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1、弹塑性力学第10章 结构的塑性极限分析与安定性,第10章 结构的塑性极限分析与安定性,梁的弹塑性弯曲 塑性极限分析的定理与方法 梁的极限分析 刚架的极限分析 轴对称圆板的极限分析 结构的安定性,弹塑性结构的塑性极限载荷是表征结构承载能力的最大值。按塑性极限承载能力进行结构设计，不仅可以充分发挥材料的塑性性能，而且还可以得到反映结构真实安全裕度的参数。 为了确定结构的塑性极限载荷，可以采用弹塑性分析的方法，即随着载荷的不断增加，结构由弹性状态进入弹塑性状态，最后达到塑性极限状态。 在这种分析方法中，需要了解整个加载过程，而且由于材料的物理关系是非线性的，只有对于比较简单的问题求解是方便的。 如果
2、不考虑结构的变形过程，而直接分析它的塑性极限状态，则使问题的分析大为简化，所得塑性极限载荷与按弹塑性分析方法所得结果是完全一样的，这就是塑性极限分析的方法。,对结构进行塑性极限分析可以得到以下三个方面的结果，即： （1）结构的塑性极限载荷； （2）达到塑性极限状态时的应力（或内力）分布； （3）结构达到塑性极限状态的瞬间所形成的破损机构。 在变值载荷作用下，对结构的破坏型式与承载能力进行分析，则是结构塑性安定性的研究内容。在一般情况下，结构实现安定性的载荷值要比塑性极限载荷低得多；在有些情况下，安定载荷接近或等于塑性极限载荷。,101 梁的弹塑性弯曲,基本假设： （1）在梁横截面上，只考虑正应
3、力，忽略挤压应力；由于塑性区的剪应力分量为零，在梁的屈服条件中仅包含正应力。 （2）在弯曲变形时，梁的横截面始终保持为平面，且与变形后的梁轴相垂直。 （3）在梁达到塑性极限状态的瞬间之前，其挠度与横截面尺寸相比为一个小量，即梁在发生无约束塑性变形之前，关于小挠度的假设依然成立。,材料为理想弹塑性，只有正应力x= (x, z)，其余应力分量均为零。正应力与弯矩M之间的关系为 应变与梁轴挠曲曲率K之间的关系为 x = -Kz 曲率K与挠度w之间的关系为 梁截面上的屈服条件为 = s,（a） （b） （c） （a）弹性极限荷载；（b）弹塑性荷载；（c）塑性极限荷载,塑性铰,简支梁塑性铰 （a）理想弹
4、塑性材料；（b）刚塑性材料,塑性铰,当截面全部进入塑性时，其弯矩Mp称为截面的塑性极限弯矩。 由于跨中截面的上下两个塑性区互相沟通，将使跨中左右两边的截面产生相对转动，正如普通结构铰的作用一样，跨中出现了塑性铰。 塑性铰与结构铰的比较： 相同点允许梁产生转动； 不同点塑性铰的存在是由于该截面上存在弯矩M = Mp；塑性铰为单向铰，即梁截面的转动方向与塑性极限弯矩的方向一致，否则将使塑性铰消失。,极限条件,极限条件又称广义屈服条件，它是梁截面全部进入塑性时其内力组合达到临界值的条件。由应力分量表示的屈服条件以及在极限状态下对截面上应力分布的假设可以得到极限条件 M = Mp 对于静定梁，当跨中截
5、面M = Mp，即出现一个塑性铰，则该梁形成破坏机构，丧失继续承载的能力。若为超静定梁，则需要形成足够多的塑性铰才能使梁成为破坏机构。,弯矩与曲率的关系,102 塑性极限分析的定理与方法,结构塑性极限分析中的几个假设： （1）材料的应力应变模型是理想刚塑性的，即不考虑材料的弹性变形及强化效应。 （2）在达到塑性极限状态的瞬间之前，结构的变形足够小，且不会失去稳定性。 （3）所有外载荷都按同一比例增加。,结构在塑性极限的临界状态下应满足的条件,（1）平衡条件，即满足平衡方程及静力边界条件。 （2）极限条件，即结构达到塑性极限状态时的内力场不违背极限条件。 （3）破坏机构条件，即在塑性极限状态下，
