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1、第六节 空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线与法平面设空间的曲线C由参数方程的形式给出：，设，、为曲线上两点，的连线称为曲线C的割线，当时，若趋于一条直线，则此直线称为曲线C在点的切线如果对于的导数都连续且不全为零（即空间的曲线C为光滑曲线），则曲线在点切线是存在的因为割线的方程为也可以写为当时，割线的方向向量的极限为，此即为切线的方向向量，所以切线方程为过点且与切线垂直的平面称为空间的曲线C在点的法平面，法平面方程为如果空间的曲线C由方程为且存在，则曲线在点的切线是法平面方程为 如果空间的曲线C表示为空间两曲面的交，由方程组确定时，假设在有，在某邻域内满足隐函数组存在定理条件，
2、则由方程组在点附近能确定隐函数有，。于是空间的曲线C在点的切线是即法平面方程为类似地，如果在点有或时，我们得到的切线方程和法平面方程有相同形式。所以，当向量时，空间的曲线C在的切线的方向向量为例6.32 求曲线在点处的切线方程解 当时，曲线过点，曲线在此点的切线方向向量为，所以曲线的切线方程为即 二、空间曲面的切平面与法线 设曲面的一般方程为取为曲面上一点，设在的某邻域内具有连续偏导数，且。设为曲面上过的任意一条光滑曲线：设，我们有上式对在求导得到因此，曲面上过的任意一条光滑曲线在点的切线都和向量垂直，于是这些切线都在一个平面上，记为，平面就称为曲面在的切平面，向量称为法向量。在的切平面方程是
3、过点且与切平面垂直的直线称为曲面在点法线，它的方程为 设曲面的方程为若在有连续偏导数且，则称是光滑曲面。由上面讨论可以知道光滑曲面有切平面和法线。若曲面的方程的表示形式为 ，这时，容易得到在的切平面方程为法线方程为我们知道，函数在点可微，则由Taylor公式知也就是说，函数在点附近可以用 在的切平面近似代替，误差为的高阶无穷小。若曲面的方程表示为参数形式设，为曲面上一点。假设在有，在某邻域内满足隐函数组存在定理条件，则由方程组在点附近能确定隐函数（即和的逆映射）满足。于是，曲面可以表示为由方程组两边分别同时对求偏导得到故所以， 在的切平面方程为法线方程为例6.33 求曲面在点的切平面和法线方程
4、。解 曲面方程为，易得切面方程为即. 法线方程为习题6.61求曲线在点处的切线和法平面方程2求曲线在点处的切线和法平面方程3求曲面在点的切平面和法线方程。4。证明曲面上任意一点的切平面与坐标面形成的四面体体积为定值。 5证明曲面上任意一点的切平面过一定点。第七节 极值和最值问题一、无条件极值与一元函数极值类似，我们可以引入多元函数的极值概念。定义6.3 元函数在点的一个邻域内有定义。若对任何点，有或（）则称元函数在取得极大（或极小）值， 称为函数的极大（或极小）值点。极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。类似一元函数，我们称使得元函数的各个一阶偏导数同时为零的点为驻点。我们
5、有如下定理。定理 6.28 若为元函数的极值点，且在的一阶偏导数存在，则为元函数的驻点。证 考虑一元函数，则是的极值点，Fermat马定理告诉我们，可导函数在极值点的导数是零，于是和一元函数类似，反过来，驻点不一定是极值点。而偏导数不存在的点也有可能是极值点。判断多元函数的极值点要比一元函数复杂的多，下面我们仅对二元函数不加证明给出一个判别定理。定理 6.29 若为二元函数的驻点，且在的一个邻域中有二阶连续偏导数。令，则（1） 当时，若，在取极小值；若，在取极大值；（2） 当时，在不取极值；（3） 当时，在可能取极值，也可能不取极值。例 6.34 求函数的极值。解 解方程组得驻点为及直线上的点
6、。 对点有，于是函数在取积大值。 容易判断，满足条件的点为函数的极小值点，极小值为0；满足条件的和的点为函数的极大值点，极大值为0。一、 最值问题在社会生产各个领域我们都会遇上最值问题，即如何用最小的成本获取最大利益的问题，这些问题一般都可以归结为求某一函数在某一范围内的最大值和最小值的问题。我们称使得函数取得最大值和最小值的点为函数的最大值点和最小值点，统称为最值点；函数的最大值和最小值统称为最值。1、 一元函数设是定义在闭区间上的连续函数，则在上一定有最大值和最小值。区间的两个端点和可能成为其最值点，而如果最值点在开区间取得的话，则一定是的极值点，即是的驻点或是使导数不存在的点。假设的所有
7、驻点是，使导数不存在的点是，那么例 6.35 求抛物线上与最近的点。解 设是抛物线上的点，则与的距离是考虑函数，由，得到唯一驻点，于是抛物线上与最近的点是 2、多元函数类似一元函数，元函数的最值问题就是求在某个区域上的最大值和最小值，我们只需求出在内部的所有极值和边界上最值，从中比较就可以选出在上的最值。例 6.36 求平面与点的最短距离。解 设是平面上的点，则与的距离是考虑函数，由，得到唯一驻点，于是平面与点的最短距离是三、条件极值问题和Lagrange乘子法前面我们研究的极值和最值问题都是直接给出一个目标函数元函数，然后求其极值或最值，是无条件极值问题，但是，更多的极值和最值问题是有约束条
