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1、二次函数压轴题1. 如图，抛物线yax2(a2)x2(a0)与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点P(m，0)(0m4)过点P作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点M.(1)求a的值；(2)若PNMN13，求m的值；(3)如图，在(2)的条件下，设动点P对应的位置是P1，将线段OP1绕点O逆时针旋转得到OP2，旋转角为(090)，连接AP2、BP2，求AP2BP2的最小值 图 图第1题图解：(1)A(4，0)在抛物线上，016a4(a2)2，解得a；(2)由(1)可知抛物线解析式为yx2x2，令x0可得y2，OB2，OPm，AP4m，PMx轴，OABPAN，即，PN(4
2、m)，M在抛物线上，PMm2m2，PNMN13，PNPM14，m2m24(4m)，解得m3或m4(舍去)，即m的值为3；(3)如解图，在y轴上取一点Q，使，第1题解图由(2)可知P1(3，0)，且OB2，且P2OBQOP2，P2OBQOP2，当Q(0，)时，QP2BP2，AP2BP2AP2QP2AQ，当A、P2、Q三点在一条直线上时，AP2QP2有最小值，又A(4，0)，Q(0，)，AQ，即AP2BP2的最小值为.2. 如图，已知二次函数yax2bx4的图象与x轴交于A(2，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，点P是x轴上方抛物线上的一个动点，过P作PNx轴于N，交直线B
3、C于M.(1)求二次函数表达式及顶点D的坐标；(2)当PMMN时，求点P的坐标；(3)设抛物线对称轴与x轴交于点H，连接AP交对称轴于E，连接BP并延长交对称轴于F，试证明HEHF的值为定值，并求出这个定值第2题图解：(1)A(2，0)，B(4，0)在二次函数的图象上，将A，B点代入二次函数表达式中，得，解得，二次函数的表达式为yx2x4，将其化为顶点式为y(x1)2，顶点D的坐标为(1，)；(2)由抛物线表达式得点C的坐标为(0，4)，设直线BC的解析式为ykxc(k0)，将点B(4，0)，点C(0，4)代入得，解得，直线BC的解析式为yx4，(5分)点P在x轴上方的抛物线上，设点P的坐标为
4、(t，t2t4)(2t4)，PNx轴于N，点N的坐标为(t，0)，PN交BC于M，点M的坐标为(t，t4)，(7分)PMMN，点P在点M的上方，PN2MN，即t2t42(t4)，解得t12，t24(与B重合舍去)，当PMMN时，点P的坐标为(2，4)；(8分)第2题解图(3)如解图，过点P作PGx轴于点G，设点P的坐标为(t，t2t4)，DHx轴于点H，PGDH，AHEAGP，BGPBHF，EH，FH，(10分)当点G在BH上时，AHBH3，AGt2，BG4t，PGt2t4，EHFH3()3()(t2)(t4)9，同理，当点G在AH上，由抛物线对称性可知，结果相同综上可知，HEHF的结果为定值
5、，且这个定值为9.(14分)3. 如图，在平面直角坐标系中，直线yx1与抛物线yax2bx3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与点A、B重合)，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PDAB于点D.(1)求a、b及sinACP的值；(2)设点P的横坐标为m.用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；连接PB，线段PC把PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为9 10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由第3题图解：(1)由x10，得x2，A(2，0)，由x13，得x4，B(4，3)yax2bx
6、3经过A、B两点，解得，如解图，设直线AB与y轴交于点E，则E(0，1)PCy轴，ACPAEO.sinACPsinAEO；(2)由(1)知，抛物线的解析式为yx2x3，P(m，m2m3)，C(m，m1)，PCm1(m2m3)m2m4.在RtPCD中，PDPCsinACP(m2m4)(m1)2.0，当m1时，PD有最大值；存在，m或.【解法提示】如解图，分别过点D、B作DFPC，BGPC，垂足分别为点F、G.第3题解图由图中几何关系可知FDPDCPAEO，cosFDPcosAEO，在RtPDF中，DFcosFDPPDPD(m22m8)又BG4m，.当时，解得m；当时，解得m.m或.4. 如图，在
