电磁场4.1-4.2概要

《电磁场4.1-4.2概要》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电磁场4.1-4.2概要（78页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第4章 稳恒磁场,电磁场,第4章 稳恒磁场,首先从安培力定律出发，引出计算磁通密度的毕奥-萨伐尔定律； 利用该定律研究无限大真空中磁场的散度和旋 然后导出无限大真空中磁偶极子的磁场、力矩和受力的表达式。,度；,第4章 稳恒磁场,把磁介质看成是无限大真空中由磁偶极子组成的区域，通过引入磁化矢量和磁场强度，得到稳恒磁场的两个基本方程和两个边界条件； 从而写出稳恒磁场的边值问题，通过计算该边值问题得到稳恒磁场的大小和分布； 最后，分析和计算磁场能量、导体的电感和磁场力,。,4.1 真空中的稳恒磁场,第4章 稳恒磁场,4.1 真空中的稳恒磁场,图4-1-1 两个载流回路之间的作用力,4.1 真空中的稳

2、恒磁场,4.1.1 磁通密度 无限大真空中两个稳恒电流回路之间相互作用力的大小和方向服从安培力定律。安培力定律表述如下：,无限大真空中有两个通有稳恒电流的回路 和回路(见图4-1-1)，回路 上的电流元 对回路 上的电流元 的作用力为 (4-1-1),4.1 真空中的稳恒磁场,电流元 和 的方向分别是回路 和回路 上该 点的电流方向； 是由电流元 指向电流元 的 矢量， ； 是真空磁导率，它是一个基本物 理常量，具有确定的符号和数值，在国际单位制(SI) 中， 的数值是一个精确值：,4.1 真空中的稳恒磁场,在式(4-1-1)中，令矢量 (4-1-2) 称矢量 为磁通密度，又称为磁感应强度。在

3、国际单位制中，磁通密度的单位名称是特斯拉，符号是T。,4.1 真空中的稳恒磁场,式(4-1-2)称为毕奥-萨伐尔定律 也称为毕奥-萨伐尔-拉普拉斯定律,该定律描述了电流元在空间任意点产生磁场的大小和方向，它说明，电流元产生的磁通密度大小与场点到电流元的距离的平方成反比。,磁通密度B与电场强度E一样，都是电磁场理论中的基本物理量。 空间中的磁通密度可用特斯拉计测量得到。,4.1 真空中的稳恒磁场,利用式(4-1-2)，式(4-1-1)可写成 (4-1-3) 此式称为安培力公式。,由上式可见，电流元 会受到力的作用，这个力是由电流元所在处的磁通密度B所施加的。,4.1 真空中的稳恒磁场,当产生磁通

4、密度B的电流元是体分布时，式(4-1-2) 中的电流 可用电流密度J 代替。设载流导线横截面 的面元是 ，因线元 的方向与该处电流密度J 同 方向，所以,4.1 真空中的稳恒磁场,于是毕奥-萨伐尔定律的一般形式可表示成 (4-1-4) 式中，V是电流分布区域， 是源点(电流元 )位置矢量，r 是场点位置矢量。,4.1 真空中的稳恒磁场,有些情况下，电流分布可看作是面分布，此时可用面 电流元 来代替体电流元 ， 相应地，毕奥-萨伐尔定律成为 (4-1-5) 式中S是面电流分布区域，K是面电流密度。,4.1 真空中的稳恒磁场,需要指出，当电流是线分布时，毕奥-萨伐尔定律表达式中的积分区域必须是整个

5、电流闭合回路，因为稳恒电流必须以闭合回路的形式才能存在。,4.1 真空中的稳恒磁场,4.1.2 磁通密度的散度和旋度 为了确定一个矢量场，需要同时知道它的散度和旋度。下面从毕奥-萨伐尔定律出发，分别求出,4.1 真空中的稳恒磁场,1. 磁矢位的引入 由毕奥-萨伐尔定律(见式(4-1-4)，可知 (4-1-6),4.1 真空中的稳恒磁场,需要注意，式中的哈密顿算子 只对r 起作用，对 不 起作用。利用矢量微分公式 ( 是常矢量)，上式被积函数可变换成,4.1 真空中的稳恒磁场,这样式(4-1-6)就可写成 (4-1-7),令 Wb/m (4-1-8),4.1 真空中的稳恒磁场,则式(4-1-7)

