自动控制原理 第5章 频率法

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1、1,5-3 控制系统的开环频率特性,2,5.3.1 幅相曲线(开环极坐标图),在掌握了典型环节频率特性的基础上，可以作出系统的开环频率特性曲线，进而利用它进行系统分析。 幅相曲线的绘制方法： （1）描点法（根据幅频/相频，或者实频/虚频特性，取不同w值，描点后连线） （2）由零点-极点分布图绘制,3,（3）概略绘图法，大致确定幅相曲线的一些基本特征，只适用于最小相位系统。 通常只画出w =0+的部分，并用箭头标明w增大的方向。,4,假设最小相位系统的开环频率特性表示为： 其中： K 为开环增益 g 为积分环节个数，即系统类型,5,1.幅相曲线的起点,幅相曲线的起点即w0时，G(jw)在复平面上

2、的位置 可见幅相曲线的起始段取决于： 开环传函中积分环节的个数（系统类型） 开环增益K,6,g=2,g=0，幅相曲线起始于正实轴上的一点K g=1，幅相曲线起始于与负虚轴平行的渐近线（根据实频特性在 w=0时的符号确定位置） g=2，幅相曲线起始于与负实轴平行的渐近线（根据虚频特性在 w=0时的符号确定位置）,7,幅相曲线的终点即w+时，G(jw)在复平面上的位置 即幅相曲线的终点是原点，趋向于原点的角度 为-(n-m) 90,2.幅相曲线的终点,8,0,Re,Im,n-m=1,幅相曲线的终点,n-m=2,n-m=3,9,由于在利用Nyquist判据分析稳定性时，幅相曲线与负实轴的交点是一个关

3、键点。 令 ImG(jw)H(jw)=0 求出与负实轴交点的频率w，再代入ReG(jw)H(jw)求出交点坐标,3.与负实轴的交点,10,4. 幅相曲线形状上的特点,若开环传函中不含一阶微分环节，即m=0，则当w=0+时，幅值连续衰减，相角持续滞后，幅相曲线连续、平滑。 当包含（ts+1）环节时，则在某些频段范围内出现相位超前量，幅值放大，幅相曲线上出现凹凸。,11,5. 非最小相位系统幅相曲线的绘制,对于非最小相位系统，幅相曲线的绘制不能再沿用上述规则，而必须根据频率特性的表达式，分析幅相曲线的起点、终点等特征，从而绘制出曲线。,12,假设开环传递函数可表示为n个典型环节串联的形式，即： 则

4、开环对数幅频特性为 相频特性为,5.3.2 开环对数频率特性曲线(Bode图),可见，开环对数幅频、相频特性分别是各个组成 环节对数幅频、相频特性的叠加。,13,绘制对数幅频曲线时，通常先画出渐近线，然后在有必要时进行修正，从而得到较精确的曲线。,14,假设低频段频率特性为： 可见，这是一个直线方程，斜率为-20g (dB/dec)， 且通过w=1, L(w)=20lgK这一点（或者说通过w轴上 这一点）。,1、低频段,主要取决于开环系统中所含积分环节的个数以及开环增益K。,w,20lgK,0型系统,w,I型系统,20lgK,1,K,w,II型系统,20lgK,1,-20dB/dec,-40d

5、B/dec,15,2、完成低频段渐近线后，再继续绘制中、高频段渐近线,以 为例（设K1, T1） 先画低频段渐近线 再画出惯性环节的渐近线,w,20lgK,1,-20dB/dec,0,1/T,将曲线和叠加,熟练后，可直接先画曲线，当延伸到w=1/T时， 再将斜率下降-20dB/dec即可。,16,绘制步骤： 将开环传递整理为时间常数的标准形式，确定开环增益； 确定各环节的转折频率w1 ,w2 , ，并由小到大依次标注在w轴上； 画L(w)的低频段（ww1），其斜率取决于积分环节个数； 随着w增加， L(w)向中、高频段延伸，每经过一个转折频率，渐近线的斜率便改变一次，改变多少取决于该转折频率所

