第1章：层次分析法

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1、1,第一章 层次分析法(AHP),AHP (Analytic Hierarchy Process)方法，又称为层次分析法或多层 次权重解析方法，是20世纪70年代初期由美国著名运筹学家、匹兹堡大学 萨蒂(TLSaaty)教授首次提出来的。 该方法是定量和定性分析相结合的多目标决策方法，能够有效地分析目 标准则体系层次间的非序列关系，有效地综合测度决策者的判断和比较。 由于系统、简洁、实用，在社会、经济、管理等许多方面，得到越来越广 泛的应用。,2,1.1 AHP方法的基本原理 一、递阶层次结构模型 首先要把问题条理化、层次化，构造出能够反映系统内在联系的递阶层 次结构模型。将具有共同属性的元素

2、归并为一组，作为结构模型的一个层 次。同一 层次的元素既对下一层次元素起着制约作用，同时又受到上一层 次元素的制约。这样，构造了递阶层次结构模型。AHP的层次结构，既可以 是序列型的，也可以是非序列型的。一般来说，可以将层次分为三种类型： 最高层。只包含一个元素，表示总目标层。 中间层。包含若干层元素，表示实现总目标所涉及到的各子目标， 称目标层。 最低层。表示实现各决策目标的可行方案，称为方案层。,3,1.1 AHP方法的基本原理 一、递阶层次结构模型,层次结构中相邻两层次元素之间的关系用直线标明，称为作用线，元素之间不存 在关系，就没有作用线。如果某一元素与相邻下一层次所有元素均有关系，则

3、称此元 素与下一层次存在完全层次关系；如果某元素仅与相邻下一层次部分元素存在关系， 则称为不完全层次关系。 在实际操作中，模型的层次数由系统的复杂程度和决策的实际需要而定，不宜过 多。每一层次元素一般不要超过9个，过多的元素会给主观判断比较带来困难。构造一 个合理而简洁的层次结构模型，是AHP方法的关键。,4,1.1 AHP方法的基本原理 一、递阶层次结构模型,例1 构建科研课题决策的层次结构模型。决策往往涉及众多因素：成果贡献、人 才培养、可行性、发展前景四个目标。和这四个目标相关的因素又有以下几个： 实用价值。研究成果给社会带来的效益，包括经济效益和社会效益。实用价值与成果贡献、人才培养、

4、发展前景等目标都有关系。 科技水平。课题在学术上的理论价值以及在同行中的领先水平。科技水平直接关系到成果贡献、人才培养、发展前景。 优势发挥。课题发挥本单位学科及人才优势程度，体现与同类课题比较的有利因素。与人才培养、课题可行性、发展前景均有关系。 难易程度。指课题本身的难度以及课题组现有人才、设备条件所决定的成功可能性。与课题可行性、发展前景相关联。 研究周期。课题研究预计所需时间，与可行性直接相关。 财政支持。是指课题的经费、设备以及经费来源。与课题可行性、发展前景直接相关。 科研课题决策，就是综合上述各种目标和因素，确定各个课题的相对优劣次 序，以供优选课题和安排科研力量参考。为此，建立

5、科研课题决策的层次结构模 型。模型从上到下，分为四个层次，层次之司的关联情况均以作用线标明。,5,1.1 AHP方法的基本原理 一、递阶层次结构模型,6,1.1 AHP方法的基本原理 二、判断矩阵及其特征向量,AHP方法采用优先权重作为区分方案优劣程度的指标。 优先权重是一种相对度量数，表示方案相对优劣的程度，其数值介于0和 1之间。在给定的决策准则之下，数值越大，方案越优，反之越劣。方案层各 方案关于目标准则体系整体的优先权重，是通过递阶层次从上到下逐层计算 得到。这个过程称为递阶层次权重解析过程。,例2设有3个物体，它们的重量分别为g1，g2，g3。为了测出各物体的重量，现将每一物体与其它

