《2020年普通高等学校招生全国统一考试试题文科数学 （全国卷Ⅲ）解析版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年普通高等学校招生全国统一考试试题文科数学 （全国卷Ⅲ）解析版（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（III 卷） 文科数学 一、选择题 1.已知集合1,2,3,5,7,11A ，集合 315Bxx，则AB中元素的个数为（） A.2 B.3 C.4 D.5 答案： B 解答： 5,7,11AB ，故AB中有3个元素. 2.若(1)1zii ，则z （） A.1 i B.1 i C.i D.i 答案： D 解答： 2 1(1)2 1(1)(1)2 iii zi iii ，zi. 3.设一组样本数据 12 , n x xx的方差为0.01，则数据 12 10 ,10,10 n xxx方差为（） A.0.01 B.0.1 C.1 D.10 答案： C 解
2、答： 由方差计算公式： 12 , n x xx的方差为 2 s，则 12 , n ax axax为 22 a s， 所以 2 0.01s ，则所求为 2 1001s . 2 4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了 某地区新冠肺炎累计确诊病例数( )I t（t的单位：天）的Logistic模型： 0.23(53) ( ) 1 t K I t e ，其中K为最大确诊病例数，当 * ( )0.95I tK时，标志着已初步遏制 疫情，则 * t约为(ln19 3)（） A.60 B.63 C.66 D.69 答案： C 解答： 由 * 0.23(53
3、) 0.95 1 t K K e ，得 * 0.23(53) 19 t e ， * 0.23(53)ln193t ，解得 * 66t . 故选 C. 5.已知sinsin()1 3 ，则sin() 6 （） A. 1 2 B. 3 3 C. 2 3 D. 2 2 答案： B 解答： sinsin()1 3 ， 13 sinsincos1 22 ， 33 sincos1 22 ，3sin()1 6 ， 3 sin() 63 .故选 B. 6.在平面内，,A B是两个定点，C是动点，若 1AC BC ，则点C的轨迹为（） 3 A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线 答案： A 解答： 以AB所在直
4、线为x轴，中垂线为y轴；建立平面直角坐标系，设(,0)Aa，( ,0)B a， ( , )C x y，则 (, )ACxa y ，(, )BCxa y ， 222 1AC BCxya ，所以 222 1xya，则点C的轨迹为圆. 7.设O为坐标原点，直线2x 与抛物线 2 :2(0)C ypx p交于D，E两点，若 ODOE，则C的焦点坐标为（） A. 1 ( ,0) 4 B. 1 ( ,0) 2 C.(1,0) D.(2,0) 答案： B 解答： 根据题意，设点(2,2)Dp，(2, 2)Ep，4DEp，44ODOEp，由 222 ODOEDE ， 可得1p ， 抛物线的方程为 2 2yx，
5、 则C的焦点坐标为 1 ( ,0) 2 . 8.点(0, 1)到直线(1)yk x距离的最大值为（） A.1 B. 2 C. 3 D.2 答案： B 解答： 直线(1)yk x恒过点( 1,0)A ， 4 故点(0, 1)B到直线(1)yk x的距离的最大值为2AB . 9.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（） A.6 4 2 B.4 4 2 C.6 2 3 D.4 2 3 答案： C 解答： 由题可知该几何体是如图所示三棱锥PABC， 底面ABC为等腰直角三角形， 侧棱PC 底面ABC，其表面积为： 11 3222 22 2sin6062 3 22 S ，故选 C. 10.设 3
6、 log 2a ， 5 log 3b ， 2 3 c ，则（） A.acb B.abc C.bca D.cab 答案： A 5 解答： 33 33log 2log 82a ， 55 33log 3log 272b ，32c ，acb，故选 A. 11.在ABC中， 2 cos 3 C ，4AC ，3BC ，则tanB （） A. 5 B.2 5 C.4 5 D.8 5 答案： C 解答： 4AC ，3BC ， 2 cos 3 C ， 22 2cos3ABACBCAC BCCAC . 又 2 cos 3 C ， 5 sin 3 C ， 又 sinsin ACAB BC ， 4 5 sin 9 B
7、 ， 2 1 cos1 sin 9 BB，tan 4 5B . 12.已知函数 1 ( )sin sin f xx x ，则（） A.( )f x的最小值为2 B.( )f x的图象关于y轴对称 C.( )f x的图象关于直线x 对称 D.( )f x的图象关于直线 2 x 对称 答案： D 解答： A.由于()2 2 f ，A 错误. B.( )()f xfx显然不成立，B 错误. C.()()fxfx显然不成立，C 错误. D.容易验证()() 22 fxfx 在定义域上恒成立，D 正确. 二、填空题 6 13.若x，y满足约束条件 0, 20, 1, xy xy x 则32zxy的最大值
8、为_. 答案： 7 解答： 作出可行域如图所示，当32zxy经过(1,2)A时，有 max 3 1227z . 14.设双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线为2yx，则C的离心率 为. 答案： 3 解答： 由题意得2 b a ，从而 2 1 ( )3 cb e aa . 15.设函数( ) x e f x xa ，若(1) 4 e f ，则a _. 答案： 1 解答： 2 (1) ( ) () x exa fx xa ， 2 (1) (1)4 aee f a ，解得1a . 16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积. 答案： 7 2
