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1、多媒体教学课件,复变函数论,第五章 留数理论,第5.1节 留数及其计算 第5.2节 留数定理及其推广 第5.3节 应用于积分计算 第5.4节 辐角原理和儒歇定理,第5.1节 留数及其计算,先计算积分 这是一个广义积分，它显然是收敛的。我们应用留数定理来计算它。 考虑函数 这个函数有两个二阶极 点，在上半平面上的一 个是z=i。,作以O为心、r为半径的圆盘。考虑这一圆盘在上半平面的部分，设其边界为 。取r1，那么z=i包含在 的内区域内。沿 取f(z)的积分，则有,现在估计积分 ，有,因此,1.留数的概念,设函数f(z)在点z0解析。作圆,等于零。,设函数f(z)在区域0| z-z0|R内解析。
2、选取r，使0rR，并且作圆,那么如果f(z)在z0也解析，则上面的积分也等于零；,使f(z)在以它为边界的闭圆盘上解析，那么根据柯西定理，积分,定义5.1 如果z0是f(z)的孤立奇点，则上述积分就不一定等于零；这时，我们把积分,留数的概念,定义为f(z)在孤立奇点z0的留数，记作,这里积分是沿着C按反时针方向取的。,注解,注解1、我们定义的留数Res(f, z0) 与圆C的半径 r无关：事实上，在0| z-z0|R内，f(z)有洛朗展式：,而且这一展式在C上一致收敛。逐项积分，我们有,因此，,注解,注解2、即f(z)在孤立奇点z0的留数等于其洛朗级数展式中,的系数。,注解3、如果z0是f(z
3、)的可去奇点，那么,留数的求法,方法一：前述 方法二：设z0为f的一阶极点，则 方法三： 其中P(z)及Q(z)在 解析，且,留数的求法,方法四：。设z0是f(z)的一个m阶极点(m1)。则在 z0附近有 其中， 在 z0解析，且 ，则 因此,2.在无穷远点的留数 设函数 f (z)在圆环域 R|z|内解析, C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线, 则积分,的值与C无关, 称其为f (z)在点的留数, 记作,f (z)在圆环域 R|z|内解析：,理解为圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线。,这就是说, f (z)在点的留数等于它在点的去心邻域 R|z|+内洛朗展开式中 z-1 的系数变号.,第5
4、.2节 留数定理及其推广,定理5.1（留数定理）设D是由复合闭路 所围的有界多连通域。设f(z)在D内除去有孤立奇点 外解析，并且连续到C，则：,这里沿C的积分按关于区域D的正向取的。,留数定理的基本思想,留数定理的证明 ：,证明：以D内每一个孤立奇点zk为心，作圆Ck，,使以它为边界的闭圆盘上每一点都在D内，并且 使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点。从D中 除去以这些Ck为边界的闭圆盘的一个区域G， 其边界是C以及Ck，,在G及其边界所组成的闭区域上，f(z)解析。因此根据柯西定理，,这里沿C的积分按关于区域D的正向取的，沿Ck 的积分按反时针方向取的。根据留数的定义， 得定理的结论成立。,
5、留数定理的证明 ：,注解1、留数定理在两个从定义上看，完全不同，也不相干的概念之间架起一个桥梁，是非常重要的。 注解2、具体计算一定要注意前面的系数,定理5.2 如果 f (z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点, 那末 f (z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.,证：除点外, 设f (z)的有限个奇点为zk(k=1,2,.,n). 且C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,.,n)包含在它内部的正向简单闭曲线, 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有,注：定理5.2给出了扩充复平面内只有有限个孤立奇点时的关系，是一个方程，说明此类问题实际计算时可以转化求解；,所以方法五 成立.,例
6、 5.9,发现在|z|4有五个孤立起点，故可以将问题转化为求无穷远点的留数,2.推广的留数定理,若孤立起点在边界上时，可以将留数定理进行推广：,设D是由复合闭路 所围成的有界多连通域， ，f(z)在D内解析，在 连续，在 有关于D的 阶极点（ ），则,其中，L取关于D的正向， 是 处关于域D的张角,2.推广的留数定理,定理5.3(路见可定理）设D是由复合闭路 所围成的有界多连通域， ，设函数 f(z)在 内解析,在 连续， f(z)在 分别有关于D的 阶极点j=1,2,N)， 则,其中 为 处关于D的张度，L取关于D的正向，积分在 每个 处在高阶奇异积分（重极点时）或柯西主值（单极点 时）意义下理解。,