8、件的，即条件极值问题。一般来说，条件极值问题是指：求目标函数元函数在一组约束条件下的极值。我们可以尝试对上面方程组用消元法解出个变量，从而转化为上一节的无条件极值问题来解决，但是，消元法往往比较困难甚至是不可能的，所以，我们需要给出一种新的方法来求条件极值。下面我们介绍拉格朗日乘子法。我们以二元函数为例来说明，即：求目标函数在一个约束条件限制下的极值问题。假设点为函数在条件下的极值点，且满足隐函数存在定理的条件，确定隐函数，则是一元函数的极值点。于是由隐函数存在定理得到令，于是极值点需要满足三个条件：因此，如果我们构造拉格朗日函数其中，称为拉格朗日乘子，则上面三个条件就是也就是说我们讨论的条件
9、极值问题转化为拉格朗日函数的无条件极值问题。用这种方法去求可能的极值点的方法，称为拉格朗日乘子法。 类似地，求目标函数元函数在一组约束条件下的极值时，我们可以构造相应的拉格朗日函数为于是，所求条件极值点满足方程组例6.37横断面为半圆形的圆柱形的张口浴盆，其表面积等于，问其尺寸怎样时，此盆有最大的容积？解 设圆半径为，高为，则表面积，容积。构造拉格朗日函数解方程组 得到，这时。 由实际情况知道，一定达到最大体积，因此，当时，体积最大。 习题6.71 求函数的极值。2 求函数的极值。3求椭圆上与最远的点4求平面与点的最短距离。5求曲面上与最近的点6已知容积为的开顶长方浴盆，问其尺寸怎样时，此盆有
10、最小的表面积？7求用平面与椭圆柱面相交所成椭圆的面积。第八节 导数在经济学中的应用一、导数的经济意义1边际函数定义6.4 设函数可导，则导函数在经济学中称为边际函数。在经济学中，我们经常用到边际函数，例如：边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数等等，它们都是表示一种经济变量相对于另一种经济变量的变化率问题，都反映了导数在经济学中的应用。成本函数表示生产个单位某种产品时的总成本。平均成本函数表示生产个单位某种产品时，平均每个单位的成本，即。边际成本函数是成本函数相对于的变化率，即的导函数。由微分近似计算公式我们知道令，我们有，也就是说，边际成本函数可以近似表示已经生产个单位产品后再生产一个产品
11、所需要的成本。 在生产中，我们当然希望平均成本函数取得极小值，这时，我们可以得到即则，于是我们得到。因此，平均成本函数取得极小值时，边际成本函数和平均成本函数相等。这在经济学中是一个重要原则，就是说在生产中，当边际成本函数低于平均成本函数时，我们应该提高产量，以降低平均成本；当边际成本函数高于平均成本函数时，我们应该减少产量，以降低平均成本。 例6.38 设某种产品生产个单位时的成本为。求（1） 当生产产品100单位时的边际成本和平均成本；（2） 当生产产品数量为多少时平均成本最低。 解 （1）边际成本函数和平均成本函数为于是，（2）平均成本函数取得极小值时，边际成本函数和平均成本函数相等，即
12、因此，当生产产品数量为50时平均成本最低。类似边际成本函数我们可以讨论其它边际函数。需求函数表示销售单位某种产品时的单个产品的价格。那么，是的单调减少函数。收益函数是，边际收益函数是。利润函数是边际利润函数是。当利润函数取极大值时，于是，也就是说取得最大利润的必要条件是边际利润等于边际成本。为了保证取得最大利润还需要下面条件即。所以，当且时取得最大利润。例6.39设某种产品生产个单位时的成本为，需求函数。当生产产品数量要达到多大时可以取得最大利润？ 解 收益函数是由得到我们得到。 容易验证对任意有。所以，当生产产品数量达到100单位水平可以取得最大利润。2弹性在经济学中我们常常用到弹性的概念，
13、弹性也是一种变化率问题，与导数概念密切相关。定义6.5 设函数在点可导，则称为函数在点与两点间的弹性；称在时的极限为函数在点的弹性，记为或即 如果在可导，相应地，我们可以给出上弹性函数的定义 当很小时，我们有近似计算公式也就是说，函数的弹性是函数的相对改变量与自变量相对改变量之比，上式表示当从产生的改变时， 改变需求函数表示在价格为时，产品的需求量为。需求函数是单调减少函数，的反函数也称为需求函数，就是我们前面提到的需求函数。需求函数对价格的导数称为边际需求函数。需求函数的弹性为由于是单调减少函数，因此。 收益函数，于是令，我们有若，则需求变动幅度小于价格变动幅度，称为低弹性，这时，是单调增加
14、函数。也就是说当价格上涨时收益增加， 当价格下跌时收益减少。若，则需求变动幅度大于价格变动幅度，称为高弹性，这时，是单调减少函数。也就是说当价格上涨时收益减少， 当价格下跌时收益增加。若，则需求变动幅度和价格变动幅度相同，称为单位弹性，这时，。也就是说当价格改变时，收益没有变化。类似上面对需求弹性的研究，我们也可以讨论供给弹性。供给函数是指商品生产商的供给量与价格之间的关系函数。是单调增加函数。边际供给函数是对价格的导数，供给弹性函数是例6.40 设某种产品的需求函数为，其中价格。（1）求需求函数的弹性；（2）用需求弹性说明价格在什么范围变化时，降低价格反而使收益增加。 解 （1）需求函数的弹性。（2）容易得到当时，这时，当价格下跌时收益增加。二、其它应用举例导数在经济学中有很多应用，下面举一些例题说明。首先，我们考虑连续复利率问题。假设初始资金为，如果年利率为，那么，年后资金为。通常情况下是一年多次计息，
