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1、数列的解题技巧编稿：林景飞审稿：张扬责编：严春梅【命题趋向】从 2007 年高考题可见数列题命题有如下趋势：1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.2.数列中 与 之间的互化关系也是高考的一个热点.3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.因此复习中应注意：1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前 n 项和公式等.2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此
2、类问题需要抓住基本量 、（或 ），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意和 两种情况等等.4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如 与 的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.7数列应用题将是命题的热点，这类题
3、关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.【考点透视】1理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.2理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能运用公式解答简单的问题.3理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题.4数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题
4、经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.【例题解析】考点一：正确理解和运用数列的概念与通项公式理解数列的概念,正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式.1（2006 年广东卷）在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期
5、间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第 1 堆只有 1 层，就一个球；第2，3，4，堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球，以 表示第 n 堆的乒乓球总数，则 _； _（答案用 n 表示）.思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是 1，3,6,10, ，推测出第 n 层的球数。解答过程：显然 .第 n 堆最低层（第一层）的乒乓球数， ，第 n 堆的乒乓球数总数相当于前 n 堆乒乓球的低层数之和，即所以： 2（2007 年湖南卷理）将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成 0，得
6、到如图所示的 0-1 三角数表从上往下数，第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行，第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行，第 次全行的数都为 1 的是第_行；第 61 行中 1 的个数是_第 1 行 1 1第 2 行1 0 1第 3 行 1 1 1 1第 4 行1 0 0 0 1第 5 行 1 1 0 0 1 1 思路启迪：计算图形中相应 1 的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。解：第 1 次全行的数都为 1 的是第 =1 行，第 2 次全行的数都为 1 的是第 =3 行，第 3 次全行的数都为 1 的是第 =7 行，第 次全行的数都为 1 的是第 行；第 61 行中 1 的个数是
7、25=32考点二：数列的递推关系式的理解与应用在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化为常见的类型进行解题。如叠加法：若 且 ；我们可把各个关系式列出来进行叠加求和，可得到数列 的通项. ， ， ，再看叠乘法： 且 ，可把各个商列出来求积。另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题。 3（2007 年北京卷理）数列 中， ， （ 是常数，），且 成公比不为 的等比数列（I）求 的值；（II）求 的通项公式思路启迪：（1）由 成公比不为 的等比数列列方程求 ；（2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，
8、归纳概括出 与 n 之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前 4 项的该数列的一个通项公式.解：（I） ， ， ，因为 成等比数列，所以 ，解得 或 当 时， ，不符合题意舍去，故 （II）当 时，由于， ， ， ，所以 又 ， ，故 当 时，上式也成立，所以 小结：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.4数列 满足 ， ， 若 ，则 ( )（） （） （） （） 思路启迪：对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用.解答过程 1：， .相叠加得 .， .，
9、 ， ， .解答过程 2：由 得：，因为 ，所以 .解答过程 3：由 得：从而 ； ； .叠加得： . ， 从而 .小结：数列递推关系是近几年高考数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。对连续两项递推 ，可转化为 ；对连续三项递推的关系 ，如果方程 有两个根，则上递推关系式可化为 或 .考点三：数列的通项 与前 n 项和 之间的关系与应用与 的关系： ，数列前 n 项和 和通项 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式 时，一定要注意条件 ，求通项时一定要验证 是否适合。解决含 与 的式子问题时，通常转化为只含 或者转化为只 的式子.5（2006 年辽宁卷） 在等比数列 中,
10、,前 项和为 ,若数列也是等比数列,则 等于（ ）(A) (B) (C) (D) 命题目的：本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。过程指引：因数列 为等比，则 ，因数列 也是等比数列，则即 ，所以 ，故选择答案 C.6.已知在正项数列 中， 表示前 n 项和，且 ，求 .思路启迪：转化为只含 或者只含 的递推关系式.解答过程 1：由已知 ，得当 时， ；当 时， ，代入已知有 ，即. ，又 ，故 .数列 是首项为 ，公差 的等差数列，故 .解答过程 2：由已知 ，得当 n=1 时， ；当 时，因为 ，所以 .， ，因为 ，所以 ，所以 .考点四：数列中与 n 有关的等式的理解
11、与应用对数列中的含 n 的式子，注意可以把式子中的 n 换为 得到另外的式子。也可以把n 取自然数中的具体的数 1，2，3等，得到一些等式归纳证明.7（2006 年福建卷）已知数列 满足 ( )（）求数列 的通项公式；（）若数列 满足 ( ),证明:是等差数列;思路启迪：本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。把递推关系式变形转化。解答过程： （I）解： ， 是以 为首项，2 为公比的等比数列。 即 （ ）（II）证法一： ， 即 ，得 ，即 ，得 ， 即故 是等差数列.考点五：等差、等比数列的概念与性质的理解与应用在等差、等比数列中，已知五个元素 或 ， 中的任
12、意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”。本着化多为少的原则，解题时需抓住首项 和公差（或公比 ）。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如（1）等差数列 中，若 ，则 ；等比数列 中，若 ，则 . （2）等差数列 的前 n 项为 ，则 成等差数列，且公差为 ；等比数列 中（ ）的前 n 项和为 ，则成等比数列，且公比 .（3）在等差数列 中，项数 n 成等差的项 也成等差数列. （4）在等差数列 中， ； .在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.8（2006 年江西卷）已知等差数列 的前 n 项
13、和为 ，若，且 A、B、C 三点共线（该直线不过原点 O），则 （ ）A100 B. 101 C.200 D.201命题目的：考查向量性质、等差数列的性质与前 n 项和。过程指引：依题意， ，故选 A9（2007 年安徽卷文、理）某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为 a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 , 因此，历年所交纳的储备金数目 , ， 是一个公差为 的等差数列. 与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率为 （ ）,那么, 在第 年末，第一年所交纳的储备金就变为 ，第二年所交纳的储备金就变成 ，. 以
14、表示到第 年末所累计的储备金总额.（）写出 与 （ ）的递推关系式；（）求证 ，其中 是一个等比数列， 是一个等差数列.命题目的：本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数字模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.解：（I）我们有（II） ，对 反复使用上述关系式，得= 在式两端同乘 1+r，得，得即记 ， ，则，其中 是等比数列，且首项为 ，公比为； 是等差数列，且首项为 ，公比为 .点评：解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用考点六：等差、等比数列前 n 项和的理解与应用等差
15、、等比数列的前 n 项和公式要深刻理解。等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数；等比数列的前 n 项和公式 （ ），因此可以改写为 是关于 n 的指数函数，当 时， .10（2007 年广东卷理）已知数列 的前 n 项和 ,第 k 项满足,则 k=（）A9 B8 C7 D6思路启迪：本小题主要考查数列通项和等差数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力解：此数列为等差数列， ，由 52k-108 得到 k=811（2007 年湖北卷文）已知数列 和 满足:且 是以 q 为公比的等比数列. （）证明： ；（）若 证明数列 是等比数列；（）求和： .命题目的：本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力解法 1：（I）证：由 ，有 ， （II）证： ， ， 是首项为 5，以 为公比的等比数列（III）由（II）得 ， ，于是当 时， 当 时，故解法 2：（I）同解法 1（I）（II）证：
