《2020年普通高等学校招生全国统一考试试题 数学（江苏卷）解析版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年普通高等学校招生全国统一考试试题 数学（江苏卷）解析版（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数数 学学 一、填空题 1.已知集合 1,0,1,2A ，0,2,3B ，则AB . 答案： 0,2 解析： 由集合 1,0,1,2A ，0,2,3B ，0,2AB . 2. 已知i是虚数单位，则复数(1)(2)zii的实部是_. 答案： 3 解析： (1)(2)3ziii，则实部为3. 3. 已知一组数据4,2 ,3,5,6aa的平均数为4，则a的值是. 答案： 2 解析： 由 42(3)56 4 5 aa 可知2a . 4. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率 是. 答案： 1 9 解析： 总事
2、件数为6 636，满足条件的事情有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)为共4种，则点数 和为5的概率为 41 369 . 5. 右图是一个算法流程图，若输出y值为2，则输入x的值是_. 2 答案： 3 解析： 由题可知 2 ,0, 1,0, x x y xx 当2y 时得12x ，则3x . 6.在平面直角坐标系xOy中， 若双曲线 22 2 1(0) 5 xy a a 的一条渐近线方程为 5 2 yx， 则该双曲线的离心率是. 答案： 3 2 解析： 由 22 2 0 5 xy a 得渐近线方程为 5 yx a ，又0a ， 则2a ， 22 59ca，3c ，得离心率 3 2 c
3、 e a . 7. 已知( )yf x是奇函数，当0 x 时， 2 3 ( )f xx，则( 8)f 的值是. 答案： 3 4 解析： ( )yf x是奇函数，当0 x 时， 2 3 ( )f xx，则 2 3 ( 8)(8)84ff . 8. 已知 2 2 sin () 43 ，则sin2的值是_. 答案： 1 3 解析： 因为 2 2 sin () 43 ，由 2 112 sin ()(1cos(2 )(1sin2 ) 42223 ，解得 1 sin2 3 . 9. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边 形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5c
4、m，则此六角螺帽毛坯的体积是 3 cm. 答案： 12 3 2 解析： 记此六角螺帽毛坯的体积为V，正六棱柱的体积为 1 V，内孔的体积为正六棱 柱的体积为 2 V，则 2 12 1 622 sin60212 3,(0.5)2 22 VV ， 所以 12 12 3 2 VVV . 10. 将函数3sin(2) 4 yx 的图象向右平移 6 个单位长度，则平移后的图象中与y轴最 近的对称轴的方程是. 答案： 5 24 x 解析： 4 因为( )3sin(2) 4 f xx ，将函数( )3sin(2) 4 f xx 的图象向右平移 6 个单位长度得 ( )()3sin(2)3sin(2) 634
5、12 g xf xxx ，则( )yg x的对称轴为 2 122 xk ，kZ，即 7 242 k x ，kZ，0k 时， 7 24 x ，1k 时， 5 24 x ，所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 5 24 x . 11. 设 n a 是公差为d的等差数列， n b 是公比为q的等比数列，已知 nn ab 的前n项 和 2* 21() n n SnnnN ，则d q 的值是_. 答案： 3 解析： 因为 nn ab的前n项和 2* 21() n n SnnnN， 当1n 时， 11 1ab， 当2n 时， 1 1 222n nnnn abSSn ， 所以 22 4ab，从而有
6、2211 ()()3dqabab. 12. 已知 224 51( ,)x yyx yR，则 22 xy的最小值是. 答案： 4 5 解析： 222 2222222 (5)425 4(5) 4() 24 xyy xyyxy ，故 22 4 5 xy， 当且仅当 222 542xyy，即 2 3 10 x ， 2 1 2 y 时，取等号.所以 22 min 4 5 xy. 13. 在 ABC 中， 4AB ， 3AC ， 90BAC，D在边BC上，延长AD到P，使 得 9AP ，若 3 () 2 PAmPBm PC （m为常数） ，则CD的长度是 . 5 答案： 18 5 解析： 由向量系数 33
7、 () 22 mm为常数，结合等和线性质可知 3 2 1 PA PD ， 故 2 6 3 PDPA，3ADPAPDAC，故CCDA，故2CADC. 在ABC中， 3 cos 5 AC C BC ；在ADC中，由正弦定理得 sinsin CDAD CADC ， 即 sin(2 )sin2318 2cos23 sinsin55 CC CDADADC AD CC . 14.在平面直角坐标系 xOy 中，已知 3 (,0) 2 P ，A B、 是圆C： 22 1 ()36 2 xy 上的两 个动点，满足PA PB ，则 PAB 面积的最大值是_. 答案： 10 5 解析： 如图，作PC所在直径EF，交
8、AB于点D，则： PAPB，6CACBR，PCAB，EF为垂径. 要使面积 PAB S最大，则PD、位于C两侧，并设CDx， 计算可知1PC ，故1PDx ， 2 22 36ABBDx ， 故 2 1 (1) 36 2 PAB AB PDxSx ，令6cosx， 2 (1) 36(16cos ) 6sin6sin18sin2 PAB Sxx ，0 2 q ， 记函数( )6sin18sin2f， 则 2 ( )6cos36cos26(12coscos6)f， 6 令 2 ( )6(12coscos6)0f，解得 2 cos 3 （ 3 cos0 4 舍去） 显然，当 2 0cos 3 时，(
