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1、1,第三模块重点学习内容 韩信点兵与中国剩余定理,2,韩信是中国古代一位有名的大元帅。他少年时就父母双亡，生活困难，曾靠乞讨为生，还经常受到某些泼皮的欺凌，胯下之辱讲的就是韩信少年时被泼皮强迫从胯下钻过的事。 后来他投奔刘邦，展现了他杰出的军事才能，为刘邦打败了楚霸王项羽立下汗马功劳，开创了刘汉皇朝四百年的基业。 民间流传着一些以韩信为主角的有关聪明人的故事，韩信点兵的故事就是其中的一个。,一、“韩信点兵”的故事与孙子算经中的题目,3,相传有一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。双方大战一场，楚军不敌，败退回营。而汉军也有伤亡，只是一时还不知伤亡多少。于是，韩信整顿兵马也返回大本营，准
2、备清点人数。当行至一山坡时，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。韩信驰上高坡观看，只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已经十分疲惫了，这时不由得人心大乱。韩信仔细地观看敌方，发现来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。不一会儿，值日副官报告，共有1035人。他还不放心，决定自己亲自算一下。,1.“韩信点兵”的故事,4,韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这队士兵6人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（5人）；再让这队士兵7人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（4人），再让这队士兵11人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（
3、10人）。然后韩信就凭这些数，可以求得这队士兵的总人数。,思考题：这里面有什么秘密呢？韩信好像非常重视作除法时的余数。 “数的除法运算以及余数”是小学数学的内容。现在，每个学生都具有这样的基础，但能否会运用就有差别了，你能够分析它吗？,6,我国古代数学名著孙子算经中有“物不知数”的题目： 今有物不知其数， 三三数之剩2， 五五数之剩3， 七七数之剩2， 问物几何？,孙子算经中的题目,这里面又有什么秘密呢？题目给出的条件，也仅仅是作除法时的余数。,7,问题： 今有物不知其数，二二数之剩1，三三数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六数之剩5，七七数之剩6，八八数之剩7，九九数之剩8，问物几何？
4、,二、问题的解答,1先从另一个问题入手,思考：此问题是否比原问题简单些吗？,8,再从中挑“用5除余4”的数， 一直筛选下去，舍得下功夫，就一定可得结果。并且看起来，解，还不是唯一的；可能有无穷多个解。,1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,（用2除余1） 5,11,17,23, （用3除余2） 11,23, （用4除余3）,1）筛法,思考一下：解题的思路是什么？,9,当问题中有很多类似的条件时，我们先只看其中两三个条件，这就是化繁为简。 一个复杂的问题，如果在简化时仍然保留了原来问题的特点和本质，那么简化就“不失一般性”。 学会“简化问题”与学会“推广问题”一样，是一种
5、重要的数学能力。,化繁为简的思想,寻找规律的思想,把我们的解题方法总结为筛法，是重要的进步，是质的飞跃找到规律了。 筛法是一般性方法，还可以用来解决其他类似的问题。,10, 化繁为简 我们还是先看只有前两个条件的简化题目。 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,（用2除余1） 5,11,17,23, （用3除余2） 上述筛选过程的第一步，得到: 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25, 其实是列出了“用2除余1”的数组成的数列。这个数列实际上是用带余除法的式子得到的。,2)公倍数法,11,对任意给定被除数a，不为零的除数b，必唯一存在商