6、可表示为 (4-1-9) 矢量A称为磁矢位。,4.1 真空中的稳恒磁场,2. 磁通密度的散度 根据矢量微分公式 ，由式(4-1-9)，可得 磁通密度的散度方程 (4-1-10),4.1 真空中的稳恒磁场,在磁场中任作一闭曲面S，利用散度定理，上式对应的积分形式为 (4-1-11) 式中V 是闭曲面S所包围的区域。,4.1 真空中的稳恒磁场,3. 磁通密度的旋度 由式(4-1-9)，利用矢量微分公式，得 (4-1-12),由,4.1 真空中的稳恒磁场,所以得 (4-1-15),4.1 真空中的稳恒磁场,利用斯托克斯定理，式(4-1-15)也可用积分形式来表达。在磁场中任作一条闭曲线C，B在C上的

7、线积分为 (4-1-16) 式中S是闭曲线C所围成的曲面。,4.1 真空中的稳恒磁场,设穿过曲面S的电流代数和为I ,C 的正方向和电流I 的参考方向成右手螺旋关系，则式(4-1-16)可写成 (4-1-17) 此式是安培环路定律的积分形式。,4.1 真空中的稳恒磁场,4. 真空中稳恒磁场的物理图像 通过本节内容，我们看到真空中稳恒电流的磁场满足以下两点：, 稳恒磁场的基本方程是 和 ， 稳恒磁场是无散的有旋场。, 用磁矢位A可以描述磁通密度， 。磁矢 位满足以下两个方程 和 。,4.1 真空中的稳恒磁场,稳恒磁场中的三个矢量 J，A ，B在场中如何分布？,为了从概念上大致了解，可借助于哈密顿

8、算子 来说明。 我们把算子 当成一个矢量，利用标积和矢积的定义来分析：,.,4.1 真空中的稳恒磁场,另一方面，,利用 ，说明 是标积，从而,4.1 真空中的稳恒磁场,综合起来看，磁场的物理图像是： 磁场线(B线)是闭合线，它环绕电流线(J线)并与电流线垂直交链； A线也是闭合线(因 )，它的形状与电流线相似，平行于电流线，垂直于磁场线。,图4-1-2绘出了电流产生的B线(实线)和A线(虚线)的分布图。,4.1 真空中的稳恒磁场,图4-1-2 电流的B线和A线,4.1 真空中的稳恒磁场,4.1.3 磁场求解例,?,例4.1.1 求无限大真空中长直载流细导线的磁矢位。,4.1 真空中的稳恒磁场,

9、解 设长直载流细导线位于圆柱坐标系 的z轴， 电流I与 同方向。由安培环路定律 ， 圆环 上磁场为,而,4.1 真空中的稳恒磁场,所以,两端积分，得,4.1 真空中的稳恒磁场,即 (4-1-18),是与场点无关的常矢量，在用式 计算磁场时，常矢量 不起作用。,4.1 真空中的稳恒磁场,下面分析、求解在理论和实际中都非常重要的载流圆环线圈的磁场。,?,例4.1.2 无限大真空中有一用细导线绕成的圆环线 圈，线圈中的电流是I，线圈半径为a。求空间任意 点的磁矢位。,4.1 真空中的稳恒磁场,解 建立圆柱坐标系 ，如图4-1-3所示。,图4-1-3 载流圆环线圈,4.1 真空中的稳恒磁场,在圆环线圈

10、C上任取一点 ，在空间任取一 点 ，这两点的位置矢量分别为,从而，有,4.1 真空中的稳恒磁场,代入磁矢位表达式(4-1-8)，得 (4-1-19),4.1 真空中的稳恒磁场,下面化简式(4-1-19),式中 和 应视为常矢量。,4.1 真空中的稳恒磁场,由上式可知 ，即A与坐标分量 无关， 于是可令 ，上式变成对称区间上的积分,4.1 真空中的稳恒磁场,上式右端第一个被积函数是关于 的奇函数，它在对 称区间上的积分等于零；第二个被积函数是关于 的 偶函数，它在对称区间上的积分等于半区间上积分的2倍。从而,4.1 真空中的稳恒磁场,当场点 位于对称轴上时( )， 上式的积分为零，即 (4-1-

