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1、一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则 第九节二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 机动 目录 上页 下页 前往 终了 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 定理定理2. 连续单调递增连续单调递增 函数的反函数函数的反函数在其定义域内连续一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则定理定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差差 , 积积 ,( 利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 .例如例如,例如例如,在上连续单调递增，其反函数(递减).(证明略)在 1 , 1 上也连续单调递增.递增(递减
2、)也连续单调机动 目录 上页 下页 前往 终了 定理定理3. 连续函数的复合函数是连续的连续函数的复合函数是连续的.在上连续 单调 递增,其反函数在上也连续单调递增.证证: 设函数设函数于是故复合函数又如又如, 且即机动 目录 上页 下页 前往 终了 例如例如,是由连续函数链因此在上连续 .复合而成 ,机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例1 . 设均在上连续, 证明函数也在上连续.证证:根据连续函数运算法则 , 可知也在上延续 .机动 目录 上页 下页 前往 终了 二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数
3、在定义区间内连续例如例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例2. 求求解解: 原式例例3. 求求解解: 令令那么原式阐明阐明: 当当时, 有机动 目录 上页 下页 前往 终了 解解: :所以运用等价无穷小的代换所以运用等价无穷小的代换, , 有有例例4. 求求例例5. 设设解解:讨论复合函数的连续性 .故此时连续; 而故x = 1为第一类间断点 .在点 x = 1 不连续 , 机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例6. 求函数求函数的连续区间的连续区间, 并求并求所以函数所以函数f (x) 的连续区间为的连续区间为解解:解解:例例7. 求求 内容小结内容小结基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续阐明阐明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性左、右连续性.机动 目录 上页 下页 前往 终了 作业作业P69 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) , (5) ,(6) ; 5思考与练习思考与练习续? 反例 x 为有理数 x 为无理数处处间断,处处连续 .反之是否成立?提示提示:“反之” 不成立 .第十节 目录 上页 下页 前往 终了
