁波或电压信号来表示。 数字数据也成为数字量，先对于模拟量而言，指的是取值范围是离散的变量或者数值。数字数据采用数字信号，例如用一系列断续变化的电压脉冲或光脉冲来
4、表示（如用恒定的正电压表示二进制数1，用恒定的负电压表示二进制数0）。,连续与离散：技术使任意精度的离散成为可能。过去为了考虑问题的方便，同时囿于技术，我们常常从连续角度思考问题：假设变化时时刻刻都在发生 用离散检验连续：数学模型的适切度 大容量存储，高速度运算，超级数据库 轻而易举的数据提取，无所不在的互联网， 物美价廉的信息消费,函 数,常量到变量 变化规律 变化的快慢 均匀变化、不均匀变化 平均变化、瞬时变化 区间与点 实数集、连续 整体考虑：数学分析,二、“生日悖论”,2014年6月21日北京晚报第36版“新闻点点评”一则消息,巴西世界杯每支参赛队伍有23名球员，据统计，在32支参赛队
5、伍中，16支队伍的中生日相同的球员，其中又有5支队伍甚至有两对生日相同的球员。,“生日悖论”,日本科学家解释做了这背后的道理：如果一个群体里有23或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率就会大于50%，对于拥有60或者更多人的群体，这种概率要大于99%。 点点评：数学好的算算看。,“悖论”,“生日悖论”问题是数学中的一个古老话题。 之所以称之为“悖论”，是因为这个数学事实与一般人的直觉有冲突。一般人会认为，任意23人中至少有2人生日相同的概率应该远远小于50%。 “生日悖论”由此而来。,数学解释（一）,数学解释（二）,数学解释（三）,“组合”的魅力,理解“生日悖论”的关键在于领会相同
6、生日的搭配相当多。，23个人可以产生23 22/2 = 253种不同的搭配，而每一种搭配都有相同的可能。从这样的角度看，在253种搭配中产生一对相同的并不是不可思议。,古典概型,结果有限，每种结果等可能 二项分布、超几何分布、几何分布 解释生活中的现象：,概 率,古典概型 几何概型 概率的统计定义：用频率估计概率 随机变量 分布列：有限、可列 随机变量的数字特征：数学期望、方差 离散型随机变量的分布,排列、组合,非常经典的数学内容 计数需要 分类加法计数原理、分布乘法计数原理 实际需要，数学的理性归纳 万变不离其宗 “出难题很容易” 排列、组合公式的现实模型,大数据时代,统计与概率的关系 概率
7、统计的内容还需要加强 大数据时代：数据的结构性与混杂性，相关关系与因果关系 预测与推断 数据的收集、整理、分析,三、一个“特殊”的三角形,问 题,是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的ABC？,基本假设,三角形存在 大边对大角 三条边差异不大 三个角之间的大小关系：大角是小角的2倍,常规方法：通性通法,解三角形：余弦定理（用边表示角）、正弦定理（角的正弦与对边的比相等） 二倍角的余弦的关系（三角函数） 解一元三次方程,多种情况,中角是小角的2倍 大角是中角的2倍 这两种情况，或三边无法构成三角形，或无整数解，从而否定这两种情况,通性通法麻烦吗？,一个三角形中解
8、三边相当麻烦，思路简单，但是过程相当繁杂，不是好方法 通过角的关系“借”一个三角形，建立两个三角形之间的关系：相似，构造对应边之间的比例关系，解决问题,三角形的形状,三边：4，5，6 三角：41.4，55.8 ，82.8 边之间的关系、角之间的关系 边、角之间的关系 定性描述到定量刻画 图形性质的灵活应用,四、方程 与函数：xy=1,函数与解析几何的联系与综合,为什么二次函数的图象是抛物线？ 为什么反比例函数xy=1的图象是双曲线？ 抛物线的光学性质 二元二次方程组 几何图形的性质，代数运算的复杂度,五、立体几何与变换,立体几何,形状、大小和位置关系 空间图形：平面图形、立体图形 点、线、面、
9、体 结构特征、视图：空间想象、几何直观 借助图形，进行推理论证，把握图形中的数量关系和位置关系 图形向量化、坐标化：点用坐标（向量）表示，直线的方向向量、平面的法向量，平面向量基本定理,变换：全等、相似、拓扑 变换的角度：多面体欧拉公式 正多面体的种类：四、六、八、十二、二十 拓扑角度：多面体与球等价 足球与C60：12块正五边形、20块正六边形 对图形的认识更全面,教科书结构体系,综合编排 分科编排,认识世界、把握世界,学习是人类认识世界、把握世界的唯一方式。只有更好地认识世界，才能与自然、社会和谐相处。 数学是人类认识世界的重要工具，也是认识世界的产物。,理性思维,概念、判断、推理；比较、分析、综合、抽象和概括 概念对事物本质属性的概括，判断在概念的基础上对事物的各种关系进行区分、识别；推理由一个已知的判断推出下一个判断。理性认识的这三种形式是认识的不断深化，具有递进性。 只有加强理性思维，才能更好地认识数学的科学、应用和文化价值。,