9、)0f，( )f单调递减； 当 2 cos1 3 时，( )0f，( )f单调递增； 结合cos在(0,) 2 递减，故 2 cos 3 时( )f最大，此时 2 5 sin1cos 3 ，故 max 552 ( )63610 5 333 f ，即PAB面积的最大值是10 5. （注：实际上可设BCD，利用直角BCD可更快速计算得出该面积表达式） 二、解答题 15. 在三棱柱 111 ABCABC中，ABAC， 1 BC 平面ABC，,E F分别是AC， 1 BC 的中点. （1）求证：/ /EF平面 11 ABC； （2）求证：平面 1 ABC 平面 1 ABB. 答案： 见解析 解析： 7
10、 （1）因为,E F分别是AC， 1 BC的中点，所以 1 / /EFAB， 因为EF 平面 11 ABC， 1 AB 平面 11 ABC，所以/ /EF平面 11 ABC. （2）因为 1 BC 平面ABC，AB 面 1 ABB，所以 1 BCAB， 又因为ABAC， 1 ACBCC，AC 面 1 ABC， 1 BC 面 1 ABC， 所以AB 面 1 ABC，因为AB 面 1 ABB，所以平面 1 ABC 平面 1 ABB. 16. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3a ，2c ，45B . （1）求sinC的值； （2）在边BC上取一点D，使得 4 cos 5 ADC
11、 ，求tanDAC的值. 答案： 见解析 解析： （1）由余弦定理，得 2222 112 coscos45 226 2 acbb B ac ， 因此 2 5b ，即5b ，由正弦定理 sinsin cb CB ，得 25 sin2 2 C ，因此 5 sin 5 C . （2）因为 4 cos 5 ADC ，所以 2 3 sin1 cos 5 ADCADC， 因为(, ) 2 ADC ，所以(0,) 2 C ，所以 2 2 5 cos1 sin 5 CC， 所以 sinsin()sin()DACDACADCC 8 2 5 sincoscossin 25 ADCCADCC，因为(0,) 2 DA
12、C ， 所以 2 11 5 cos1 sin 25 DACDAC，故 sin2 tan cos11 DAC DAC DAC . 17. 某地准备在山谷中建一座桥梁， 桥址位置的竖直截面图如图所示： 谷底O在水平线MN 上，桥AB与MN平行，OO为铅垂线（ O 在AB上） .经测量，左侧曲线AO上任一点D 到MN的距离 1 h （米）与D到OO的距离a（米）之间满足关系式 2 1 1 40 ha ；右侧曲线 BO上任一点F 到MN的距离 2 h （米）与F到OO的距离b（米）之间满足关系式 3 2 1 6 800 hbb .己知点B到OO的距离为40米. （1）求桥AB的长度； （2） 计划在谷
13、底两侧建造平行于OO的桥墩CD和EF， 且CE为80米， 其中C，E在AB 上（不包括端点）.桥墩EF每米造价k（万元） ，桥墩CD每米造价 3 2 k（万元） （0k ） ， 问O E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？ 答案： （1）桥AB的长度为120米； （2） OE 为20米时，桥墩CD与EF的总造价最低. 解析： （1）过A，B分别作MN的垂线，垂足为 A ， B ，则 3 1 40640160 800 AABB . 令 2 1 160 40 a ，得80a ，所以80AO，8040120ABAOBO. 9 （2）设O Ex，则80COx ，由 040 08080 x x 得0
14、40 x. 总造价 23 311 160(80)160(6 ) 240800 k yxkxx 32 30160 800)( 800 xx k 2 3 360 )(20) 800800 kk yxxx x （，因为0k ，所以令0y，得0 x 或20， 所以当020 x时，0y，y单调递减； 当2040 x时，0y，y单调递增. 所以，当20 x 时，y取最小值，造价最低. 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 :1 43 xy E的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，点 A在椭圆E上且在第一象限内， 212 AFF F，直线 1 AF与椭圆E相交于另一点B. （1）求 12 AFF
15、的周长； （2） 在x轴上任取一点P， 直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q， 求OP QP 的最小值； （3）设点M在椭圆E上，记OAB与MAB的面积分别为 12 ,S S，若 21 3SS，求点M 的坐标. 答案： 见解析 解析： （1） 12 AFF的周长226lac. 10 （2）由椭圆方程得 3 (1, ) 2 A，设点( ,0)P t，则直线AP方程为 3 2 () 1 yxt t ， 令 2 4 a x c 得 3 6 123 2 12(1) Q t t y tt ，即 123 (4,) 22 t Q t ， 123 (4,) 22 t QPt t ， 22 4(2)44OP QP
16、ttt ，即OP QP 的最小值为4. （3）设 O到直线AB的距离为 1 d，M到直线AB的距离为 2 d， 若 21 3SS，则 21 11 |3 22 ABdABd，即 21 3dd， 由（1）可得直线AB方程为 3 (1) 4 yx，即3430 xy，所以 1 3 5 d ， 2 9 5 d . 由题意得，M点应为与直线AB平行且距离为 9 5 的直线与椭圆的交点， 设平行于AB的直线l为340 xym，与直线AB的距离为 9 5 ， 所以 |3|9 5916 m ，即6m 或12. 当6m 时，直线l为3460 xy，即 3 (2) 4 yx， 联立 22 3 (2) 4 1 43 yx xy 可得(2)(72)0 xx，即 2 0