6、q和余数r，使,所谓“带余除法”，是指整数的如下 “除法”：,当余数r =0时，则 a=bq，称为 “a被b整除”，或“b整除a”，这是通常除法“ ” 的另一种表达形式。所以，带余除法是通常除法的推广。,12,就是“带余除法”的式子. 当取 时，用上式求得的x正好组成上述数列 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,设这样的数为x，则 。这里x是被除数，2是除数， 是商，1是余数，且 。,回到求“用2除余1的数”的问题。,13,接着从中筛选出“用3除余2”的数，就是挑出符合下面“带余除法”表达式 的数，这里 可取0，1，2，3，4， 再继续做下去.,如果我们不分上面
7、两步，而是一上来就综合考虑两者，则就是要解联立方程组,14,那么，为了解这个方程组，除了刚才的筛法外，还有没有更加巧妙的解法？ 我们考察上边两个方程的特点，发现，两个“带余除法”的式子，都是“余数比除数少1”。 于是想到，如果把被除数再加1，不是余数就为0了吗？换句话说，不是就出现整除的情况了吗？,于是把上边每个方程两边都加上1，成为,15,这说明， x+1既是2的倍数，又是3的倍数，因此，它是2与3的公倍数。由此想到对整个问题寻找规律。,再看问题： 今有物不知其数，二二数之剩1，三三数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六数之剩5，七七数之剩6，八八数之剩7，九九数之剩8，问物几何？,对整
8、个问题寻找规律,16,寻找规律 设问题中,需要求的数是x,则被2,3,4,5,6,7,8,9去除，所得的余数都是比除数少1，于是我们把被除数x再加1,则x+1就可被2,3,4,5,6,7,8,9均整除.也就是说，x+1是2,3,4,5,6,7,8,9的公倍数，从而是其最小公倍数2,3,4,5,6,7,8,9的倍数。,即 这就是原问题的全部解，有无穷多个解，其中第一个解是2519；我们只取正数解，因为“物体的个数”总是正整数。,17,思考题： 求“用2除余1,3除余2,用m除余m-1”的数。 求“用a除余a-1,用b除余b-1,用c除余c-1”的数.（a,b,c是任意大于1的自然数） 求“用2,
9、3,4,5,6,7,8,9除都余1”的数。 求“用5,7,11 除都余2”的数。,18,2.孙子算经中“有物不知其数” 问题的解答,问题：今有物不知其数， 三三数之剩2， 五五数之剩3， 七七数之剩2， 问物几何？,19,1）筛法: 2,5，8，11，14，17，20，23，26，29，（用3除余2） 8，23， （用5除余3） 23， （用7除余2） 由此得到，23是最小的一个解。 至于下一个解是什么，要把“”写出来才知道； 实践以后发现，是要费一点儿功夫的。,20,2）公倍数法 现在仿照上边用过的“公倍数法”，设要求的数为x ，则依题意，得联立方程组,按上一问题中“公倍数法”解决问题的思路
10、：把方程两边同时加上或减去一个什么样的数，就能使三个等式的右边分别是3，5，7的倍数，从而等式左边就是3，5，7的公倍数了。,21,一种试算的方法,从第三个等式入手，两边加5（或减2）则得,这要通过反复的试算去完成。,22,则右边是7的倍数了，但两边加5（或减2）并不能使前两式的右边分别是3的倍数和5的倍数，所以两边加5（或减2）并不能使右边成为3，5，7的公倍数。再继续从第三个等式入手，为使第三个等式右边仍然保持是7的倍数，可再加7l（或再减7l），,（或 ）,最后发现，为达到目的（三个等式的右边分别是3,5,7的倍数）,最小的加数是82(l=11时,5+7l=82）（或最小的减数是23，即