6、属典型环节的种类；,17,如有必要，对渐近线上各转折频率附近进行修正，则可得到L(w)的精确曲线。 重要概念：开环截止角频率（穿越频率）wc，即 L(w)曲线穿过0 dB线的频率。 对数相频特性：逐个作出各典型环节的对数相频特性，然后进行叠加即可得到开环系统对数相频特性j(w) 。 对于最小相位系统，当w时， j(w) (n-m) 90,18,40db,0.1,1,10,w,已知开环传递函数,20db,100,0db,-20db,-40db,30,2,-20,-40,-20,-40,19,例：绘制 的对数曲线。,解：,对数幅频：低频段：-20dB/dec 转折频率：1 5 10 斜率： -40

7、 0 -40 修正值：,对数相频：相频特性的画法为：起点，终点，转折点。 环节角度：,20,0db,20db,40db,-20db,-40db,5,-90,-180,-114.7,-93.7,-137.5,对数幅频：低频段：20/s 转折频率：1 5 10 斜率： -40 0 -40 修正值：,-20,-40,-40,21,例：已知系统的开环传递函数为 要求绘制Bode图。,可视为四个典型环节串联。,22,例：已知系统的频率特性函数为,绘制Bode图,按特征频率递增的顺序，可将各个典型环节依次排列如下：,可视为5个典型环节串联。,23,例 由Bode图确定开环传递函数。,40db,-20db,

8、-40db,0,24,-40db,-20db,-40db,0,例 由Bode图确定开环传递函数。,25,5.3.3 最小相位与非最小相位系统,例: 已知两个系统的开环传递函数分别为 试作出两系统的Bode图,26,零点-极点分布图,27,28,29,5.4 Nyquist 稳定判据,1932年，美国Bell实验室的Nyquist提出了一种根据开环频率特性曲线，判定闭环系统的稳定性的方法，被称为Nyquist判据。 Nyquist判据的理论基础是幅角原理 。,30,5.4.1 S平面上的围线映射,当复变量s沿S平面上的闭合曲线运动时，函数F(s)会将它映射为F平面上的闭合曲线。,s平面,F(s)

9、平面,31,5.4.2 幅角原理,R = P - Z,当s沿闭合曲线s以顺时针方向转过一周时,R0，逆时针包围 R=0，不包围 R0，顺时针包围,32,33,Z=0 P=1,R=P-Z=1-0=1,34,Z=3 P=1,R=P-Z=1-3=-2,35,5.4.3 Nyquist稳定性判据,假设 开环传递函数为 闭环传递函数: 定义辅助函数:,36,辅助函数F(s)的特点如下： 其零点为闭环极点，极点为开环极点； 零、极点个数相同，均为n； F(s)与G(S)H(S)只相差常数1 两个平面存在平移关系；,F围线与GH围线 之间的关系,F平面的原点(0,0)相当于GH平面的（-1，j0）点,37,

10、Nyquist判据,已知G(s)H(s)，在S平面上选择一条封闭曲线S,映射曲线GH逆时针包围(-1,j0)点的次数,S包围F(s)的极点，即开环极点数,S包围F(s)的零点，即闭环极点数,38,(1) 0型系统,选择S 为包围整个右半S平面的无穷大半圆，则P为位于右半S平面的开环极点数，而计算得到的Z就是右半S平面的闭极点数。 S 在GH平面上的映射就是系统的幅相曲线，w=-+。 应用判据的关键：确定幅相曲线对(-1,j0)点的包围次数R,39,奈氏判据（一）: 0型系统,如果开环频率特性曲线G(jw)H(jw) 当w=-+时 逆时针包围(-1,j0)点的次数R等于位于右半S平面的开环 极点

11、数P，则闭环系统是稳定的。(Z=0) 如果RP，则闭环系统不稳定，且位于右半S平面的 闭环极点数Z=P-R。 如果G(jw)H(jw) 曲线正好通过(-1,j0)点，表明系统临界稳定，存在虚轴上的闭环极点。,40,应用奈氏判据（一）的具体步骤:,(1)绘制开环频率特性曲线，即幅相曲线，先作出w=0+部分，然后以实轴为对称，做出w=-0部分，构成闭合曲线。 (2)计算当w=- +时，奈氏曲线对(-1,j0)点逆时针包围次数R，方法有以下两种： 作矢量法 计算正负穿越次数，R=R+-R- (3) 由给定的开环传递函数确定位于右半S平面上的开环极点数P (4) 根据判据，若R=P，则闭环系统稳定；

