第4章 水文统计基本知识及方法

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1、1,工程水文学,2,第4章 水文统计的基本知识及方法,4.1 概述 4.2 概率的基本概念 4.3 随机变量及其概率分布 4.4 统计参数估算 4.5 现行水文频率计算方法适线法 4.6 相关分析,3,水文现象 水文现象受多种因素影响，具有随机性，故为随机现象。譬如： 同一距离用同一皮尺测多次，所得的结果彼此有差异； 给定相同的降雨强度和降雨时间，在同一块场地上进行多次 人工降雨实验，每次所得结果彼此不同； 某水文站年平均流量每年都不相同。 上述例子说明，在基本条件保持不变的情况下，多次试验会获得不一致的结果。其原因是除主要条件外，还有许多次要因素作用。 随机性规律需要用大量资料加以统计，以得

2、到统计规律及相应的数字特征，常采用概率论和数理统计进行研究。,4.1 概述,4,水文统计 将概率论和数理统计理论引入水文学，研究水文现象的统计变化规律和数字特征的学科被称为水文统计。 基本任务利用所获得的水文、气象资料，研究和分析随机水文现象（如河川径流）的统计变化规律，并以此为基础，对其未来的长期变化作出概率意义下的定量预估，为水利工程的规划、设计、施工和运行管理提供水文依据。 譬如： 某流域修建一个水库，其规模取决于水库运行期间(未来 100年)的径流和洪水的大小。但是，未来100年的径流 和洪水有多大？必须做出估计。 南水北调工程西线方案中，调多少水量为最优？ 某水电站装机容量和多年平均

3、发电量是多少？等等,5,4.2 概率的基本概念,事件：在一定的条件组合下，随机试验的结果。其结果分为三类：必然事件、不可能事件和随机事件。 概率：随机事件A出现的可能性大小，称为事件A发生的概率，计算式为 P(A)m/n 式中，P(A)为事件A的概率；m为事件A出现的次数；n为所有试验次数。 上式为古典随机试验，满足“随机等可能，独立同分布”。,6,事实上，由于水文事件不具备这种性质。为此，要计算随机水文事件的概率，引出了“频率”的概念。 频率：设随机事件A在重复试验n次中出现m次，则称为事件A的频率。即 W(A)m/n 实践证明，当n时，P(A)稳定并趋于概率值。水文上，将计算的频率作为概率

4、的近似值。,7,4.3.1 随机变量 概念：指随机试验结果发生变化的变量，分为离散型的和连续型的随机变量两类。水文统计研究的对象是水文随机变量。 连续型随机变量 自记水位过程 Z(t)t 自记雨量过程 P(t)t,4.3 随机变量及其概率分布,8,离散型随机变量 年降雨量 X=x1，X=x2，X=xn-1， X=xn 年径流量 W =W1，X=W2，X=Wn-1， X=Wn 年最大洪峰 Qm =Qm1，X=Qm2，X=Qmn-1， X=Qmn 年最高水位 ZmZm1，XZm2，XZmn1，XZmn,9,4.3.2 随机变量的概率分布 离散型的用随机变量的分布序列表示，即 P(Xxi)pi (i

5、1，2，n) 其概率分布满足两个条件：0pi1，且 pi1 连续型的用随机变量X大于某值xp的概率p表示， 即 F(X)P(Xx)x-f(x)dx 或 F(X)P(Xxp)p 密度函数：分布函数导数的负值，记为f(x)，即 f(x)-F(x)-dF(x)/dx,10,如p.80 所示，则有 F(X)P(Xx)xpf(x)dx 其概率分布曲线如p.80 所示，也称作水文频率曲线或累积频率曲线。,图4-4,11,4.3.3 随机变量的分布(统计) 参数 一方面，虽然随机变量的概率分布能完整地描述其统计变化规律，实际上，有时仅需要知道它的统计参数（数字特征）就足够了。 另一方面，随机变量的统计参数分