7、平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA3，AB4，在OC上取一点E，使OAOE，抛物线yax2bxc过A，E，B三点(1)求B，E点的坐标及抛物线表达式；(2)若M为抛物线对称轴上一动点，则当|MAME|最大时，求M点的坐标；(3)若点D为OA中点，过D作DNBC于点N，连接AC，若点P为线段OC上一动点且不与C重合，PFDN于F，PGAC于G，连接GF，是否存在点P，使PGF为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由第4题图解：(1)OA3，AB4, OAOE，A(0，3)，B(4，3), E(3，0)将A，B，E三点坐标代入yax2bxc中，得，解得，抛物
8、线的表达式为yx24x3；(3分)(2)抛物线yx24x3的对称轴为直线x2，点A关于对称轴的对称点为点B，当|MAME|最大时，M在直线BE与直线x2的交点处，即连接BE并延长交直线x2于点M，M点即为所求，如解图，(5分)第4题解图设直线BE的解析式为ykxb(k0)，直线过B(4，3)，E(3，0)，直线BE的解析式为y3x9.当x2时， y3，M(2，3)；(7分)(3)设P(x，0)(x0)，如解图，过点P分别作PFDN于点F，PGAC于点G，过点G作GHOC于点H，交DN于点Q，连接GF，第4题解图OA3，AB4，AOC90，AC5，D为OA的中点，DNBC，PF，sin1，PG，
9、cos1，CG.CGHCAO，GHCG，CHCG，(9分)PHQFOCCHOP4x，GQGHQH，在RtGQF中，GF22.要使PGF为等腰三角形，可分三种情况讨论：()当GFGP时， GF2GP2，x，P1(，0)；(11分)()当FGFP时，FG2FP2，x14，x20.点P不与C重合，x4(舍去)，P2(0，0)；(12分)()当PGPF时，x，P3(，0)(13分)综上所述，存在P1(，0)，P2(0，0)，P3(，0)使PFG为等腰三角形(14分)5. 已知：直线yx3与x轴、y轴分别交于A、B，抛物线yx2bxc经过点A、B，且交x轴于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物
10、线上一点，且点P在AB的下方，设点P的横坐标为m.试求当m为何值时，PAB的面积最大；当PAB的面积最大时，过点P作x轴的垂线PD，垂足为点D，问在直线PD上是否存在点Q，使QBC为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的Q点的坐标，若不存在，请说明理由 第5题图 备用图解：(1)直线yx3与x轴、y轴分别交于A、B，则A(6，0)，B(0，3)，又抛物线yx2bxc经过点A、B，则，解得，抛物线的解析式为yx2x3；(2)点P的横坐标为m，P(m，m2m3)，点P在直线AB下方，0m6，第5题解图如解图，过点P作x轴的垂线，交AB于点E，交x轴于点D，则E(m，m3)，PEm3(m2m3)m2
11、2m，SPABSBPESPEAPEOA(m22m)6(m3)29，当m3时，PAB的面积最大；在直线PD上存在点Q，使QBC为直角三角形；点Q的坐标为(3，)或(3，)【解法提示】直线PD的解析式为：x3，易得C(，0)，D(3，0)，当BCQ90时，如解图，易证COBQDC，则，可得Q(3，)；第5题解图当CBQ90时，如解图，易知Q在AB上，将x3代入直线yx3，得y，Q(3，)；第5题解图当BQC90时，如解图，易证CDQQRB，则，即，无解第5题解图综上所述，在直线PD上存在点Q，使QBC为直角三角形，点Q的坐标为(3，)或(3，)6. 如图，抛物线yx24x5与x轴交于A，B两点(点
12、B在点A的右侧)，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求A，B，C三点的坐标及抛物线的对称轴；(2)如图，点E(m，n)为抛物线上一点，且2m5，过点E作EFx轴，交抛物线的对称轴于点F，作EHx轴于点H，求四边形EHDF周长的最大值；(3)如图，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，B，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 图 图第6题图解：(1)把y0代入yx24x5，得x24x50，解得x11，x25，点B在点A的右侧，A，B两点的坐标分别为(1，0)，(5，0)，把x0代入yx24x5，得y5，点C的坐标为(0，5)，yx24x5(x2)29，抛物线的对称轴为直线x2；(4分)(2)由题意可知，四边形EHDF是矩形，抛物线的对称轴为直线x2，点E坐标为(m，m24m5)，EHm24m5，EFm2，矩形EHDF的周长为2(EHEF)2(m24m5m2)2(m25m3)2(m)2，20，2m5，当m时，矩形EHDF的周长最大，最大值为；(8分)第6题解图(3)存在点P，使以点P，B，C为顶点的三角形是直