6、结构丧失承载力时形成破坏机构的形式，它表征了结构破坏时的运动趋势（规律）。 满足以上三个条件的解称为极限分析的完全解。塑性极限分析定理则给出了放松一个方面条件时所得解答的性质，并由此导出了极限分析的方法。,下限定理,下限定理表述为：任何一个静力容许的内力场所对应的载荷是极限载荷的下限，或者说，静力容许载荷系数是极限载荷系数的下限，即 s l 其中， s为静力容许载荷系数；l为塑性极限载荷系数。 下限定理条件放松破坏机构条件，即结构的内力（广义应力）场满足平衡条件，并不违背极限条件，这样的内力场称为静力容许的内力场。,上限定理,上限定理表述为：任何一个机动容许的位移（速度）场所对应的载荷（破坏载
7、荷）是极限载荷的上限，或者说，机动容许载荷系数是极限载荷系数的上限，即 k l 其中， k为静力容许载荷系数；l为塑性极限载荷系数。 上限定理条件放松极限条件，选择破坏机构，并使载荷在其位移速度场上所作总功为正，则该位移速度场称为机动容许的位移（速度）场，相应的载荷称为破坏载荷。位移速度场对应的内力场也是静力容许的。,由上、下限定理可知 k l s 当上式取等式时，由静力容许的应力场求得 s与由机动容许位移速度场求得 k相等，该载荷系数同时满足三个方面的条件，即为极限载荷系数的完全解l。 利用上、下限定理，可以求得极限载荷（系数）的上、下限解或完全解，相应的方法称为机动法与静力法。,静力法求解
8、步骤,（1）建立静力容许的应力场，即取满足平衡条件且不违背屈服（极限）条件的应力（内力）场。例如在梁的极限分析时，应先确定弯矩图，并取某些弯矩的驻值为Mp，整个内力场中有Mx Mp。 （2）由静力容许的应力（内力）场确定所对应的载荷，且为极限载荷的下限Pl-（或 s）。 （3）在若干个极限载荷的下限解中取其最大值 Pl-max。检查在该载荷作用下结构能否成为破坏机构，即是否存在一个对应的机动容许的位移场。若能成为机构，则Pl-max为极限载荷的完全解，即Pl-max= Pl；否则， Pl-max为Pl的一个近似解，且为其下限。,机动法求解步骤,（1）选择一个破坏机构，该机构不仅是几何上允许的，
9、而且应使外力所做总功为正，由此建立机动容许的位移（速度）场。 （2）由外功（率）与内功（率）相等的条件求得破坏载荷Pl+（或 k）。 （3）在若干个破坏载荷中取最小值Pl+min。检查在该载荷作用下的内力场是否为静力所容许，即是否违背极限条件。若内力场是静力容许的，则Pl+min为极限载荷的完全解，即Pl+min= Pl；否则，Pl+min为Pl的一个近似解，且为其上限。,103 梁的极限分析,【例1】如图所示简支梁，梁截面的塑性极限弯矩为Mp。由于在静定梁中无多余约束，其内力由静力平衡条件唯一确定，即建立起内力（弯矩）与外载荷的关系式。而且，在静定梁中仅需要一个截面达到全塑性状态（即形成一个
10、塑性铰）该梁就可成为破坏机构。取弯矩图中仅有的一个最大值，并令其等于Mp就可得到极限载荷的完全解。,完全解Pl = 2Mp/l,【例2】两端固定梁，截面的塑性极限弯矩为Mp。 静力法首先确定其弯矩图，为此可由相应的两个静定梁（图a）的弯矩叠加而成。取静力容许内力场 MA = MB = -M1 = -Mp MC= Pl/4 - M1 = Mp 得 Pl- = 8Mp/l,机动法在A、B、C处令其形成塑性铰（图c），其位移场使外力作正功，是机动容许的。外力功与内力功分别为 We= P Wi = Mp + 2Mp + Mp 由We= Wi 以及 = 2/l得 Pl+ = 8Mp/l 由于上限解与下限
11、解相同，该结果即为极限载荷的完全解。,Pl- = Pl+ = Pl = 8Mp/l,小结在该梁上仅承受垂直载荷的作用，可以不考虑沿梁轴方向的位移约束，此时固支条件与简支条件相同，即可将该梁视为二次超静定的。设梁的超静定次数为n，形成塑性铰的数目为r，在一般情况下，当r = n + 1时，梁可成为破坏机构。通常在梁的固支端以及集中载荷作用处截面（弯矩为驻值的截面）形成塑性铰。,【例3】左端固支、右端简支的梁，截面的塑性极限弯矩为Mp。 静力法首先确定其弯矩图，为此可由两个静定梁的弯矩图叠加而成。 令 MA = -M1 = -Mp MC = (Pl - M1)/2 = Mp 则该内力场是静力容许的