6、物体重量两两比较：第i个物体重量与其它物体重量相比较，得到3个重量比值gi/g1 ，gi/g2，gi/g3 (i=1,2,3)。构成一个3行3列的矩阵A，称为3个物体重量的判断矩阵。,7,1.1 AHP方法的基本原理 二、判断矩阵及其特征向量,设3个物体重量组成的向量为,根据线性代数知识，3是矩阵A的最大特征值，G是矩阵A属于特征值3的特征向量。因此，物体测重问题就转化为求判断矩阵的特征值和对应的特征向量，3个物体的 重量，就是判断矩阵最大特征值3的特征向量的各个分量。,8,1.1 AHP方法的基本原理 二、判断矩阵及其特征向量,判断矩阵,产生问题：根据决策者主观判断所构造的判断矩阵的最大特征

7、值是否存在， 是否为单根?,元素 aij0（称为正矩阵），i,j=1,2,3，并且满足下列三个条件：,9,1.1 AHP方法的基本原理 二、判断矩阵及其特征向量,实际中，判断矩阵的构造采用Saaty引用的1-9标度方法，各级标度含义如下表。,1-9标度法则符合人的认识规律，有一定科学依据。从人的直觉判断能力看，在区分事物数量差别时，习惯使用相同、较强、强、很强、极端强等判断语言。根据心理学实验表明，多数人对不同事物在相同准则上的差异，其分辨能力介于5-9级之间，1-9标度反映了多数人的判断能力。Saaty将l-9标度方法和其它标度方法进行对比，大量模拟实验证明，1-9标度是可行的，与其它标度方

8、法比较，能更有效地将思维判断数量化。,10,1.1 AHP方法的基本原理 二、判断矩阵及其特征向量,例3设有3个元素A1，A2，A3，现在构造关于准则Cr的判断矩阵,11,1.1 AHP方法的基本原理 三、判断矩阵的一致性,定义1:设,如果满足下列二个条件：,则称 A 为互反矩阵。,定义2:设,如果满足下列三个条件：,则称 A 为一致性矩阵。,12,1.1 AHP方法的基本原理 三、判断矩阵的一致性,定理1(Perron):设,则：, A 有最大的正特征值max，并且max是单根，其余特征值的模均小于max,定理2:设,A 是互反矩阵。, A 的属于max的特征向量 X0, 若max是 A 的

9、最大特征值，则 max m, 若1,2,m 是A的特征值，则, A 是一致性矩阵的充分必要条件是 max=m,13,1.1 AHP方法的基本原理 三、判断矩阵的一致性,定理2:设,A 是一致性矩阵，则：, 一致性正矩阵是互反正矩阵；, A 的转置矩阵AT也是一致性矩阵；, A 的每一行均为任意指定一行的正数倍数；, A 的最大特征值max=m，其余特征值均为0 ；, 若A的属于max的特征向量为,产生问题：根据决策者主观判断所构造的判断矩阵具有互反性， 但是不一定具有一致性，即不一定满足,14,1.1 AHP方法的基本原理 三、判断矩阵的一致性,尽管判断矩阵不具有完全的一致性，仍希望它的最大特

10、征值max略大 于阶数m，其余特征值接近于零，称之为满意的一致性。这样，计算出的 层次单排序结果才是合理的。因此，必须对判断矩阵的一致性进行检验， 使之达到满意的一致性标准。,设判断矩阵A的全部特征值为：1= max，2，m,由于A是互反矩阵，aii=1，(i=1，2，m)。由矩阵理论有,为达到满意一致性，除了max之外，其余特征值尽量接近于零。取,作为检验判断矩阵一致性指标。,15,1.1 AHP方法的基本原理 三、判断矩阵的一致性,C.I越大，偏离一致性越大。反之，偏离一致性越小。判断矩阵的阶数m越 大，判断的主观因素造成的偏差越大，偏离一致性也就越大，反之，偏离 一致性越小。当阶数m2时

11、，C.I=0，判断矩阵具有完全一致性。因此， 必须引入平均随机一致性指标R.I，随判断矩阵的阶数而变化，如下表。 这些R.I值是用随机方法构造判断矩阵，经过500次以上的重复计算，求出 一致性指标，并加以平均而得到的。,一致性指标C.I与同阶平均随机一致性指标R.I的比较值，称为一致性比率,16,1.1 AHP方法的基本原理 三、判断矩阵的一致性,用一致性比率C.R检验判断矩阵的一致性，当C.R越小时，判断矩阵的一致 性越好。一般认为，当C.R0.1时，判断矩阵符合一致性标准，层次单排 序的结果是可以接受的。否则，需要修正判断矩阵，直到检验通过。 判断矩阵的一致性检验步骤是：,第一步：求出一致