6、为总体统计参数和样本统计参数，而水文随机变量的总体始终是未知的，所以只能用样本统计参数来估计总体的统计参数。 水文水利计算中常用的统计参数包括位置特征参数(平均数、众数、中位数)和离散特征参数(均值、均方差、变差系数、偏态系数等)。,12,位置特征参数 描述随机变量在数轴上位置的特征数。 平均数 随机分布的中心 离散型平均数： E(X)ni=1xipi 连续型平均数： E(X)ab x f(x)dx 众数 概率密度分布的峰点值 p.81 Fig.5-5 中位数 位置居中的数字 p.81 Fig.5-6,13,均值或数学期望值 或 E(x) 离散型随机变量 连续型随机变量 设水文随机变量观测序列

7、x1，x2，x3，xn，则其均值为： 均值为分布的中心，表示系列的平均情况，即总体水平的高低，能反映出河流规模的大小。,14,将上式两端同除以均值，则有 式中， 称为模比系数或变率。 表明模比系数的均值等于1。利用Ki，能使随机变量数字特征的表达式中减少一个参数。,15,标准差(均方差) 离散型随机变量 连续型随机变量 设有水文随机变量观测序列x1，x2，x3，xn， 则均方差为：,离散特征参数 刻划随机变量分布离散程度的指标。,16,均方差表示分布函数的绝对离散程度；均方差越大，分布函数越分散，其值变化幅度也越大，反之亦然。,图4-7,17,离势系数(离差系数或变差系数) Cv 离差系数表示

8、分布函数的相对离散程度；Cv越大，分布函数越分散，反之亦然。,图4-8,18,例1：若系列1为5，10，15和系列2为1，10，19；计算均方差并比较它们的离散程度。 答案1：14.08和27.35 例2：若序列1为5，10，15和序列2为995，1000，1005；计算变差系数并比较它们的离散程度。 答案2：EX110，14.08，Cv1=0.408和EX21000， 24.08，Cv20.00408 问1：甲地区年降雨量的均值为1200mm，均方差为1360mm；乙地区年降雨量的均值为800mm，均方差为1320mm。试比较甲、乙两地区降水量的分散程度。 问2：一条河流上、下游断面的年平均

9、流量的Cv值哪个大？为什么？,19,偏态系数(偏差系数) Cs 或 偏差系数表示分布函数的对称程度。 Cs0时，分布函数对称，随机变量大于均值与小于均值出现机会相等； Cs0时，分布函数正偏，随机变量大于均值比小于均值出现的机会小； Cs0时，分布函数负偏，随机变量大于均值比小于均值出现的机会大；,图5-9,20,理论频率曲线：由实测的水文要素样本系列，通过理论频率分布方程式估算出相应的频率值，再用频率曲线拟合频率点据所得到的频率曲线。 常用的理论频率分布 从定义 可知：若p已知，推求设计值Xp的关键在于确定随机变量X的概率密度函数f(x)。由于水文随机变量复杂多变，其概率分布的确定十分困难。

10、 目前，国内外水文计算中经常使用的概率分布曲线(或水文频率曲线)，大致可分为正态分布和P-III型分布两种类型。,4.3.4 几种常用的概率分布曲线,21,1）正态分布型：包括正态分布、对数正态分布、三参数对数正态分布、 正态分布 概率密度函数，XN(u,2)，其均值u和均方差完全确定了分布函数的形状。一般地，水文测量误差、抽样误差服从正态分布。 密度曲线的特点：单峰； 关于均值u对称，即Cs0； 曲线两端无限，且与x轴渐进； 处出现拐点，曲线与x轴围成 的面积为68.3%；3之间的曲 线与x轴围成的面积为99.7%。,图5-10,22,2）皮尔逊(Pearson)分布型：包括PIII型分布、

11、对数PIII型分布、 PIII型分布 英国生物学家皮尔逊研究各种非正态分布函数曲线时，提出了13种分布曲线类型，其中第III型被引入水文学中，其概率分布函数为 式中， 为的伽玛函数(gamma)；、a0分别为形状参数、尺度参数和位置参数。,23,PIII型曲线的形状及其特点：一端有限，另一端无限的曲线；单峰而倒置的铃形；不对称的正偏分布；其位置取决于参数a0，形状取决于，与Cs有关。、和a0三个参数一经确定，PIII型密度函数随之确定。P.84 图5-11,图5-11,24,可以证明，三参数与均值 、Cv、Cs有如下关系： 经过以往大量的研究表明，我国多数河流的水文变量近似服从PIII分布（参

