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1、一.全等三角形：,1：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？,2：全等三角形有哪些性质？,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。,（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。 （2）全等三角形的周长相等、面积相等。 （3）全等三角形的对应边上的中线、角平分线、高线分别相等。,3.注意：两个三角形全等在表示时通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。,能否记作ABC DEF?,应该记作ABC DFE,原因:A与D、B与F、C与E对应。,如图： ABCDEF,3.全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等,（全等三角形
2、的对应边相等）,（全等三角形的对应角相等）,（标图法）例1：如图，AC与BD相交于点O， 已知OA=OC，OB=OD， 求证:AOBCOD,证明:,在AOB和COD中,OA=OC _,OB=OD,AOB=COD（对顶角相等）,AOBCOD( ),SAS,（1）线段相等、平行,A,E,D,C,F,B,F,C,A,B,D,E,（2）公共边、公共角,A,D,C,B,A,D,C,B,D,B,C,A,C,B,A,O,F,E,D,（3）对顶角,A,O,C,D,B,例1：如图，点A、F、E、C在同一直线上，AFCE，BE = DF，BEDF，求证：ABCD。,证明：,第二层次：两个三角形的呈现不明显，有重叠
3、的部分，需从已知条件出发找需要的三角形（可用阴影标出）,11,例2、如图，已知AB=AC，AD=AE，AB、DC相交于点M，AC、BE相交于点N，1=2，试说明：（1） ABE ACD （2）AM=AN,创造条件！ ？,第三层次：题目的条件、结论都需要全面考虑，综合所学的知识点并能灵活运用（特别是辅助线的添加）。,例3：如图，AB、CD相交于E，且ABCD，ACDB。求证：EAED,证： 连接AD,在ADC和DAB中, ADCDAB（S.S.S）, 12, EAED（等角对等边）,（公共边）,2,1,如果连接的是BC，情况又会怎么样呢？,证明题思路分析方法：要证什么 已有什么 还缺什么 创造条
4、件,注意1、证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法 2、全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证明时 要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。 有公共边的，公共边一定是对应边， 有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角 总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。,1、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是拿( )去配.,练习一:,16,实际运用 2. 测量如图河的宽度，某人在河的对岸找到一参照物树木，视线 与河岸垂直，然后该人沿河岸步行步（每步约0.75M）到O处
5、，进行标记，再向前步行10步到D处，最后背对河岸向前步行20步，此时树木A，标记O，恰好在同一视线上，则河的宽度为 米。,15,A,B,O,D,C,练习二:,3、如图B=DEF,BC=EF,补充条件求证:ABC DEF,(1)若要以“SAS”为依据，还缺条件 ；,AB=DE,(2) 若要以“ASA”为依据，还缺条件；,ACB= DFE,(3) 若要以“AAS”为依据，还缺条件,A= D,(4)若要以“SSS” 为依据，还缺条件,AB=DE AC=DF,(5)若B=DEF=90要以“HL” 为依据，还缺条件,AC=DF,4、已知：如图,P是BD上的任意一点AB=CB,AD=CD. 求证: PA=
6、PC,要证明PA=PC可将其放在APB和CPB 或APD和CPD考虑,已有两条边对应相等 （其中一条是公共边）,还缺一组夹角对应相等,若能使ABP=CBP或ADP=CDP 即可。,创造条件 ABDCBD,分析：,练习二:,4、已知：P是BD上的任意一点AB=CB,AD=CD. 求证PA=PC,证明：在ABD和CBD中 AB=CB AD=CD BD=BD ABDCBD(SSS) ABD=CBD 在ABP和CBP中 AB=BC ABP=CBP BP=BP ABP CBP(SAS) PA=PC,5、已知:如图AB=AE,B=E，BC=ED AFCD 求证：点F是CD的中点,分析：要证CF=DF可以考
7、虑CF 、DF所在的两个三角形全等，为此可添加辅助线构建三角形全等 ，如何添加辅助线呢?,连结AC,AD,添加辅助线是几何证明中很重要的一种思路,拓展练习,证明：连结和 在和中， ， B=E， （） （全等三角形的对应边相等） AFC=AFD=90， 在tAFC和tAFD中 （已证） （公共边） tAFCtAFD（） （全等三角形的对应边相等） 点F是CD的中点,6、如图，DAC和EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论： ACEDCB； CMCN； ACDN。其中，正确结论的个数是( ). (A) 3个 （B）2个 (C)1个（D）0个,B,7、如图：以ABC
8、的两边AB、AC为边分别向外作等边ABD和等边ACE，连接BE、CD交于点O. 求证：OA平分DOE。,G,H,8.如图，在RABC中，ACB=45，BAC=90，AB=AC，点D是AB的中点，AFCD于H交BC于F，BEAC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.,9.已知：如图：在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。 求证： ADG 为等腰直角三角形。,中考链接：,10.（06年嘉兴市）如图，矩形纸片ABCD，AB=2，ADB=30，沿对角线BD折叠（使ABD和 EDB落在同一个平面内），则A，E两点