12、，得 Pl- = 3Mp/l,机动法取破坏机构如图（c）所示，塑性铰数r = n + 1 = 2，位于截面A、C处，该机构使外力作功为正，是机动容许的。外力功与内力功分别为 We= P = Pl Wi = Mp + 2Mp = 3Mp 由We= Wi 得 Pl+ = 3Mp/l 上限解与下限解相同，该结果即为完全解。,Pl- = Pl+ = Pl = 3Mp/l,注意在确定静力容许的内力场时，若能考虑到形成破坏机构所需的塑性铰数，则得到的解答可以接近或等于完全解。若确定的弯矩绝对值等于Mp的截面数小于形成破坏机构的塑性铰数，此时应检查其余的弯矩为驻值的截面，它们的数值不应超过Mp，否则，其内力
13、场不是静力容许的，对应的载荷也不是下限解。,如令 MA= -3Pl/8 = -Mp 则 MC = 5Mp/6 Mp 静力容许，Pl- = 8Mp/(3l)。 如令 MC = 5Pl/16 = Mp 则 MC = -6Mp/5 -Mp 静力不容许，Pl* = 16Mp/(5l) 不是下限解。,例4例6自己看，主要注意原则、思路和方法。,104 刚架的极限分析,在外载荷的作用下，刚架的内力有弯矩、轴力以及剪力。在门式刚架中，轴向力比较小，可以不考虑它对截面进入极限状态的影响；在极限状态下，剪应力分量为零。因此，刚架的极限条件与梁分析时的极限条件完全相同。 刚架极限分析的方法有静力法、机动法以及机构
14、叠加法。,静力法,（1）先求各截面的控制弯矩，即建立弯矩与外载的关系； （2）令控制弯矩中有（ n + 1）处达到塑性极限弯矩，由此建立起静力容许的内力场，并求其对应的载荷（即下限解）； （3）如果内力场为静力容许，且形成破坏机构，则此下限解即为完全解。 在假设若干个截面达到塑性极限弯矩后，必须对其余控制弯矩进行检验，只有它们的数值小于Mp时，该内力场才是静力容许的，否则，求得的解答将是一个上限解。,机动法,（1）首先建立机动容许的位移场，选择破坏机构不仅是几何可能的，而且使外力所作总功为正； （2）然后由外功与内功相等的条件求得各破坏机构所对应的载荷Pl+； （3）最后由Pl+min检查所对
15、应的内力场，若满足M Mp，则Pl+min为其完全解，否则只为其近似解。,基本机构与叠加机构,基本机构： 梁机构刚架中受弯杆件 层机构在水平载荷作用下，柱的顶端与底部出现塑性铰，使同一层或若干层一起发生侧向运动而形成的破坏机构 节点机构节点由三杆或三杆以上组成时，在相交端各自出现塑性铰时，使节点发生刚性转动的节点转动机构 叠加机构两种或以上基本机构叠加起来的机构,图示刚架中有哪些基本机构？有哪些叠加机构？,机构叠加法基本原理,叠加机构的外功等于各基本机构的外功之和，而叠加过程中塑性铰的消失使叠加机构的内功小于各基本机构的内功之和，由此可以得到较小的破坏载荷。利用机构的叠加可以获得上限解的最小可
16、能值，对于较复杂的刚架，Pl+min对应的破坏机构可能由几个基本机构叠加而成。,机构叠加法计算步骤,（1）由刚架的超静定次数n及可能塑性铰的个数r0确定基本机构数目，即m = r0 - n，并确定基本机构的型式。 （2）写出各基本机构的虚功方程式，并求出各基本机构的破坏载荷Pl+。 （3）将基本机构叠加，使某些塑性铰消失，并求得各叠加机构的破坏载荷Pl+。 （4）由基本机构及叠加机构的破坏载荷中取Pl+min，并求出该机构塑性铰消失处的弯矩，内力场静力容许时，相应载荷为完全解；否则为其近似解，或由此找到极限载荷上、下限解的范围。 一般列表计算。,106 结构的安定性,在变值载荷作用下结构的破坏型式 塑性累积破坏。在载荷的每一个循环过程中，结构的同一局部将产生相同符号的塑性变形，随着载荷循环次数的增加，使得塑性变形不断累积，在塑性变形的累积达到不允许的程度时结构失效。 塑性循环破坏。在载荷的每一个循环过程中，结构的同一局部将产生异号的塑性变形，这种反复改变符号的塑性变形可导致结构在不多的循环次数后