12、见SL44-93水利水电工程设计洪水计算规范）。,25,离均系数 采用PIII型理论分布，对水文现象的长期变化规律作出概率意义下的定量预估，即给出指定频率p所对应的随机变量之取值xp。 例如：已知p1%（百年一遇）的设计洪峰流量，需要对密度曲线进行积分，求出等于和大于xp的累积频率p值。计算公式如下： 上式直接积分是非常繁杂的。为便于在工作中运用，因此水文上制作专用的离均系数值表，以供查算。,26,若令 ，则 或 式中，是均值为零、方差1的标准化变量，称为离均系数。 于是，对于频率p，则有： 上式包含Cs、p与p的关系。根据不同的Cs值，通过积分求出p与p之间的关系，可制成专用的值表，供查值计

13、算之用，见p.293 附表2 所示。 如：给定P和Cs值，从值表查得P，再将已知的均值和Cv代入 中，即可求出相应的xP值。类似地，取不同的p值，得到一系列的xp，便可绘制出理论频率曲线。,27,例如：某站年平均径流深系列符合p型分布，已知该系列的R1000mm，162.5mm，Cs2Cv，计算设计保证率p1%的设计年径流量。 解：由Cv/R162.5/6500.25，则 Cs2Cv0.5，p1%，查表得2.68代入 进行计算，有 R1%100(12.680.25)1670mm 另外，当Cs/Cv等于一定倍数时，可令模比系数 KP1PCv，则 变为XP KP，式中KP与p和Cs有关，可查p.2

14、95 附表3。假如有了p和xp的一组对应值，即可绘制理论频率分布曲线。,28,4.4 统计参数估算 上述各种频率曲线都含有未知的分布参数。要推求某一指定频率P的随机变量取值XP，就必须确定这些未知分布参数。 同时，前面给出了随机变量X的总体统计参数估计方法。事实上，水文变量的总体是未知的，只知道一个观测样本系列x1，x2，xn（n为样本容量），又如何用有限的样本（时间序列）估计总体的分布参数呢？ 参数估计方法有很多，如矩法、三点法、权函数法、极大似然法、概率权重矩法等。,29,4.4.1 样本估计总体 样本 随机水文系列 样本容量 样本的项数，即水文系列长度 总体 随机变量全体 这里仅介绍用矩

15、法进行PIII型分布的参数估计方法。 矩法：设水文随机变量X的一个样本x1，x2，xn，把 计算的统计参数加以修正后，可得到无偏估计值公式如下： 均值 均方差的无偏估计量 S,30,4.4.2 无偏估计量 若为未知参数的估计量，且满足E()，则称为 的无偏估计量。 由于矩法估计的统计参数(均值、Cv、Cs)具有抽样误差， 不能直接作为总体的统计参数，需进行无偏修正。 可以证明样本平均数是总体平均数的无偏估计量： E(x)E(X) 均方差的无偏估计量：,31,Cv的无偏估计量 Cs的无偏估计量 在水文频率计算中，可以用矩法估计值作为初始值，最终 采用适线法来确定。,32,4.4.3 抽样误差 用有限的样本资料计算得到的统计参数代替总体的统计参数 而引起的误差。 水文系列是一个随机抽样的样本，其分布为抽样分布。 抽样分布的误差通常用正态分布来估计。 P-III型分布的统计参数(X、Cv、Cs)的抽样误差可分别 用均方误来表示: p.87-88 公式 (4-28)、(4-29)、(430)、(431),33,关于 P-III型分布各统计参数的均方误差公式：,34,4.5.1 经验频率 由实测的水文要素样本系列，用经验频率公式计算得到的频率。 常用的有三种经验频率计算公式如下： 数学期望公式 切哥达也夫公式 海森公式 式中，p为等于和大于xm的经验频率；m为等于和大于 xm的