11、h=3,2+7h=23）。,将 代入试算、分析，,23,多了一个“ ” ，因这时x也是正数，合要求。,用等式两边加82来求解，有,用等式两边减23来求解，有,24,这两组解是一样的，都是 “23，23+105，23+2105，”。 原因是82+23=105，故令 第一组解就成为,便转化成第二组解。,但是，这82和23来之不易；并且如果题目中的余数变了，就得重新试算，所以这方法缺少一般性，为使它具有一般性，要做根本的修改。,25,3）单因子构件凑成法,我们先对前几页（*）式作两个方面的简化:一方面是每次只考虑“一个除式”有余数的情况(即另两个除式都是整除的情况):另一方面是把余数都简化为最简单的
12、1。这样得到三组方程。,26,（1）式意味着,在5和7的公倍数中（35,70,105,）寻找被3除余1的数； （2）式意味着,在3和7的公倍数中（21,42,63,）寻找被5除余1的数； （3）式意味着,在3和5的公倍数中（15,30,45，）寻找被7除余1的数。,对（1）式而言，这个数可以取70，对（2）式而言，这个数可以取21，对（3）式而言，这个数可以取15。,27,于是（1）式两边同减70变为这样：第二式右边仍是5的倍数，第三式右边仍是7的倍数，而第一式右边因为减的70是“用3除余1”的数，正好原来也多一个1，减没了。第一式右边也成为了倍数，是3的倍数。,28,（2）式两边同减21变为
13、,（3）式两边同减15变为,29,现在重复一下：所得的x是被3除余1，被5和7除余0的数；y是被5除余1，被3和7除余0的数；z是被7除余1，被3和5除余0的数。,于是得到,那么，凑出s =2x+3y+2z , s不就是我们需要求的数吗？,30,因为用3去除s时，除y及除z均余0 , 除3y及除2z均余0， 又除x余1 ,除2x余2，用3除s时余2。 用5去除s时，除x及除z均余0, 除2x及除2z均余0， 又除y余1 除3y余3，用5除s时余3。 用7去除s时，除x及除y均余0 , 除2x及除3y均余0， 又除z余1 除2z余2， 用7除s时余2。,31,于是我们要求的数是,这就是孙子算经中
14、“物不知其数” 一题的解，有无穷多解，最小的正整数解是23（k=-2时）。,32,这里,(1),(2),(3)三式分别叫三个“单子因构件”,分别解得,每个单因子构件,都是用某一个数去除余1,用另两个数去除均余0的情况。再据题目要求余数分别是2,3,2的情况,凑成,再看由（*）式得到的下面三个式子：,33,所以，上述方法叫“单因子构件凑成法” 解决“由几个平行条件表述的问题”的方法 （ 也称“孙子华方法”） 这种方法的最大优点是，可以任意改变余数，加以推广： 问题： 有物不知其数，三三数之剩a， 五五数之剩b，七七数之剩c，问物几何？ 答：解为 （ 的选取应使 ）.,34,推广了的“物不知其数”
15、问题的解为 明朝数学家程大位在算法统宗中把上式总结为一首通俗易懂的歌决： 三人同行七十稀，五树梅花廿一枝， 七子团圆正半月，除百零五便得知。 其中正半月是指15,这个口诀把3,5,7;70,21,15及105这几个关键的数都总结在内了。详细说,歌诀的含义是:用3除的余数乘70,5除的余数乘21,7除的余数乘15,相加后再减去（“除”当“减”讲）105的适当倍数,就是需要求的（最小）解了。,4）歌诀,35,当然，解，不是唯一的，每差105，都是另一个解答，但如果结合实际问题，答案往往就是唯一的了。例如一队士兵的大约人数，韩信应是知道的。,36,三、中国剩余定理 1247年南宋的数学家秦九韶把孙子
16、算经中“物不知其数”一题的方法推广到一般的情况，得到称之为“大衍求一术”的方法，在数书九章中发表。这个结论在欧洲要到十八世纪才由数学家高斯和欧拉发现。所以世界公认这个定理是中国人最早发现的，特别称之为“中国剩余定理”（Chinese remainder theorem）。,该定理用现在的语言表达如下：,37,设 两两互素，设x分别被 除所得的余数为 ，则x可表示为下式 其中D是 的最小公倍数； 是 的公倍数，而且被 除所得余数为1;k是任意整数。,要注意的是,用上述定理时， 必须两两互素.前面的问题中,3,5,7是两两互素的,所以“三三数,五五数,七七数”得余数后可用此公式。但“四四数,六六数,九九
