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1、1,2.2 阿普尔鲍姆阵,考虑到如图2.26所示的N元自适应阵,具有解析信号 和复加权 . 通常,信号矢量为:,2.2.1 最佳准则,阿普尔鲍姆阵是基于使阵输出端的需要信号与不需要信号(干扰和噪音)之比最大的概念.下面将首先给出阿普尔鲍姆阵的推导,然后讨论阿普尔鲍姆阵与LMS 阵的关系.,(2.199),图2.26 N元自适应阵,将信号矢量分为需要信号,干扰和热噪音信号项:,(2.200),2,阵的输出也可按同样方式分为:,(2.201),因此,阵输出端的需要信号功率, 干扰功率和热噪音功率分别为:,(2.202)-(2.204),定义阵输出端的总的不需要功率 为:,(2.205),采用最佳准
2、则来调整加权,以使下面的量最大:,(2.206),首先假设阵接收的需要信号是“窄带” 的,则需要信号矢量可写为:,(2.207),3,其中 a 表征需要信号的幅度和时间依赖关系的比例因子.而矢量 则包含阵元间的相移和阵元方向图.,式中, 为幅度调制, 为相位调制.,(2.212),(2.213),而 为空间相位差因子.若第i个阵元方向图为 ,则:,式中 为阵元1与阵元i 之间的相位移.,为了在矢量 中分离出阵元间的相移 ,窄带的假设是必要的. 对一个到达的信号,两阵元间的相对相移为频率的函数.若需要信号是宽带的,则对该宽带内的不同频率,阵元间的相移将不同.窄带假设意味着在整个带宽内 实质上为常
3、数.,4,阵输出的需要信号为:,(2.214),因此,输出的需要信号功率为:,(2.215),现在来看不需要的输出信号功率 .假设信号矢量 和 是统计独立的零均值随机过程,则:,注意 可以写为:,(2.216),(2.217),而式中:,(2.218),对于给定的加权矢量 , 阵输出端的不需要信号 为:,(2.219),5,因此,不需要的输出功率为:,(2.220),因而,阿普尔鲍姆阵要寻求最大的量为:,(2.221),-Applebaum 准则,6,2.2.2 最佳加权矢量,研究阿普尔鲍姆阵的第一步就是要证明式(2.221)的比值最大的加权矢量为:,(2.222),式中 为任意比例常数.,证
4、明:,首先对加权矢量进行坐标旋转,令:,(2.223),因为 , 故可以得到:,(2.224),选择A使得 ,可以得到:,又因为 ,代入式(2.224)中:,式中A为 矩阵, 为元素是 的 列矢量.,(2.230),7,(2.231),式中,因此,变换 可以视为将实际接收的信号 和 变换成新信号 和 . 如图2.27所示.,图2.27 变换,因而, 阵的输出信号可用矢量 对 和 加权得到. 变换 与加权矢量 结合等效于 中原来的加权矢量,8,又因为:,(2.234),所以变换 使总的不需要信号矢量 的各分量之间互不相关.,经同样变换之后得到需要信号矢量为:,(2.235),式中:,因此,阵的输
5、出需要信号为:,(2.237),而输出的需要信号功率为:,(2.238),因而可以得到:,(2.239),(2.236),9,现在将要证明当按下式选取 时,式(2.239)可以获得最大比值:,(2.240),式中 为任意常数.为此,利用许瓦兹不等式:,(2.241),式中 和 分别为 和 的分量. 将不等式代入式(2.239)得到:,(2.242),然而,若 ,则由式(2.239)可得:,(2.243),所以,对于式(2.240)所示的 值, SINR 能够达到最大容许值.,10,此时,变换 后采用的加权矢量 等效于由下式给出的加权矢量:,(2.244),将 代入式 中, 并利用式 就可以得到
6、:,(2.245),这就是式(2.222)所要求的结果.,11,2.2.3 阿普尔鲍姆阵反馈环,根据式(2.222)所表示的最佳加权矢量,阿普尔鲍姆阵利用如图2.28所示的反馈环作为自适应环来产生阵的加权矢量 .,图2.28 阿普尔鲍姆阵,图中, G 为增益常数, 为低通滤波器的时间常数,而s 表示频率. 变量 为 的第 j 个元素.,12,为了证明图2.28的环路能够产生正确的稳态阵加权 , 需先确定对该环路的 的微分方程.如图2.28所示的那样, 令低通滤波器的输出用 表示.则 满足方程:,(2.246),因为 与 有下列关系:,(2.247),所以有:,(2.248),(2.249),将
7、上面两式代入式(2.246)中,便得到关于 的微分方程:,(2.250),将该微分方程写成矢量形式:,(2.251),13,最后,代入 并进行整理得到:,(2.252),假设加权矢量的响应速度比 起伏的速度低几个数量级,则有下列近似:,(2.253),所以加权的微分方程变为:,(2.254),因此,这个环所对应的稳态加权矢量为:,(2.255),若环增益足够大,上式可近似为:,(2.256),14,15,2.2.4 变型的阿普尔鲍姆环,若在图2.28的环路结构中作一点小的变动,便可消去1/G项.实际上,若用图2.29的环代替图2.28的环,便有:,图2.29 阿普尔鲍姆环的另一种形式,16,(
8、2.258),相应的矢量形式为:,(2.259),代入 ,并加以整理得到:,(2.260),或利用近似式 得到:,(2.261),此环产生的稳态加权矢量为:,(2.262),它并不需要G 必须是足够大的限制条件.,17,2.2.5 操纵矢量,假设在图2.29中所示的环路中用矢量 代替 ,则阵加权满足的微分方程为:,(2.271),则稳态的加权矢量为:,(2.272),假设没有信号入射到阵上.信号 中仅含有热噪音,上式中 简化为:,(2.273),此时,由式(2.272)所表示的稳态加权矢量为:,(2.274),所以在没有信号到来时,加权矢量与 仅差一个标量因子.当没有信号入射到阵上时,称阵处于
9、静止状态.此时,阵的方向图由 决定,并将此方向图称为阵的静态方向图.显然,可以选择 来得到需要的阵的静态方向图.,18,2.2.6 LMS阵和阿普尔鲍姆阵的关系,LMS阵和阿普尔鲍姆阵的关系很简单. 阿普尔鲍姆阵的加权满足式(2.271):,(2.275),LMS阵的加权满足式(2.86):,(2.276),若 , 则两个阵的性能将完全一样.由于 和 只差一个标量因子, 基于最小均方误差信号的LMS阵的稳态加权同样也产生最大SINR.,19,.LMS阵:,不需要任何关于需要信号到达角的先验知识;,只需要一个与需要信号相关的参考信号;,适用于通信系统中.,LMS阵和阿普尔鲍姆阵的差别主要体现在应用方面:,.阿普尔鲍姆阵:,不需要知道信号的波形;,适用于雷达系统中.,需要预先知道需要信号的到达角;,