12、性指标,第二步：查表得到平均随机一致性指标 R.I,第三步：计算一致性比率,当C.R0.1时，接受判断矩阵，否则，修改判断矩阵,17,1.1 AHP方法的基本原理 四、判断矩阵求解,判断矩阵 A=(aij)mm 是决策者主观判断的描述，求解判断矩阵并不要求 过高的精度。有根法、和法及幂法，幂法适于在计算机上运算。,（1）根法,第一步：计算A的每一行元素之积 Mi,第二步：计算Mi的m次方根ai,第三步：对向量a=(a1,a2,am)T作归一化处理，,得到最大特征值对应的特征向量W=(w1,w2,wm)T,第四步：求A的最大特征值max,18,1.1 AHP方法的基本原理 四、判断矩阵求解:（1

13、）根法,取算述平均值：,19,1.1 AHP方法的基本原理 四、判断矩阵求解:（1）根法,例3求解下列判断矩阵的最大特征值及其对应的 特征向量，并进行一致性检验。,20,1.1 AHP方法的基本原理 四、判断矩阵求解:（1）根法,进行一致性检验：,所以，判断矩阵A满足一致性检验。,21,1.1 AHP方法的基本原理 四、判断矩阵求解,（2）和法,第一步：判断矩阵A的元素按列作归一化处理得到矩阵Q,第二步：将矩阵Q的元素按行相加，得到向量a,第三步：对向量a=(a1,a2,am)T作归一化处理，,得到最大特征值对应的特征向量W=(w1,w2,wm)T,第四步：求A的最大特征值max,22,1.1

14、 AHP方法的基本原理 四、判断矩阵求解:（2）和法,23,1.1 AHP方法的基本原理 四、判断矩阵求解:（2）和法,取算述平均值：,24,1.1 AHP方法的基本原理 四、判断矩阵求解:（2）和法,例3求解下列判断矩阵的最大特征值及其对应的 特征向量，并进行一致性检验。,25,1.1 AHP方法的基本原理 四、判断矩阵求解:（2）和法,进行一致性检验：,所以，判断矩阵A满足一致性检验。,26,1.1 AHP方法的基本原理 四、判断矩阵求解,（3）幂法：逐步迭代方法，容易编程计算,第一步：k=0，任取初始正向量,第二步：k=1，迭代计算,定理：设,则,，其中 E=(1,1,1)T，C 为常数

15、,第k+1步：迭代计算（k=0,1,2,3,）,27,1.1 AHP方法的基本原理 四、判断矩阵求解,（3）幂法：逐步迭代方法，容易编程计算,第三步：精度检查，当|mk+1-mk|，转入第四步；否则令k=k+1，转入第二步,第四步：求最大特征值和对应的特征向量,28,1.1 AHP方法的基本原理 四、判断矩阵求解:（3）幂法,例3求解下列判断矩阵的最大特征值及其对应的 特征向量，并进行一致性检验。精度=0.0001,解：任取初始正向量,当k=7时，|m8m7|=|3.11893.1189|=00.0001，迭代终止。得到,29,1.1 AHP方法的基本原理 四、判断矩阵求解:（3）幂法,进行一致性检验：,所以，判断矩阵A不满足一致性检验。,30,1.2 递阶层次结构权重解析过程 一、递阶权重解析公式,G,C1,C2,Cs,总目标,第1层子目标,第2层子目标,方案层,第n层子目标,31,1.2 递阶层次结构权重解析过程 一、递阶权重解析公式,第一层n1个子目标关于总目标G的优先权重向量 （第一层子目标判断矩阵最大特征值对应 的特征向量）,第二层n2个子目标关于总目标G的优先权重向量,第二层n2个子目标 关于第一层第1个 元素优先权重向量,第二层n2个子目标 关于第一层第2个 元素优先权重向量,第二层n2