12、若RP，则闭环系统不稳定，且不稳定极点Z=P-R。,41,由于I、II型系统存在原点处的开环极点，故在选择S 时要避开原点，如下图所示，图中： S的 段的 映射与0型系统相同。 为以原点为圆心， 半径无限小的一个右 半圆，接下来分析它 的映射。,(2)奈氏判据（二）: I、II型系统,42,小半圆上的点可表示为 e 0, -90q90 假设系统的开环传递函数为： 且为最小相位系统，将 代入上式，得 可见，右半圆的映射是半径无穷大的圆弧，从+g90的点开始，经0到- g90点终止。,j0_的映射点,j0+的映射点,43,右小半圆在 GH平面上的映射为顺时针旋转 弧度的无穷大圆弧。 如下图（a）、

13、（b）分别表示当 g=1和g=2时系统的奈氏曲线，其中虚线部分是右小半圆在GH平面上的映射。,增补段,增补段,44,对于I、II型系统，在做出幅相曲线w=0+以及对称部分w= - 0-之后，必须再做增补段，从而构成闭合曲线，再根据 Z=P-R分析闭环系统的稳定性。 增补段做法如下：从w= 0-点开始，按顺时针方向经0做半径无穷大的圆弧，最后到w= 0+点终止。,应用奈氏判据（二）的具体步骤:,45,5.4.4 Nyquist判据在Bode图上的应用,根据Bode图判断稳定性时，主要任务是确定包围次数R，方法如下：,定义在L(w)0的频段内，相频曲线 自上向下穿越-180线为负穿越（相角减小），

14、记作R- 自下向上穿越-180线为正穿越（相角增加），记作R+ 则 R =R+ R- R =2R,46,当开环系统包含积分环节时，应当在相频曲线w= 0+处，自下向上补画g 90的垂直虚线作为辅助线，然后再确定j(w)对-180线的穿越情况。,47,一个反馈控制系统，其位于右半平面的闭环极点数Z，可以根据右半平面开环极点数P和在L(w)0频段范围内， j(w)曲线与 -180线的正、负穿越次数之差确定： Z = P - 2R,对数频率稳定判据：,48,5.5 稳定裕度,在工程应用中，由于环境温度的变化、元件的老化以及元件的更换等，会引起系统参数的改变，从而有可能破坏系统的稳定性。 因此在选择元

15、件和确定系统参数时，不仅要考虑系统的稳定性，还要求系统有一定的稳定程度，这就是所谓自动控制系统的相对稳定性问题。,49,例如，图（a）和（b）所示的两个最小相位系统的开环频率特性曲线（实线）没有包围(-1,j0)点，由奈氏判据知它们都是稳定的系统，但图（ a ）所示系统的频率特性曲线与负实轴的交点 A 距离(-1,j0)点较远，图（b） 所示系统的频率特性曲线与负实轴的交点 B 距离(-1,j0)点较近。,假定系统的开环放大系数比原来增加了百分之五十，则 图（a）中的A点移动到A 点，仍在(-1,j0)点右侧，系 统还是稳定的；而图(b)中的B点则移到(-1,j0)点的左 侧（B点），系统便不稳定了。 可见，前者较能适应 系统参数的变化，即它的相对稳定性比后者好。,50,相对稳定性指标,通常用稳定裕度来衡量系统的相对稳定性或系统的稳定程度，主要包括相角裕度和幅值裕度两个指标。,51,1.幅值裕度h,相角穿越频率wg 相角为-180对应的频率。 幅值裕度h的定义： 或,52,对于最小相位系统： h1，则系统稳定，h越大，稳定程度越好； h=1，则系统临界稳定； h1，则系统不稳定。 幅值裕度的含义：使系统到达临界稳定时的开环增益增大（对应稳定系统）或缩小（对应不稳定系统）的倍数。,53,幅值穿越频率wc 对数幅频曲线穿过零