9、的距离是_。,A,B,C,D,E（C）,11. 如图所示,ABC为等边三角形,BE=CD,O为BE和CD的交点. (1)求证:ABE BCD (2)求AOD的度数,如果将条件中BE=CD改为AOD=60(1)中的结论成立吗?,12. 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示位置，图2是由它抽象出的几何图形，B、C、E在同一条直线上，连结DC. (1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；,图1,图2,（2）证明：DCBE,13、如图所示:已知点C为线段AB上一点,四边形ACMF和四边形CBEN是两个正方形,连接AN、BM，则AN与BM之间有什么关系？请说
10、明理由。,变式(1)如图所示:四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,连接CG交AD于点N，连接AE交CG于点M。求证：AE=CG； 观察图形，猜想AE和CG之间的位置关系，并证明你的猜想。,总结提高,学习全等三角形应注意以下几个问题：,（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义；,（2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；,（3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；,（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”,认知难点和突破方法,1.寻找对应元素的规律
11、 （1）有公共边的，公共边是对应边； （2）有公共角的，公共角是对应角； （3）有对顶角的，对顶角是对应角； （4）两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边； （5）两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角；,1.两个三角形全等,那么下列说法错误的是( ) A.对应边上的三条高分别相等 B.对应边上的三条中线分别相等 C.两个三角形的面积相等 D.两个三角形的任何线段相等,知识应用：,D,如果ABDACE ，1与2相等吗？,解 ABDACE （已知） DAB = EAC（全等三角形的对应角相等） DAB - BAE = EAC - BAE 即1 = 2,方法总结指引,证明两
12、个三角形全等的基本思路：,（1）：已知两边-,找第三边,(SSS),找夹角,（SAS),(2):已知一边一角-,已知一边和它的邻角,找是否有直角,(HL),已知一边和它的对角,找这边的另一个邻角(ASA),找这个角的另一个边(SAS),找这边的对角 (AAS),找一角(AAS),已知角是直角，找一边(HL),(3):已知两角-,找两角的夹边(ASA),找夹边外的任意边(AAS),知识应用：,1.已知ABC和DEF,下列条件中,不能保证ABC和DEF全等的是( ) AB=DE,AC=DF,BC=EF A= D, B= E,AC=DF C.AB=DE,AC=DF, A= D D.AB=DE,BC=
13、EF, C= F,D,知识应用：,2.要说明ABC和DEF全等,已知条件为AB=DE, A= D, 不需要的条件为( ) B= E B. C= F C. AC=DF D. BC=EF,3.要说明ABC和DEF全等,已知A= D , B= E ,则不需要的条件是( ) C= F B. AB=DE C. AC=EF D. BC=EF,D,A,4.如图，AM=AN， BM=BN 说明AMBANB的理由 解:在AMB和ANB中 （ ）,AN,已知,BM,AB,AB,ABM,ABN,SSS,5.已知，ABC和ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD,变式：以上条件不变，将ABC绕
14、点C旋转一定角度（大于零度而小于六十度），以上的结论还成立吗？,6：如图，已知E在AB上，1=2， 3=4，那么AC等于AD吗？为什么？,解：AC=AD,证明：,拓展题,8.如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF. 求证:BCEF,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。,用法： QDOA，QEOB，QDQE 点Q在AOB的平分线上,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,用法： QDOA,QEOB, 点Q在AOB的平分线上 QDQE,二.角的平分线： 1.角平分线的性质：,2.角平分线的判定：,1、如图：在ABC中，C =900，AD平分 BAC，DEAB交AB于E，B
15、C=30，BD：CD=3：2，则DE= 。,12,c,A,B,D,E,2.已知：如图21，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，DB=DC求证：EB=FC,3.如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在DAE的平分线上,证明：,过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M,G,H,M,点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBC,FGFM,又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBC,FMFH,FGFH,点F在DAE的平分线上,总结提高,学习全等三角形应注意以下几个问题：,（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义；,（2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；,（3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；,（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”,