11、21),4.1 真空中的稳恒磁场,以下假定坐标分量 。在式(4-1-20)中， 令 ，得 (4-1-22),4.1 真空中的稳恒磁场,设 (4-1-23),由恒等变换,4.1 真空中的稳恒磁场,式中 (4-1-25) 和 (4-1-26) 分别称为第一类全椭圆积分和第二类全椭圆积分。可 见，载流圆环线圈的磁矢位仅有周向分量 ，这是轴对称磁场的重要性质。,第4章 稳恒磁场,4.2 磁偶极子,4.2 磁偶极子,设电流集中分布在一个区域中，当场点到这个区域的距离远大于区域本身的尺寸时，这个载流区域就可以看作是一个磁偶极子。例如一个载流线圈从远处看就是一个磁偶极子。 磁偶极子是介质磁化、磁法选矿、磁粉

12、探伤、磁共振成像、原子物理学等许多领域的重要模型。,4.2 磁偶极子,4.2.1 磁偶极子的磁矢位,设磁偶极子位于无限大真空中。 我们首先分析当磁偶极子是一个载流线圈时，它在远 处产生的磁矢位。如图4-2-1所示，选取坐标原点O位于载流线圈C附近，设线圈中的电流是I，则线圈上点Q处的电流元为 。这样，由式(4-1-8)可写出远处场点P处的磁矢位为,4.2 磁偶极子,图4-2-1 真空中的磁偶极子,4.2 磁偶极子,利用几何学中的余弦定理和条件 ，得,再利用二项式定理，得 (4-2-2),4.2 磁偶极子,这样点P处的磁矢位可写成 (4-2-3),上式右端的第一个线积分 。利用矢量积分公式(见附

13、录A.3.3) (a是常矢量),4.2 磁偶极子,磁矢位为 (4-2-4) 式中m是磁偶极矩： (4-2-5),4.2 磁偶极子,下面讨论平面电流的磁偶极矩。当一条闭合电流线与一个平面重合时，这条闭曲线中的电流就是平面电流，如图4-2-2所示。,4.2 磁偶极子,图4-2-2 平面电流,4.2 磁偶极子,由矢积的几何意义可知，图4-2-2中阴影三角形的面积矢量 为矢积 的一半，即 (4-2-6),从而由式(4-2-5)可写出平面电流的磁偶极矩为 (4-2-7) 式中S是电流回路C的面积矢量，它的大小等于平面内回路C所围成的面积，它的方向垂直于电流回路所在平面、与电流I的参考方向成右手螺旋关系。

14、,4.2 磁偶极子,4.2 磁偶极子,如果磁偶极子不是载流线圈，而是一个三维载流区域 V，此时仍可用式(4-2-4)来计算磁矢位，只是磁偶极矩的表达式不同。在V中，我们沿闭合电流线把V分割成许多闭合线管 ， ， ， (n 很大)，这样V中电流产生的磁矢位就是所有闭合线管中的电流产生的磁矢位之和： (4-2-8),4.2 磁偶极子,式中 (4-2-9) 在三维区域V中，电流线管很多，可把线电流元 换成体电流元 ，线积分 换成体积 分 ，磁偶极矩成为 (4-2-10),4.2 磁偶极子,4.2.2 磁偶极子产生的磁场 由式(4-2-4)，可得磁偶极子产生的磁场为 (4-2-11) 式中磁偶极矩m是与场点无关的常矢量。,4.2 磁偶极子,这就是位于原点的磁偶极子在远处产生磁场的一般表达式。,上式和电偶极子的电场表达式相同，所以磁偶极子的磁场线分布图与图2-3-2完全相同。,磁偶极子的磁场,4.2 磁偶极子,4.2.3 外磁场中的磁偶极子,当磁偶极子位于外磁场中时，磁偶极子有哪些变化规律？ 下面回答这个问题。,？,在外磁场 中，载流回路C上电流元 所受到的作用力 对坐标原点O的力矩为,4.2 磁偶极子,1. 磁偶极子在外磁场中所受的力矩,上