9、 3 解答： 当圆锥内球的半径最大时，记为r，作出轴截面的图象如图所示， 3SASB，2AB ，1BC ，OCODr， 2 2OSr . 在Rt SOC中，由 222 OSOCSC 得， 222 (2 2)2rr，解得 2 2 r ， 球的最大体积为 3 42 33 r . 三、解答题 17.设等比数列 n a满足 12 4aa， 31 8aa. （1）求 n a的通项公式； （2）记 n S为数列 3 log n a的前n项和.若 13mmm SSS ，求m. 答案： 见解析 解答： （1）设数列 n a的公比为q，则 11 2 11 4 8 aa q a qa ，解得 1 1a ，3q ，
10、 故数列 n a的通项公式为 1 3n n a . （2）由（1）知 3 log1 n an， 2 (01) 22 n nnnn S ， 又 13mmm SSS ， 222 (1)(1)(3)(3) 222 mmmmmm ，解得6m . 8 18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人 次，整理数据得到下表（单位：天）： （1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率； （2） 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值 （同一组数据用该组区间的中点值为代表） ； （3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为
11、3 或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的22列联表，并根据列联表， 判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ， 答案： 见解析 解答： （1）空气质量等级为1的概率 43 0.43 100 ， 空气质量等级为2的概率 27 0.27 100 ， 空气质量等级为3的概率 21 0.21 100 ， 空气质量等级为4的概率 9 0.09 100 . （2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为 9 256716 107225 1280 100300500350
12、100100100 . （3）22列联表如下： 2 2 100 (33 8 37 22) 5.823.841 55 45 70 30 K ， 有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 19.如图， 在长方体 1111 ABCDABC D中， 点E，F分别在棱 1 DD， 1 BB上， 且 1 2DEED， 1 2BFFB.证明： （1）当ABBC时，EFAC； （2）点 1 C在平面AEF内. 答案： 见解析 解答： （1）因为 1111 ABCDABC D是长方体，所以 1 BB 平面ABCD，而AC 平面ABCD， 所以 1 ACBB.因为 1111 ABCDA
13、BC D是长方体，且ABBC，所以ABCD正方形，所 以ACBD，又 1 BDBBB，所以AC 平面 11 BB D D，又点E，F分别在棱 1 DD， 1 BB上，所以EF 平面 11 BB D D，所以EFAC. （2）取 1 AA靠近 1 A的三等分点M，连结 1 DM， 1 C F，MF. 因为E在 1 DD，且 1 2DEED，所以 1/ / EDAM，且 1 EDAM， 10 所以四边形 1 AED M为平行四边形，所以 1 / /DMAE，且 1 DMAE， 又F在 1 BB上，且 1 2BFFB，所以 11 / /MFAB，且 11 MFAB， 从而 11 / /MFDC， 1
14、1 MFDC， 所以 11 DMFC为平行四边形，所以 11 / /DMC F，所以 1 / /AEC F， 所以A，E，F， 1 C四点共面. 所以点 1 C在平面AEF内. 20.已知函数 32 ( )f xxkxk. （1）讨论( )f x的单调性； （2）若( )f x有三个零点，求k的取值范围. 答案： 见解析 解答： （1）由题意可得，定义域为R， 2 ( )3fxxk， 当0k 时，( )0fx ，函数( )f x在R上单调递增， 当0k 时， 2 ( )3fxxk， ( )0 3 k fxx 或 3 k x ， ( )f x在( ,) 3 k 单调递增，或 ( )f x在( ,
15、) 3 k 单调递增， ( )0 33 kk fxx， 函数( )f x在(,) 33 kk 上单调递减. 11 （2） 32 ( )f xxkxk由（1）可知，0k 时（舍去）， 0k ，保证()0 3 k f 且()0 3 k f，解之得0 2 4 7 k. 21.已知椭圆 22 2 :1(05) 25 xy Cm m 的离心率为 15 4 ，A，B分别为C的左、右顶点. （1）求C的方程； （2）若点P在C上，点Q在直线6x 上，且| |BPBQ，BPBQ，求APQ的面 积. 答案： 见解析 解析： （1） 2 2515 54 cm e a ， 2 25 16 m ， C的方程为 22
16、16 1 2525 xy . （2）由椭圆对称性不妨取点P在椭圆C上半部分，如图所示. 作PCx轴于点C，直线6x 交x轴于点D， 由已知易证Rt PBCRt BQD，所以1PCBD，BCDQ， 故可设( ,1)P x，代入C得 2 16 1 2525 x ，解得3x ， (3,1),(6,2)PQ或( 3,1),(6,8)PQ， 当(3,1),(6,2)PQ时， 22 1115 102102(12 ) 2222 APQABQABPBPQ SSSS ， 当( 3,1),(6,8)PQ时， 22 1115 108102(18 ) 2222 APQABQABPBPQ SSSS ， 综上，APQ的面积为 5 2 . 12 四、选做题（2 选 1） 22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2 2 2 23 xtt ytt ，
